Sección cónica

Curva de un cono que intersecta un plano.

Los límites negros de las regiones coloreadas son secciones cónicas. No se muestra la otra mitad de la hipérbola, que se encuentra en la otra mitad no mostrada del cono doble.

Secciones cónicas visualizadas con luz de antorcha.

Este diagrama aclara los diferentes ángulos de los planos de corte que dan como resultado las diferentes propiedades de los tres tipos de sección cónica.

Una sección cónica , curva cónica o cuadrática es una curva obtenida a partir de la superficie de un cono que corta un plano . Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola , la parábola y la elipse ; el círculo es un caso especial de la elipse, aunque a veces se le denomina cuarto tipo. Los antiguos matemáticos griegos estudiaron las secciones cónicas, culminando alrededor del año 200 a. C. con el trabajo sistemático de Apolonio de Perga sobre sus propiedades.

Las secciones cónicas en el plano euclidiano tienen varias propiedades distintivas, muchas de las cuales pueden usarse como definiciones alternativas. Una de esas propiedades define una cónica no circular ^[1] como el conjunto de aquellos puntos cuyas distancias a algún punto particular, llamado foco , y alguna línea particular, llamada directriz , están en una proporción fija, llamada excentricidad . El tipo de cónica está determinado por el valor de la excentricidad. En geometría analítica , una cónica puede definirse como una curva algebraica plana de grado 2; es decir, como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática en dos variables que se puede escribir en la forma Las propiedades geométricas de la cónica se pueden deducir de su ecuación. ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

En el plano euclidiano, los tres tipos de secciones cónicas parecen bastante diferentes, pero comparten muchas propiedades. Al extender el plano euclidiano para incluir una línea en el infinito, obteniendo un plano proyectivo , la diferencia aparente se desvanece: las ramas de una hipérbola se encuentran en dos puntos en el infinito, convirtiéndola en una única curva cerrada; y los dos extremos de una parábola se encuentran para formar una curva cerrada tangente a la recta en el infinito. Una mayor extensión, al expandir las coordenadas reales para admitir coordenadas complejas , proporciona los medios para ver esta unificación algebraicamente.

Geometría euclidiana

Tipos de secciones cónicas:
1: Círculo        2: Elipse
3: Parábola  4: Hipérbola

Las secciones cónicas se han estudiado durante miles de años y han proporcionado una rica fuente de interesantes y hermosos resultados en geometría euclidiana .

Definición

Una cónica es la curva que se obtiene como la intersección de un plano , llamado plano de corte , con la superficie de un cono doble (un cono con dos napas ). Generalmente se supone que el cono es un cono circular recto para facilitar la descripción, pero esto no es necesario; cualquier cono doble con alguna sección transversal circular será suficiente. Los planos que pasan por el vértice del cono cortarán el cono en un punto, una recta o un par de rectas que se cruzan. Se denominan cónicas degeneradas y algunos autores no las consideran cónicas en absoluto. A menos que se indique lo contrario, "cónica" en este artículo se referirá a una cónica no degenerada.

Hay tres tipos de cónicas: la elipse , la parábola y la hipérbola . El círculo es un tipo especial de elipse, aunque históricamente Apolonio lo consideró un cuarto tipo. Las elipses surgen cuando la intersección del cono y el plano es una curva cerrada . El círculo se obtiene cuando el plano de corte es paralelo al plano del círculo generador del cono; para un cono recto, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje. Si el plano de corte es paralelo exactamente a una línea generadora del cono, entonces la cónica no está acotada y se llama parábola . En el caso restante, la figura es una hipérbola : el plano intersecta ambas mitades del cono, produciendo dos curvas separadas e ilimitadas.

Compárese también la sección esférica (intersección de un plano con una esfera, produciendo un círculo o un punto), y la cónica esférica (intersección de un cono elíptico con una esfera concéntrica).

Excentricidad, enfoque y directriz.

Secciones cónicas de excentricidad variable que comparten un punto focal y una línea directriz, incluida una elipse (roja, e = 1/2 ), una parábola (verde, e = 1 ) y una hipérbola (azul, e = 2 ). La cónica de excentricidad 0 en esta figura es un círculo infinitesimal centrado en el foco, y la cónica de excentricidad ∞ es un par de líneas infinitamente separadas.

