En matemáticas , la topología geométrica es el estudio de variedades y mapas entre ellas, en particular las incrustaciones de una variedad en otra.
Se puede decir que la topología geométrica como un área distinta de la topología algebraica se originó en la clasificación de 1935 de espacios de lentes según la torsión de Reidemeister , que requería distinguir espacios que son homotópicos equivalentes pero no homeomórficos . Este fue el origen de la teoría de la homotopía simple . El uso del término topología geométrica para describirlos parece haberse originado bastante recientemente. [1]
Los colectores difieren radicalmente en su comportamiento en dimensión alta y baja.
La topología de alta dimensión se refiere a variedades de dimensión 5 y superiores, o en términos relativos, incorporaciones en codimensión 3 y superiores. La topología de baja dimensión se ocupa de preguntas en dimensiones hasta 4 o incrustaciones en codimensión hasta 2.
La dimensión 4 es especial, en el sentido de que en algunos aspectos (topológicamente), la dimensión 4 es de alta dimensión, mientras que en otros aspectos (diferenciablemente), la dimensión 4 es de baja dimensión; esta superposición produce fenómenos excepcionales para la dimensión 4, como estructuras exóticas diferenciables en R 4 . Por lo tanto, la clasificación topológica de 4 variedades es, en principio, manejable y las preguntas clave son: ¿una variedad topológica admite una estructura diferenciable y, de ser así, cuántas? En particular, el caso suave de la dimensión 4 es el último caso abierto de la conjetura generalizada de Poincaré ; ver Giros de Gluck .
La distinción se debe a que la teoría de la cirugía funciona en la dimensión 5 y superiores (de hecho, en muchos casos, funciona topológicamente en la dimensión 4, aunque es muy complicado demostrarlo) y, por lo tanto, se puede estudiar el comportamiento de las variedades en la dimensión 5 y superiores. utilizando el programa de teoría de cirugía. En la dimensión 4 e inferiores (topológicamente, en la dimensión 3 e inferiores), la teoría de la cirugía no funciona. De hecho, un enfoque para discutir variedades de baja dimensión es preguntar "¿qué predeciría la teoría de la cirugía como verdadero, si funcionara?" – y luego entender los fenómenos de baja dimensión como desviaciones de esto.
La razón precisa de la diferencia en la dimensión 5 es que el teorema de incrustación de Whitney , el truco técnico clave que subyace a la teoría quirúrgica, requiere 2+1 dimensiones. En términos generales, el truco de Whitney permite "desanudar" esferas anudadas; más precisamente, eliminar las autointersecciones de las inmersiones; lo hace a través de una homotopía de un disco (el disco tiene 2 dimensiones y la homotopía agrega 1 más) y, por lo tanto, en una codimensión mayor que 2, esto se puede hacer sin intersectarse; por lo tanto, las incrustaciones en codimensiones mayores que 2 pueden entenderse mediante cirugía. En la teoría de la cirugía, el paso clave está en la dimensión media y, por lo tanto, cuando la dimensión media tiene una codimensión superior a 2 (en términos generales, 2½ es suficiente, por lo tanto, la dimensión total 5 es suficiente), el truco de Whitney funciona. La consecuencia clave de esto es el teorema del cobordismo h de Smale , que funciona en la dimensión 5 y superior y forma la base de la teoría de la cirugía.
Una modificación del truco de Whitney puede funcionar en 4 dimensiones y se llama manijas de Casson : debido a que no hay suficientes dimensiones, un disco de Whitney introduce nuevos problemas, que pueden resolverse con otro disco de Whitney, lo que lleva a una secuencia ("torre") de discos. El límite de esta torre produce un mapa topológico pero no diferenciable, por lo que la cirugía funciona topológicamente pero no diferenciable en la dimensión 4.
En todas las dimensiones, el grupo fundamental de una variedad es un invariante muy importante y determina gran parte de la estructura; en las dimensiones 1, 2 y 3, los posibles grupos fundamentales están restringidos, mientras que en la dimensión 4 y superiores cada grupo presentado finitamente es el grupo fundamental de una variedad (tenga en cuenta que es suficiente mostrar esto para variedades de 4 y 5 dimensiones, y luego tomar productos con esferas para conseguir otros más altos).
Una variedad es orientable si tiene una elección consistente de orientación , y una variedad orientable conectada tiene exactamente dos orientaciones posibles diferentes. En este contexto, se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de teoría de homología , mientras que para variedades diferenciables hay más estructura presente, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización importante de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras ) para el cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en los valores de los parámetros.
