El truco de Alejandro

Dos homeomorfismos de la bola n que concuerdan en la esfera límite son isotópicos

El truco de Alexander , también conocido como truco de Alexander , es un resultado básico en topología geométrica , llamado así en honor a J. W. Alexander .

Declaración

Dos homeomorfismos de la bola n - dimensional que concuerdan en la esfera límite son isotópicos . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

De manera más general, dos homeomorfismos de que son isotópicos en el límite son isotópicos. ${\displaystyle D^{n}}$

Prueba

Caso base : todo homeomorfismo que fija el límite es isotópico a la identidad relativa al límite.

Si satisface , entonces una isotopía que conecta f con la identidad está dada por ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle f(x)=x{\text{ for all }}x\in S^{n-1}}$

${\displaystyle J(x,t)={\begin{cases}tf(x/t),&{\text{if }}0\leq \|x\|<t,\\x,&{\text{if }}t\leq \|x\|\leq 1.\end{cases}}}$

Visualmente, el homeomorfismo se "endereza" desde el límite, "apretándose" hasta el origen. William Thurston llama a esto "peinar todos los enredos hacia un punto". En el artículo original de dos páginas, JW Alexander explica que para cada transformación se replica a una escala diferente, en el disco de radio , por lo que es razonable esperar que se fusione con la identidad. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\rightarrow 0}$ ${\displaystyle J_{t}}$

La sutileza es que en , "desaparece": el germen en el origen "salta" de una versión infinitamente estirada de a la identidad. Cada uno de los pasos en la homotopía podría suavizarse (suavizar la transición), pero la homotopía (la función general) tiene una singularidad en . Esto subraya que el truco de Alexander es una construcción PL , pero no suave. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,t)=(0,0)}$

Caso general : isotópico en el límite implica isotópico

Si son dos homeomorfismos que concuerdan en , entonces la identidad está en , por lo que tenemos una isotopía de la identidad a . La función es entonces una isotopía de a . ${\displaystyle f,g\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle gJ}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Extensión radial

Algunos autores utilizan el término truco de Alexander para afirmar que todo homeomorfismo de puede extenderse a un homeomorfismo de toda la bola . ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Sin embargo, esto es mucho más fácil de demostrar que el resultado discutido anteriormente: se llama extensión radial (o conificación) y también es cierto de manera lineal por partes , pero no de manera suave.

Concretamente, sea un homeomorfismo, entonces ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle F\colon D^{n}\to D^{n}{\text{ with }}F(rx)=rf(x){\text{ for all }}r\in [0,1]{\text{ and }}x\in S^{n-1}}$define un homeomorfismo de la pelota.

Esferas exóticas

El fracaso de la extensión radial suave y el éxito de la extensión radial PL producen esferas exóticas a través de esferas retorcidas .

Véase también

• Construcción de embrague

Referencias

• Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). Trenzas y recubrimientos: temas seleccionados . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 18. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511613098. ISBN . 0-521-38757-4.Señor 1247697  .
• Alexander, JW (1923). "Sobre la deformación de una célula n". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 9 (12): 406–407. Bibcode :1923PNAS....9..406A. doi : 10.1073/pnas.9.12.406 . PMC  1085470 . PMID  16586918.