Un círculo de radio finito tiene una directriz infinitamente distante, mientras que un par de líneas de separación finita tienen un foco infinitamente distante.

Alternativamente, se puede definir una sección cónica puramente en términos de geometría plana: es el lugar geométrico de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijo F (llamado foco ) es un múltiplo constante e (llamado excentricidad ) de la distancia desde P a una línea fija L (llamada directriz ). Para 0 < e < 1 obtenemos una elipse, para e = 1 una parábola y para e > 1 una hipérbola.

Un círculo es un caso límite y no está definido por un foco y una directriz en el plano euclidiano. La excentricidad de un círculo se define como cero y su foco es el centro del círculo, pero su directriz sólo puede tomarse como la línea en el infinito en el plano proyectivo. ^[2]

La excentricidad de una elipse puede verse como una medida de cuánto se desvía la elipse de ser circular. ^[3]

Si el ángulo entre la superficie del cono y su eje es y el ángulo entre el plano de corte y el eje es la excentricidad es ^[4] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$

El uso de esferas de Dandelin facilita la prueba de que las curvas anteriores definidas por la propiedad foco-directriz son las mismas que las obtenidas por los planos que cruzan un cono . ^[5]

Alternativamente, una elipse puede definirse en términos de dos puntos focales, como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a los dos focos es 2 a ; mientras que una hipérbola es el lugar geométrico para el cual la diferencia de distancias es 2 a . (Aquí a es el semieje mayor definido a continuación). Una parábola también se puede definir en términos de su foco y la línea del latus recto (paralela a la directriz y que pasa por el foco): es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al el foco más o menos la distancia a la línea es igual a 2 a ; más si el punto está entre la directriz y el lado recto, menos en caso contrario.

Parámetros cónicos

Parámetros cónicos en el caso de una elipse.

Además de la excentricidad ( e ), focos y directriz, varias características geométricas y longitudes están asociadas con una sección cónica.

El eje principal es la línea que une los focos de una elipse o hipérbola, y su punto medio es el centro de la curva . Una parábola no tiene centro.

La excentricidad lineal ( c ) es la distancia entre el centro y un foco.

El latus rectum es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por un foco; su mitad de longitud es el recto semilato ( ℓ ).

El parámetro focal ( p ) es la distancia desde un foco a la directriz correspondiente.

El eje mayor es la cuerda entre los dos vértices: la cuerda más larga de una elipse, la cuerda más corta entre las ramas de una hipérbola. Su media longitud es el semieje mayor ( a ). Cuando una elipse o hipérbola está en posición estándar como en las ecuaciones siguientes, con focos en el eje x y centro en el origen, los vértices de la cónica tienen coordenadas (− a , 0) y ( a , 0) , con una no negativo.

El eje menor es el diámetro más corto de una elipse y su longitud media es el semieje menor ( b ), el mismo valor b que en la ecuación estándar siguiente. Por analogía, para una hipérbola, el parámetro b en la ecuación estándar también se llama semieje menor.

Se mantienen las siguientes relaciones: ^[6]

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

Para cónicas en posición estándar, estos parámetros tienen los siguientes valores, tomando . ${\displaystyle a,b>0}$

Formas estándar en coordenadas cartesianas

Formas estándar de una elipse.

Formas estándar de una parábola

Formas estándar de una hipérbola

Después de introducir las coordenadas cartesianas , la propiedad de la directiva de enfoque se puede utilizar para producir las ecuaciones satisfechas por los puntos de la sección cónica. ^[7] Mediante un cambio de coordenadas ( rotación y traslación de ejes ) estas ecuaciones se pueden poner en formas estándar . ^[8] Para elipses e hipérbolas, una forma estándar tiene el eje x como eje principal y el origen (0,0) como centro. Los vértices son (± a , 0) y los focos (± c , 0) . Defina b mediante las ecuaciones c ² = a ² − b ² para una elipse y c ² = a ² + b ² para una hipérbola. Para un círculo, c = 0 entonces a ² = b ² , con radio r = a = b . Para la parábola, la forma estándar tiene el foco en el eje x en el punto ( a , 0) y la directriz la recta con ecuación x = − a . En forma estándar la parábola siempre pasará por el origen.

