Espacio espectral

En matemáticas , un espacio espectral es un espacio topológico homeomorfo al espectro de un anillo conmutativo . A veces también se lo denomina espacio coherente debido a la conexión con los topos coherentes .

Definición

Sea X un espacio topológico y sea K ( X ) el conjunto de todos los subconjuntos abiertos compactos de X . Entonces se dice que X es espectral si satisface todas las condiciones siguientes: ^{${\displaystyle \circ }$}

• X es compacto y T 0 .
• K ( X ) es una base de subconjuntos abiertos de X . ^{${\displaystyle \circ }$}
• K ( X ) está cerrado bajo intersecciones finitas. ^{${\displaystyle \circ }$}
• X es sobrio , es decir, todo subconjunto cerrado irreducible no vacío de X tiene un punto genérico (necesariamente único) .

Descripciones equivalentes

Sea X un espacio topológico. Cada una de las siguientes propiedades es equivalente a la propiedad de que X sea espectral:

1. X es homeomorfo a un límite proyectivo de T ₀ -espacios finitos .
2. X es homeomorfo al espectro de una red distributiva acotada L . En este caso, L es isomorfo (como red acotada) a la red K ( X ) (esto se llama representación de Stone de redes distributivas ). ^{${\displaystyle \circ }$}
3. X es homeomorfo al espectro de un anillo conmutativo .
4. X es el espacio topológico determinado por un espacio de Priestley .
5. X es un espacio T _{0 cuyo} marco de conjuntos abiertos es coherente (y cada marco coherente proviene de un espacio espectral único de esta manera).

Propiedades

Sea X un espacio espectral y sea K ( X ) como antes. Entonces: ^{${\displaystyle \circ }$}

• K ( X ) es una subred acotada de subconjuntos de X . ^{${\displaystyle \circ }$}
• Todo subespacio cerrado de X es espectral.
• Una intersección arbitraria de subconjuntos compactos y abiertos de X (por lo tanto, de elementos de K ( X )) es nuevamente espectral. ^{${\displaystyle \circ }$}
• X es T 0 por definición, pero en general no T 1 . ^[1] De hecho, un espacio espectral es T ₁ si y solo si es Hausdorff (o T ₂ ) si y solo si es un espacio booleano si y solo si K ( X ) es un álgebra booleana . ^{${\displaystyle \circ }$}
• X puede verse como un espacio de Stone por pares . ^[2]

Mapas espectrales

Un mapa espectral f: X → Y entre los espacios espectrales X e Y es un mapa continuo tal que la preimagen de cada subconjunto abierto y compacto de Y bajo f es nuevamente compacta.

La categoría de espacios espectrales, que tiene mapas espectrales como morfismos, es dualmente equivalente a la categoría de redes distributivas acotadas (junto con los homomorfismos de dichas redes). ^[3] En esta antiequivalencia, un espacio espectral X corresponde a la red K ( X ). ^{${\displaystyle \circ }$}

Citas

1. AV Arkhangel'skii , LS Pontryagin (Eds.) Topología general I (1990) Springer-Verlag ISBN  3-540-18178-4 (Ver ejemplo 21, sección 2.6.)
2. G. Bezhanishvili, N. Bezhanishvili, D. Gabelaia, A. Kurz, (2010). "Dualidad bitopológica para redes distributivas y álgebras de Heyting". Estructuras matemáticas en informática , 20.
3. Johnstone 1982.

Referencias

• M. Hochster (1969). Estructura ideal prima en anillos conmutativos. Trans. Amer. Math. Soc. , 142 43—60
• Johnstone, Peter (1982), "II.3 Localidades coherentes", Stone Spaces , Cambridge University Press, págs. 62-69, ISBN 978-0-521-33779-3.
• Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/9781316543870. ISBN . 9781107146723.