Una descomposición manija de un m - colector M es una unión
de donde cada uno se obtiene uniendo asas . Una descomposición de identificadores es para una variedad lo que una descomposición CW es para un espacio topológico; en muchos aspectos, el propósito de una descomposición de identificadores es tener un lenguaje análogo a los complejos CW, pero adaptado al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, un i -handle es el análogo suave de una i -cell. El manejo de las descomposiciones de variedades surge naturalmente a través de la teoría Morse . La modificación de las estructuras de los mangos está estrechamente ligada a la teoría de Cerf .
La planitud local es una propiedad de una subvariedad en una variedad topológica de mayor dimensión . En la categoría de variedades topológicas, las subvariedades localmente planas desempeñan un papel similar al de las subvariedades incrustadas en la categoría de variedades suaves .
Supongamos que una variedad N de d dimensiones está incrustada en una variedad M de n dimensiones (donde d < n ). Si decimos que N es localmente plano en x si existe una vecindad de x tal que el par topológico sea homeomorfo al par , con una inclusión estándar de como subespacio de . Es decir, existe un homeomorfismo tal que la imagen de coincide con .
El teorema generalizado de Schoenflies establece que, si una esfera S ( n − 1)-dimensional está incrustada en la esfera n -dimensional S n de una manera localmente plana (es decir, la incrustación se extiende a la de una esfera engrosada), entonces el El par ( S n , S ) es homeomorfo al par ( S n , S n −1 ), donde S n −1 es el ecuador de la n -esfera. Brown y Mazur recibieron el Premio Veblen por sus demostraciones independientes [2] [3] de este teorema.
La topología de baja dimensión incluye:
Cada uno tiene su propia teoría, donde hay algunas conexiones.
La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones: cada superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva/esférica, curvatura cero/plana, curvatura negativa/hiperbólica – y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones – cada 3 variedades se puede cortar en pedazos, cada uno de los cuales Tiene una de las 8 geometrías posibles.
La topología bidimensional se puede estudiar como geometría compleja en una variable ( las superficies de Riemann son curvas complejas); según el teorema de uniformización, cada clase conforme de métricas es equivalente a una única compleja, y la topología tetradimensional se puede estudiar desde el punto de vista de geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no todas las variedades 4 admiten una estructura compleja.
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Si bien se inspira en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo de un matemático se diferencia en que los extremos están unidos para que no se puedan deshacer. En lenguaje matemático, un nudo es la incrustación de un círculo en un espacio euclidiano tridimensional , R 3 (ya que estamos usando topología, un círculo no está vinculado al concepto geométrico clásico, sino a todos sus homeomorfismos ). Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de R 3 sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda ni pasar la cuerda a través de sí misma.
Para obtener más información, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de varias maneras. Los nudos se pueden considerar en otros espacios tridimensionales y se pueden utilizar objetos distintos de los círculos; ver nudo (matemáticas) . Los nudos de dimensiones superiores son esferas de n dimensiones en el espacio euclidiano de dimensiones m .
En topología de alta dimensión, las clases características son una invariante básica y la teoría quirúrgica es una teoría clave.
Una clase característica es una forma de asociar a cada paquete principal en un espacio topológico X una clase de cohomología de X. La clase de cohomología mide hasta qué punto el paquete está "torcido", en particular, si posee secciones o no. En otras palabras, las clases de características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local respecto de una estructura de producto global. Son uno de los conceptos geométricos unificadores en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica .
La teoría de la cirugía es una colección de técnicas utilizadas para producir una variedad a partir de otra de forma "controlada", introducida por Milnor (1961). La cirugía se refiere a cortar partes del colector y reemplazarlas con una parte de otro colector, haciendo coincidir a lo largo del corte o límite. Esto está estrechamente relacionado con las descomposiciones del cuerpo del mango , pero no es idéntico a ellas . Es una herramienta importante en el estudio y clasificación de variedades de dimensión mayor que 3.
Más técnicamente, la idea es comenzar con una variedad M bien entendida y realizarle una cirugía para producir una variedad M ′ que tenga alguna propiedad deseada, de tal manera que los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otras invariantes interesantes de la variedad es conocida.
La clasificación de esferas exóticas realizada por Kervaire y Milnor (1963) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.
