Homeomorfismo

Mapeo que preserva todas las propiedades topológicas de un espacio dado

Un chiste matemático que se repite a menudo es que los topólogos no pueden distinguir entre una taza de café y una rosquilla ^[1], ya que una rosquilla suficientemente flexible podría remodelarse para darle la forma de una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se conserva el agujero de la rosquilla en el asa de la taza. Esto ilustra que una taza de café y una rosquilla ( toro ) son homeomorfos.

En matemáticas y más específicamente en topología , un homeomorfismo ( de raíces griegas que significan "forma similar", nombrado por Henri Poincaré ), ^{[2] [3]} también llamado isomorfismo topológico , o función bicontinua , es una función biyectiva y continua entre espacios topológicos que tiene una función inversa continua . Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos —es decir, son las aplicaciones que conservan todas las propiedades topológicas de un espacio dado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se llaman homeomorfos , y desde un punto de vista topológico son lo mismo.

En términos muy generales, un espacio topológico es un objeto geométrico y un homeomorfismo resulta de una deformación continua del objeto en una nueva forma. Por lo tanto, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede ser engañosa. Algunas deformaciones continuas no resultan en homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no resultan de deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo trilobulado y un círculo. La homotopía y la isotopía son definiciones precisas para el concepto informal de deformación continua .

Definición

Una función entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle f}$es una biyección ( uno a uno y sobre ),
• ${\displaystyle f}$es continuo ,
• La función inversa es continua ( es una aplicación abierta ). ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

A veces, un homeomorfismo se denomina función bicontinua . Si existe una función de este tipo, y son homeomorfas . Un autohomeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. Ser "homeomorfo" es una relación de equivalencia en espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se denominan clases de homeomorfismo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El tercer requisito, que sea continua , es esencial. Consideremos por ejemplo la función (el círculo unitario en ⁠ ⁠ ) definida por Esta función es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo ( es compacta pero no lo es). La función no es continua en el punto porque aunque se asigna a cualquier entorno de este punto también incluye puntos a los que la función se asigna cerca pero los puntos a los que se asigna a números intermedios se encuentran fuera del entorno. ^[4] ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ ${\textstyle S^{1}}$ ${\textstyle [0,2\pi )}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0),}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0)}$ ${\textstyle 0,}$ ${\textstyle 2\pi ,}$

Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos . Como tal, la composición de dos homeomorfismos es nuevamente un homeomorfismo, y el conjunto de todos los autohomeomorfismos forma un grupo , llamado el grupo de homeomorfismos de X , a menudo denotado como A este grupo se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta , que bajo ciertas suposiciones lo convierte en un grupo topológico . ^[5] ${\textstyle X\to X}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$

En algunos contextos, hay objetos homeomorfos que no pueden deformarse continuamente de uno a otro. La homotopía y la isotopía son relaciones de equivalencia que se han introducido para abordar tales situaciones.

De manera similar, como es habitual en la teoría de categorías, dados dos espacios que son homeomorfos, el espacio de homeomorfismos entre ellos es un torsor para los grupos de homeomorfismos y y, dado un homeomorfismo específico entre y se identifican los tres conjuntos. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Ejemplos

Un nudo de trébol engrosado es homeomorfo a un toro sólido, pero no isotópico en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Las aplicaciones continuas no siempre se pueden realizar como deformaciones.

• El intervalo abierto es homeomorfo a los números reales para cualquier (en este caso, una aplicación bicontinua hacia adelante está dada por mientras que otras aplicaciones similares están dadas por versiones escaladas y traducidas de las funciones tan o arg tanh ). ${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle a<b.}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$
• El disco unitario 2 y el cuadrado unitario en ⁠ ⁠ son homeomorfos; ya que el disco unitario puede deformarse en el cuadrado unitario. Un ejemplo de una aplicación bicontinua del cuadrado al disco es, en coordenadas polares , ${\textstyle D^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• La gráfica de una función diferenciable es homeomorfa al dominio de la función.
• Una parametrización diferenciable de una curva es un homeomorfismo entre el dominio de la parametrización y la curva.
• Un gráfico de una variedad es un homeomorfismo entre un subconjunto abierto de la variedad y un subconjunto abierto de un espacio euclidiano .
• La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera unitaria en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en ⁠ ⁠ (un ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$plano bidimensional ).
• Si es un grupo topológico , su mapa de inversión es un homeomorfismo. Además, para cualquier traslación a la izquierda, la traslación a la derecha y el automorfismo interno son homeomorfismos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle y\mapsto xy,}$ ${\displaystyle y\mapsto yx,}$ ${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$

