En topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, un identificador de Casson es un identificador topológico de 4 dimensiones construido mediante un procedimiento infinito. Llevan el nombre de Andrew Casson , quien los introdujo alrededor de 1973. Originalmente, el propio Casson los llamó "mangos flexibles", y Michael Freedman (1982) introdujo el nombre "mango Casson" con el que se los conoce hoy. En ese trabajo demostró que los identificadores de Casson son 2 identificadores topológicos, y usó esto para clasificar 4 colectores topológicos compactos simplemente conectados .
En la demostración del teorema del h-cobordismo , se utiliza la siguiente construcción. Dado un círculo en el límite de una variedad, a menudo nos gustaría encontrar un disco incrustado en la variedad cuyo límite sea el círculo dado. Si la variedad está simplemente conectada, entonces podemos encontrar un mapa desde un disco hasta la variedad con límite en el círculo dado, y si la variedad tiene una dimensión de al menos 5, entonces al colocar este disco en " posición general " se convierte en una incrustación. El número 5 aparece por la siguiente razón: las subvariedades de dimensión m y n en posición general no se cruzan siempre que la dimensión de la variedad que las contiene tenga una dimensión mayor que . En particular, un disco (de dimensión 2) en posición general no tendrá autointersecciones dentro de una variedad de dimensión mayor que 2+2.
Si el colector es de 4 dimensiones, esto no funciona: el problema es que un disco en posición general puede tener puntos dobles donde dos puntos del disco tienen la misma imagen. Esta es la razón principal por la que la demostración habitual del teorema del cobordismo h sólo funciona para cobordismos cuyo límite tiene una dimensión de al menos 5. Podemos intentar deshacernos de estos puntos dobles de la siguiente manera. Dibuja una línea en el disco que una dos puntos con la misma imagen. Si la imagen de esta línea es el límite de un disco incrustado (llamado disco de Whitney ), entonces es fácil eliminar el punto doble. Sin embargo, este argumento parece dar vueltas en círculos: para eliminar un punto doble del primer disco, necesitamos construir un segundo disco incrustado, cuya construcción implica exactamente el mismo problema de eliminar puntos dobles.
La idea de Casson era repetir esta construcción un número infinito de veces, con la esperanza de que los problemas sobre puntos dobles desaparezcan de alguna manera en el límite infinito.
Un mango Casson tiene un esqueleto bidimensional, que se puede construir de la siguiente manera.
Podemos representar estos esqueletos mediante árboles enraizados de modo que cada punto esté unido sólo a un número finito de otros puntos: el árbol tiene un punto para cada disco y una línea que une puntos si los discos correspondientes se cruzan en el esqueleto.
Un mango Casson se construye "engrosando" la construcción bidimensional anterior para obtener un objeto de 4 dimensiones: reemplazamos cada disco por una copia de . De manera informal, podemos pensar en esto como tomar una pequeña vecindad del esqueleto (pensada como incrustada en alguna variedad de 4). Hay algunas sutilezas adicionales menores al hacer esto: necesitamos realizar un seguimiento de algunos encuadres, y los puntos de intersección ahora tienen una orientación.
Los mangos de Casson corresponden a árboles enraizados como arriba, excepto que ahora cada vértice tiene un signo adjunto para indicar la orientación del punto doble. También podemos suponer que el árbol no tiene ramas finitas, ya que las ramas finitas pueden "desenmarañarse", por lo que no hay diferencia.
El mango exótico más simple de Casson corresponde al árbol, que es solo una línea medio infinita de puntos (con todos los signos iguales). Es difeomorfo con un cono sobre el continuo de Whitehead eliminado. Hay una descripción similar de manijas Casson más complicadas, con el continuo de Whitehead reemplazado por un conjunto similar pero más complicado.
El principal teorema de Freedman sobre los mangos de Casson establece que todos son homeomórficos ; o en otras palabras, son 2 manijas topológicas. En general, no son difeomorfismo como se desprende del teorema de Donaldson , y hay un número infinito e incontable de diferentes tipos de difeomorfismo de mangos de Casson. Sin embargo, el interior de un mango Casson es difeomorfo ; Las manijas Casson se diferencian de las manijas 2 estándar solo en la forma en que el límite se fija al interior.
El teorema de estructura de Freedman se puede utilizar para demostrar el teorema del cobordismo h para cobordismos topológicos de 5 dimensiones, lo que a su vez implica la conjetura de Poincaré topológica de 4 dimensiones .