Para una hipérbola rectangular o equilátera , cuyas asíntotas son perpendiculares, existe una forma estándar alternativa en la que las asíntotas son los ejes de coordenadas y la recta x = y es el eje principal. Los focos entonces tienen coordenadas ( c , c ) y (− c , − c ) . ^[9]

• Círculo:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• Elipse:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Parábola:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,}$

• Hipérbola:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Hipérbola rectangular: ^[10]

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

Las primeras cuatro de estas formas son simétricas con respecto al eje x y al eje y (para el círculo, la elipse y la hipérbola), o solo con respecto al eje x (para la parábola). La hipérbola rectangular, sin embargo, es simétrica con respecto a las líneas y = x e y = − x .

Estas formas estándar se pueden escribir paramétricamente como,

• Círculo :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• Elipse :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• Parábola :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• Hipérbola :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$,

• Hipérbola rectangular :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

Forma cartesiana general

En el sistema de coordenadas cartesiano , la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica (aunque puede ser degenerada), ^[a] y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación más general es de la forma ^[11]

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

con todos los coeficientes números reales y A, B, C no todos cero.

Notación matricial

La ecuación anterior se puede escribir en notación matricial como ^[12]

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.}$$

La ecuación general también se puede escribir como

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.}$$

Esta forma es una especialización de la forma homogénea utilizada en el entorno más general de la geometría proyectiva (ver más abajo).

discriminante

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar en términos del valor , llamado discriminante de la ecuación. ^[13] Por lo tanto, el discriminante es − 4Δ donde Δ es el determinante de la matriz ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

Si la cónica no es degenerada , entonces: ^[14]

• si B ² − 4 AC < 0 , la ecuación representa una elipse ;
  • si A = C y B = 0 , la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de elipse;
• si B ² − 4 AC = 0 , la ecuación representa una parábola ;
• si B ² − 4 AC > 0 , la ecuación representa una hipérbola ;
  • si A + C = 0 , la ecuación representa una hipérbola rectangular .

En la notación utilizada aquí, A y B son coeficientes polinomiales, en contraste con algunas fuentes que denotan los ejes semimayor y semimenor como A y B.

Invariantes

El discriminante B ² – 4 AC de la ecuación cuadrática de la sección cónica (o equivalentemente el determinante AC – B ² /4 de la matriz de 2 × 2) y la cantidad A + C (la traza de la matriz de 2 × 2) son invariantes bajo rotaciones y traslaciones arbitrarias de los ejes de coordenadas, ^{[14] [15] [16]} como es el determinante de la matriz de 3 × 3 anterior. ^{[17] : págs. 60-62} El término constante F y la suma D ² + E ² son invariantes sólo bajo rotación. ^{[17] : págs. 60–62}

Excentricidad en términos de coeficientes.

Cuando la sección cónica se escribe algebraicamente como

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

la excentricidad se puede escribir en función de los coeficientes de la ecuación cuadrática. ^[18] Si 4 AC = B ² la cónica es una parábola y su excentricidad es igual a 1 (siempre que no sea degenerada). De lo contrario, suponiendo que la ecuación representa una hipérbola o elipse no degenerada, la excentricidad viene dada por

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

donde η = 1 si el determinante de la matriz de 3 × 3 anterior es negativo y η = −1 si ese determinante es positivo.

