En geometría algebraica y geometría computacional , la posición general es una noción de genericidad para un conjunto de puntos u otros objetos geométricos. Significa la situación del caso general , a diferencia de algunos casos más especiales o coincidentes que son posibles, lo que se denomina posición especial . Su significado preciso difiere en diferentes entornos.
Por ejemplo, genéricamente, dos rectas del plano se cortan en un solo punto (no son paralelas ni coincidentes). También se dice "dos líneas genéricas se cruzan en un punto", lo cual se formaliza con la noción de punto genérico . De manera similar, tres puntos genéricos en el plano no son colineales ; si tres puntos son colineales (aún más fuerte si dos coinciden), este es un caso degenerado .
Esta noción es importante en matemáticas y sus aplicaciones, porque los casos degenerados pueden requerir un tratamiento excepcional; por ejemplo, al enunciar teoremas generales o al dar enunciados precisos de los mismos, y al escribir programas de ordenador (ver complejidad genérica ).
Un conjunto de puntos en un espacio afín d -dimensional ( el espacio euclidiano d -dimensional es un ejemplo común) está en posición lineal general (o simplemente en posición general ) si ningún k de ellos se encuentra en un plano ( k − 2) dimensional para k = 2, 3, ..., d + 1 . Estas condiciones contienen una redundancia considerable ya que, si la condición se cumple para algún valor k 0, entonces también debe cumplirse para todo k con 2 ≤ k ≤ k 0 . Por lo tanto, para que un conjunto que contiene al menos d + 1 puntos en un espacio afín d -dimensional esté en posición general, es suficiente que ningún hiperplano contenga más de d puntos, es decir, los puntos no satisfacen más relaciones lineales de las que deben. [1]
También se dice que un conjunto de como máximo d + 1 puntos en posición lineal general es afínmente independiente (este es el análogo afín de la independencia lineal de vectores, o más precisamente de rango máximo), y d + 1 puntos en posición lineal general en El espacio d afín es una base afín . Consulte transformación afín para obtener más información.
De manera similar, n vectores en un espacio vectorial n -dimensional son linealmente independientes si y solo si los puntos que definen en el espacio proyectivo (de dimensión n − 1 ) están en posición lineal general.
Si un conjunto de puntos no está en una posición lineal general, se denomina caso degenerado o configuración degenerada, lo que implica que satisfacen una relación lineal que no siempre tiene por qué ser cierta.
Una aplicación fundamental es que, en el plano, cinco puntos determinan una cónica , siempre y cuando los puntos estén en posición general lineal (ningún tres son colineales).
Esta definición puede generalizarse aún más: se puede hablar de puntos en posición general con respecto a una clase fija de relaciones algebraicas (por ejemplo, secciones cónicas ). En geometría algebraica este tipo de condición se encuentra con frecuencia, en el sentido de que los puntos deben imponer condiciones independientes a las curvas que los atraviesan.
Por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero en general seis puntos no se encuentran en una cónica, por lo que estar en posición general con respecto a las cónicas requiere que no haya seis puntos en una cónica.
La posición general se conserva en mapas biregulares : si los puntos de la imagen satisfacen una relación, entonces en un mapa biregular esta relación puede retroceder a los puntos originales. Es significativo que el mapa de Veronese sea biregular; Como los puntos bajo el mapa de Veronese corresponden a evaluar un polinomio de grado d en ese punto, esto formaliza la noción de que los puntos en posición general imponen condiciones lineales independientes a las variedades que pasan a través de ellos.
La condición básica para la posición general es que los puntos no recaigan en subvariedades de grado inferior al necesario; en el plano dos puntos no deben coincidir, tres puntos no deben caer en una recta, seis puntos no deben caer en una cónica, diez puntos no deben caer en una cúbica, y lo mismo para grados superiores.
Sin embargo, esto no es suficiente. Si bien nueve puntos determinan una cúbica, hay configuraciones de nueve puntos que son especiales con respecto a las cúbicas, a saber, la intersección de dos cúbicas. La intersección de dos cúbicas, que son puntos (según el teorema de Bézout ), es especial porque nueve puntos en posición general están contenidos en una única cúbica, mientras que si están contenidos en dos cúbicas en realidad están contenidos en un lápiz (1- sistema lineal de parámetros ) de cúbicas, cuyas ecuaciones son las combinaciones lineales proyectivas de las ecuaciones de las dos cúbicas. Por lo tanto, tales conjuntos de puntos imponen una condición menos de lo esperado a las cúbicas que los contienen y, en consecuencia, satisfacen una restricción adicional, a saber, el teorema de Cayley-Bacharach de que cualquier cúbica que contenga ocho de los puntos necesariamente contiene el noveno. Afirmaciones análogas son válidas para grados superiores.