Contraejemplos

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ no son homeomorfos para m ≠ n .
• La línea real euclidiana no es homeomorfa al círculo unitario como subespacio de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , ya que el círculo unitario es compacto como subespacio de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ euclidiano pero la línea real no es compacta.
• Los intervalos unidimensionales y no son homeomorfos porque uno es compacto mientras que el otro no lo es. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Propiedades

• Dos espacios homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas . Por ejemplo, si uno de ellos es compacto , entonces el otro también lo es; si uno de ellos es conexo , entonces el otro también lo es; si uno de ellos es Hausdorff , entonces el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto no se extiende a las propiedades definidas mediante una métrica ; hay espacios métricos que son homeomorfos aunque uno de ellos sea completo y el otro no.
• Un homeomorfismo es simultáneamente una aplicación abierta y una aplicación cerrada ; es decir, asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.
• Todo autohomeomorfismo en puede extenderse a un autohomeomorfismo de todo el disco ( el truco de Alexander ). ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Discusión informal

El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y volver a pegar requiere cierta práctica para su correcta aplicación (por ejemplo, puede que no resulte obvio a partir de la descripción anterior que la deformación de un segmento de línea hasta convertirlo en un punto sea inadmisible). Por lo tanto, es importante darse cuenta de que lo que cuenta es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de línea posee una cantidad infinita de puntos y, por lo tanto, no se puede poner en biyección con un conjunto que contenga solo una cantidad finita de puntos, incluido un solo punto.

Esta caracterización de un homeomorfismo a menudo conduce a una confusión con el concepto de homotopía , que en realidad se define como una deformación continua, pero de una función a otra, en lugar de un espacio a otro. En el caso de un homeomorfismo, imaginar una deformación continua es una herramienta mental para llevar un registro de qué puntos en el espacio X corresponden a qué puntos en Y ; uno simplemente los sigue a medida que X se deforma. En el caso de la homotopía, la deformación continua de una función a otra es esencial, y también es menos restrictiva, ya que ninguna de las funciones involucradas necesita ser biunívoca o sobreyectiva. La homotopía conduce a una relación en espacios: equivalencia de homotopía .

Existe un nombre para el tipo de deformación que se produce al visualizar un homeomorfismo. Es (excepto cuando se requiere cortar y volver a pegar) una isotopía entre el mapa de identidad en X y el homeomorfismo de X a Y.

Véase también

• Homeomorfismo local  – Función matemática reversible cerca de cada punto
• Difeomorfismo  – Isomorfismo de variedades diferenciables
• Isomorfismo uniforme  : El homeomorfismo uniformemente continuo es un isomorfismo entre espacios uniformes
• Isomorfismo isométrico  : la transformación matemática que preserva la distancia Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamientoes un isomorfismo entre espacios métricos
• Grupo de homeomorfismo
• Giro de Dehn
• Homeomorfismo (teoría de grafos)  : concepto de la teoría de grafos (estrechamente relacionado con la subdivisión de grafos)
• Homotopía#Isotopia  – Deformación continua entre dos funciones continuas
• Grupo de clases de mapeo  – Grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismos topológicos
• Conjetura de Poincaré  – Teorema de topología geométrica
• Homeomorfismo universal

Referencias

1. Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Ecuaciones diferenciales: un enfoque de sistemas dinámicos. Parte II: Sistemas de dimensiones superiores. Textos de matemáticas aplicadas. Vol. 18. Springer. pág. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
2. Poincaré, H. (1895). Análisis Situs. Revista de la Escuela Politécnica. Gauthier-Villars. OCLC  715734142. Archivado desde el original el 11 de junio de 2016 . Consultado el 29 de abril de 2018 .
   Poincaré, Henri (2010). Artículos sobre topología: análisis situs y sus cinco suplementos . Traducido por Stillwell, John. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5234-7.
3. Gamelin, TW; Greene, RE (1999). Introducción a la topología (2.ª ed.). Dover. pág. 67. ISBN 978-0-486-40680-0.
4. Väisälä, Jussi (1999). Topología I. Limas RY. pag. 63.ISBN​ 951-745-184-9.
5. Dijkstra, Jan J. (1 de diciembre de 2005). "Sobre los grupos de homeomorfismo y la topología compacta-abierta" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 112 (10): 910–912. doi :10.2307/30037630. JSTOR  30037630. Archivado (PDF) desde el original el 16 de septiembre de 2016.

Enlaces externos

• "Homeomorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]