También se puede mostrar ^{[17] : p. 89} que la excentricidad es una solución positiva de la ecuación

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

donde nuevamente Esto tiene precisamente una solución positiva—la excentricidad—en el caso de una parábola o elipse, mientras que en el caso de una hipérbola tiene dos soluciones positivas, una de las cuales es la excentricidad. ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$

Conversión a forma canónica

En el caso de una elipse o hipérbola, la ecuación

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

se puede convertir a forma canónica en variables transformadas como ^[19] ${\displaystyle {\tilde {x}},{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}$

o equivalente

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}$

donde y son los valores propios de la matriz , es decir, las soluciones de la ecuación ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

— y es el determinante de la matriz de 3 × 3 anterior, y es nuevamente el determinante de la matriz de 2 × 2. En el caso de una elipse, los cuadrados de los dos semiejes vienen dados por los denominadores en forma canónica. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$

Coordenadas polares

Desarrollo de la sección cónica a medida que aumenta la excentricidad e

En coordenadas polares , una sección cónica con un foco en el origen y, si lo hay, el otro en un valor negativo (para una elipse) o un valor positivo (para una hipérbola) en el eje x , viene dada por la ecuación

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

donde e es la excentricidad y l es el recto semilato.

Como arriba, para e = 0 , la gráfica es un círculo, para 0 < e < 1 la gráfica es una elipse, para e = 1 una parábola y para e > 1 una hipérbola.

La forma polar de la ecuación de una cónica suele utilizarse en dinámica ; por ejemplo, determinar las órbitas de objetos que giran alrededor del Sol. ^[20]

Propiedades

Así como dos puntos (distintos) determinan una línea, cinco puntos determinan una cónica . Formalmente, dados cinco puntos cualesquiera en el plano en posición lineal general , es decir, no hay tres colineales , hay una cónica única que pasa a través de ellos, que no será degenerada; esto es cierto tanto en el plano euclidiano como en su extensión, el plano proyectivo real. De hecho, dados cinco puntos cualesquiera, hay una cónica que los atraviesa, pero si tres de los puntos son colineales, la cónica será degenerada (reducible, porque contiene una línea) y puede no ser única; ver más discusión .

Cuatro puntos en el plano en posición lineal general determinan una cónica única que pasa por los primeros tres puntos y tiene el cuarto punto como centro. Por tanto, conocer el centro equivale a conocer dos puntos de la cónica para determinar la curva. ^[21]

Además, una cónica está determinada por cualquier combinación de k puntos en la posición general por los que pasa y 5 – k líneas tangentes a ella, para 0≤ k ≤5. ^[22]

Cualquier punto del plano está en cero, una o dos rectas tangentes de una cónica. Un punto en una sola recta tangente está en la cónica. Un punto en una recta no tangente se dice que es un punto interior (o punto interior) de la cónica, mientras que un punto en dos rectas tangentes es un punto exterior (o punto exterior).

Todas las secciones cónicas comparten una propiedad de reflexión que se puede enunciar como: Todos los espejos con forma de sección cónica no degenerada reflejan la luz que viene o se dirige hacia un foco hacia o alejándose del otro foco. En el caso de la parábola, es necesario pensar que el segundo foco está infinitamente lejos, de modo que los rayos de luz que van hacia o desde el segundo foco son paralelos. ^{[23] [24]}

El teorema de Pascal se refiere a la colinealidad de tres puntos que se construyen a partir de un conjunto de seis puntos en cualquier cónica no degenerada. El teorema también es válido para cónicas degeneradas que constan de dos rectas, pero en ese caso se conoce como teorema de Pappus .

Las secciones cónicas no degeneradas son siempre " lisas ". Esto es importante para muchas aplicaciones, como la aerodinámica, donde se requiere una superficie lisa para garantizar el flujo laminar y evitar turbulencias .

Historia

Menecmo y sus primeras obras

Se cree que la primera definición de sección cónica la dio Menecmo (fallecido en 320 a. C.) como parte de su solución al problema de Delos ( Duplicar el cubo ). ^{[b] [25]} Su obra no sobrevivió, ni siquiera los nombres que usó para estas curvas, y sólo se conoce a través de relatos secundarios. ^[26] La definición utilizada en aquella época difiere de la que se utiliza habitualmente en la actualidad. Los conos se construyeron girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos de modo que la hipotenusa genere la superficie del cono (esta línea se llama generatriz). Se determinaron tres tipos de conos por sus ángulos de vértice (medidos por el doble del ángulo formado por la hipotenusa y el cateto que se gira en el triángulo rectángulo). Luego se determinó la sección cónica intersectando uno de estos conos con un plano trazado perpendicular a una generatriz. El tipo de cónica está determinado por el tipo de cono, es decir, por el ángulo formado en el vértice del cono: Si el ángulo es agudo entonces la cónica es una elipse; si el ángulo es recto entonces la cónica es una parábola; y si el ángulo es obtuso entonces la cónica es una hipérbola (pero sólo una rama de la curva). ^[27]