Para puntos en el plano o en una curva algebraica, la noción de posición general se hace algebraicamente precisa mediante la noción de un divisor regular , y se mide por la desaparición de los grupos de cohomología de gavilla superior del haz de líneas asociado (formalmente, gavilla invertible ). Como lo refleja la terminología, esto es significativamente más técnico que la imagen geométrica intuitiva, similar a cómo una definición formal de número de intersección requiere álgebra sofisticada. Esta definición se generaliza en dimensiones superiores a hipersuperficies (subvariedades de codimensión 1), en lugar de a conjuntos de puntos, y los divisores regulares se contrastan con los divisores superabundantes , como se analiza en el teorema de Riemann-Roch para superficies .
Tenga en cuenta que no todos los puntos en la posición general son proyectivamente equivalentes, lo cual es una condición mucho más fuerte; por ejemplo, cualesquiera k puntos distintos en la línea están en posición general, pero las transformaciones proyectivas son solo 3-transitivas, siendo la invariante de 4 puntos la relación cruzada .
Diferentes geometrías permiten diferentes nociones de restricciones geométricas. Por ejemplo, un círculo es un concepto que tiene sentido en la geometría euclidiana , pero no en la geometría lineal afín o en la geometría proyectiva, donde los círculos no se pueden distinguir de las elipses, ya que uno puede comprimir un círculo hasta convertirlo en una elipse. De manera similar, una parábola es un concepto en geometría afín pero no en geometría proyectiva, donde una parábola es simplemente una especie de cónica. La geometría que se utiliza abrumadoramente en la geometría algebraica es la geometría proyectiva, y la geometría afín encuentra un uso significativo pero mucho menor.
Así, en la geometría euclidiana tres puntos no colineales determinan un círculo (como el círculo circunstante del triángulo que definen), pero cuatro puntos en general no (lo hacen sólo para cuadriláteros cíclicos ), por lo que la noción de "posición general con respecto a círculos", es decir, "no hay cuatro puntos en un círculo" tiene sentido. En geometría proyectiva, por el contrario, los círculos no se diferencian de las cónicas y cinco puntos determinan una cónica, por lo que no existe una noción proyectiva de "posición general con respecto a los círculos".
La posición general es una propiedad de configuraciones de puntos o, más generalmente, de otras subvariedades (líneas en posición general, por lo que no hay tres concurrentes, y similares). La posición general es una noción extrínseca , que depende de una incrustación como subvariedad. Informalmente, las subvariedades están en posición general si no pueden describirse de manera más simple que otras. Un análogo intrínseco de la posición general es el tipo general y corresponde a una variedad que no puede describirse mediante ecuaciones polinomiales más simples que otras. Esto se formaliza mediante la noción de dimensión Kodaira de una variedad, y según esta medida los espacios proyectivos son las variedades más especiales, aunque hay otras igualmente especiales, es decir, que tienen dimensión Kodaira negativa. Para las curvas algebraicas, la clasificación resultante es: línea proyectiva, toro, superficies de género superior ( ), y clasificaciones similares ocurren en dimensiones superiores, en particular la clasificación Enriques-Kodaira de superficies algebraicas .
En la teoría de la intersección , tanto en geometría algebraica como en topología geométrica , se utiliza la noción análoga de transversalidad : las subvariedades en general se cruzan transversalmente, es decir, con multiplicidad 1, en lugar de ser tangentes u otras intersecciones de orden superior.
Cuando se analizan las teselaciones de Voronoi y las triangulaciones de Delaunay en el plano, se dice que un conjunto de puntos en el plano está en posición general sólo si no hay cuatro de ellos que se encuentren en el mismo círculo y que no haya tres de ellos colineales. La transformada de elevación habitual que relaciona la triangulación de Delaunay con la mitad inferior de un casco convexo (es decir, dando a cada punto p una coordenada adicional igual a | p | 2 ) muestra la conexión con la vista plana: cuatro puntos se encuentran en un círculo o tres de ellos son colineales exactamente cuando sus contrapartes elevadas no están en una posición lineal general.
En términos muy abstractos, la posición general es una discusión de las propiedades genéricas de un espacio de configuración ; en este contexto, uno se refiere a propiedades que se mantienen en el punto genérico de un espacio de configuración, o de manera equivalente en un conjunto abierto de Zariski.
Esta noción coincide con la noción teórica de medida de genérico, que significa que casi en todas partes del espacio de configuración, o de manera equivalente, que los puntos elegidos al azar casi seguramente (con probabilidad 1) estarán en la posición general.