Se dice que Euclides (fl. 300 a. C.) escribió cuatro libros sobre cónicas, pero también se perdieron. ^{[28] Se sabe que} Arquímedes (fallecido c.  212 a. C.) estudió las cónicas y determinó el área delimitada por una parábola y una cuerda en cuadratura de la parábola . Su principal interés estaba en cuanto a la medición de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas y parte de este trabajo sobrevive en su libro sobre los sólidos de revolución de las cónicas, Sobre conoides y esferoides . ^[29]

Apolonio de Perga

Diagrama de las Cónicas de Apolonio , en una traducción árabe del siglo IX

El mayor progreso en el estudio de las cónicas por parte de los antiguos griegos se debe a Apolonio de Perga (fallecido c.  190 a. C.), cuyos ocho volúmenes Secciones cónicas o Cónicas resumieron y ampliaron enormemente el conocimiento existente. ^[30] El estudio de Apolonio de las propiedades de estas curvas permitió demostrar que cualquier plano que corte un cono doble fijo (dos pelos), independientemente de su ángulo, producirá una cónica según la definición anterior, lo que lleva a la definición comúnmente utilizada. hoy. Los círculos que no se pueden construir con el método anterior también se pueden obtener de esta manera. Esto puede explicar por qué Apolonio consideraba los círculos como un cuarto tipo de sección cónica, distinción que ya no se hace. Apolonio utilizó los nombres de "elipse", "parábola" e "hipérbola" para estas curvas, tomando prestada la terminología de trabajos anteriores de Pitágoras sobre áreas. ^[31]

A Pappus de Alejandría (fallecido c.  350 d. C.) se le atribuye haber expuesto la importancia del concepto de foco de una cónica y detallar el concepto relacionado de directriz, incluido el caso de la parábola (que falta en las obras conocidas de Apolonio). ^[32]

mundo islámico

La obra de Apolonio fue traducida al árabe y gran parte de su obra sólo sobrevive a través de la versión árabe. Los matemáticos islámicos encontraron aplicaciones de la teoría, sobre todo el matemático y poeta persa Omar Khayyám , ^[33] quien encontró un método geométrico para resolver ecuaciones cúbicas utilizando secciones cónicas. ^{[34] [35]}

Un siglo antes de la obra más famosa de Khayyam, Abu al-Jud usó cónicas para resolver ecuaciones de cuarto grado y cúbicas, ^[36] aunque su solución no abarcó todos los casos. ^[37]

Un instrumento para dibujar secciones cónicas fue descrito por primera vez en el año 1000 d.C. por Al-Kuhi . ^{[38] [39]}

Europa

Tabla de cónicas, Cyclopaedia , 1728

Johannes Kepler amplió la teoría de las cónicas mediante el " principio de continuidad ", precursor del concepto de límites. Kepler utilizó por primera vez el término "focos" en 1604. ^[40]

Girard Desargues y Blaise Pascal desarrollaron una teoría de las cónicas utilizando una forma temprana de geometría proyectiva y esto ayudó a impulsar el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como hexagrammum mysticum del cual se pueden deducir muchas otras propiedades de las cónicas.

René Descartes y Pierre Fermat aplicaron su geometría analítica recién descubierta al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas de álgebra. Sin embargo, fue John Wallis en su tratado Tractatus de sectionibus conicis de 1655 quien definió por primera vez las secciones cónicas como casos de ecuaciones de segundo grado. ^[41] Escrito anteriormente, pero publicado posteriormente, Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt comienza con la construcción cinemática de las cónicas de Kepler y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Este trabajo, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes, ha sido calificado como el primer libro de texto sobre el tema. ^[42] De Witt inventó el término "directriz". ^[42]

Aplicaciones

La forma paraboloide de los arqueociátidos produce secciones cónicas en las paredes rocosas.

Las secciones cónicas son importantes en astronomía : las órbitas de dos objetos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal de Newton son secciones cónicas si se considera que su centro de masa común está en reposo. Si están unidos, ambos trazarán elipses; si se separan, ambos seguirán parábolas o hipérbolas. Ver problema de dos cuerpos .

Las propiedades reflectantes de las secciones cónicas se utilizan en el diseño de reflectores, radiotelescopios y algunos telescopios ópticos. ^[43] Un reflector utiliza un espejo parabólico como reflector, con una bombilla en el foco; y se utiliza una construcción similar para un micrófono parabólico . El telescopio óptico Herschel de 4,2 metros de La Palma, en las Islas Canarias, utiliza un espejo parabólico primario para reflejar la luz hacia un espejo hiperbólico secundario, que la refleja nuevamente hacia un foco detrás del primer espejo.

En el plano proyectivo real

Las secciones cónicas tienen algunas propiedades muy similares en el plano euclidiano y las razones de esto se vuelven más claras cuando las cónicas se ven desde la perspectiva de una geometría más amplia. El plano euclidiano puede estar incrustado en el plano proyectivo real y las cónicas pueden considerarse objetos en esta geometría proyectiva. Una forma de hacerlo es introducir coordenadas homogéneas y definir una cónica como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática irreducible en tres variables (o equivalentemente, los ceros de una forma cuadrática irreducible ). Más técnicamente, el conjunto de puntos que son ceros de forma cuadrática (en cualquier número de variables) se llama cuádrica , y las cuádricas irreducibles en un espacio proyectivo bidimensional (es decir, que tiene tres variables) se llaman tradicionalmente cónicas.

El plano euclidiano R ² está incrustado en el plano proyectivo real al unir una línea en el infinito (y sus puntos correspondientes en el infinito ) de modo que todas las líneas de una clase paralela se encuentran en esta línea. Por otro lado, partiendo del plano proyectivo real, se obtiene un plano euclidiano distinguiendo alguna recta como la recta del infinito y eliminándola junto con todos sus puntos.

Intersección en el infinito

En un espacio proyectivo sobre cualquier anillo de división, pero en particular sobre números reales o complejos, todas las cónicas no degeneradas son equivalentes y, por tanto, en geometría proyectiva se habla de "una cónica" sin especificar un tipo. Es decir, existe una transformación proyectiva que asignará cualquier cónica no degenerada a cualquier otra cónica no degenerada. ^[44]

Los tres tipos de secciones cónicas reaparecerán en el plano afín obtenido eligiendo una línea del espacio proyectivo como la línea del infinito. Los tres tipos están entonces determinados por cómo esta línea en el infinito intersecta la cónica en el espacio proyectivo. En el espacio afín correspondiente, se obtiene una elipse si la cónica no corta a la recta en el infinito, una parábola si la cónica corta a la recta en el infinito en un doble punto correspondiente al eje, y una hipérbola si la cónica corta a la recta en infinito en dos puntos correspondientes a las asíntotas. ^[45]

Coordenadas homogéneas

En coordenadas homogéneas una sección cónica se puede representar como:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

O en notación matricial

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

La matriz de 3 × 3 anterior se llama matriz de la sección cónica .

Algunos autores prefieren escribir la ecuación general homogénea como

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(o alguna variación de esto) para que la matriz de la sección cónica tenga la forma más simple,

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

pero esta notación no se utiliza en este artículo. ^[C]

Si el determinante de la matriz de la sección cónica es cero, la sección cónica es degenerada.

Como multiplicar los seis coeficientes por el mismo escalar distinto de cero produce una ecuación con el mismo conjunto de ceros, se pueden considerar las cónicas, representadas por ( A , B , C , D , E , F ) como puntos en el proyectivo de cinco dimensiones. espacio ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Definición proyectiva de un círculo.

Los conceptos métricos de la geometría euclidiana (conceptos relacionados con la medición de longitudes y ángulos) no pueden extenderse inmediatamente al plano proyectivo real. ^[d] Deben ser redefinidos (y generalizados) en esta nueva geometría. Esto se puede hacer para planos proyectivos arbitrarios , pero para obtener el plano proyectivo real como plano euclidiano extendido, se deben tomar algunas decisiones específicas. ^[46]

Fijar una línea arbitraria en un plano proyectivo que se denominará línea absoluta . Seleccione dos puntos distintos en la línea absoluta y consúltelos como puntos absolutos . Se pueden definir varios conceptos métricos con referencia a estas opciones. Por ejemplo, dada una recta que contiene los puntos A y B , el punto medio del segmento AB se define como el punto C que es el conjugado armónico proyectivo del punto de intersección de AB y la recta absoluta, con respecto a A y B.

Una cónica en un plano proyectivo que contiene los dos puntos absolutos se llama círculo . Como cinco puntos determinan una cónica, un círculo (que puede ser degenerado) está determinado por tres puntos. Para obtener el plano euclidiano extendido, se elige que la línea absoluta sea la línea en el infinito del plano euclidiano y los puntos absolutos son dos puntos especiales en esa línea llamados puntos circulares en el infinito . Las rectas que contienen dos puntos con coordenadas reales no pasan por los puntos circulares en el infinito, por lo que en el plano euclidiano una circunferencia, según esta definición, está determinada por tres puntos que no son colineales . ^[47]

Se ha mencionado que los círculos en el plano euclidiano no pueden definirse mediante la propiedad foco-directriz. Sin embargo, si uno considerara la línea en el infinito como la directriz, entonces, al tomar la excentricidad como e = 0 , un círculo tendrá la propiedad foco-directriz, pero aún no está definido por esa propiedad. ^[48] ​​En esta situación se debe tener cuidado de utilizar correctamente la definición de excentricidad como la relación entre la distancia de un punto en el círculo al foco (longitud de un radio) y la distancia de ese punto a la directriz (esta distancia es infinito) lo que da el valor límite de cero.

Definición cónica proyectiva de Steiner

Definición de la generación Steiner de una sección cónica.

Jakob Steiner propuso en 1867 un enfoque sintético (sin coordenadas) para definir las secciones cónicas en un plano proyectivo .

• Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva de sobre . Entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ^{[49] [50] [51] [52]} ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Un mapeo en perspectiva de un lápiz sobre un lápiz es una biyección (correspondencia 1-1) tal que las líneas correspondientes se cruzan en una línea fija , que se llama eje de la perspectiva . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi }$

Un mapeo proyectivo es una secuencia finita de mapeos en perspectiva.

Como un mapeo proyectivo en un plano proyectivo sobre un campo ( plano papio ) se determina únicamente prescribiendo las imágenes de tres líneas, ^[53] para la generación de Steiner de una sección cónica, además de dos puntos, solo se deben representar las imágenes de 3 líneas. dado. Estos 5 elementos (2 puntos, 3 líneas) determinan de forma única la sección cónica. ${\displaystyle U,V}$

Cónicas de línea

Según el principio de dualidad en un plano proyectivo, el dual de cada punto es una línea, y el dual de un lugar geométrico de puntos (un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición) se llama envolvente de líneas. Utilizando la definición de Steiner de una cónica (a este lugar geométrico de puntos ahora nos referiremos como una cónica puntual ) como el encuentro de los rayos correspondientes de dos lápices relacionados, es fácil dualizar y obtener la envolvente correspondiente que consta de las uniones de los puntos correspondientes de dos rangos relacionados (puntos en una línea) en diferentes bases (las líneas en las que están los puntos). Esta envolvente se llama cónica lineal (o cónica dual).

En el plano proyectivo real, un punto cónico tiene la propiedad de que toda recta lo corta en dos puntos (que pueden coincidir o ser complejos) y cualquier conjunto de puntos con esta propiedad es un punto cónico. Se deduce dualmente que una recta cónica tiene dos de sus rectas que pasan por cada punto y cualquier envolvente de rectas con esta propiedad es una recta cónica. En cada punto de un punto cónico hay una única recta tangente, y dualmente, en cada línea de una recta cónica hay un único punto llamado punto de contacto . Un teorema importante establece que las rectas tangentes de un punto cónico forman una recta cónica y, dualmente, los puntos de contacto de una recta cónica forman un punto cónico. ^[54]

Definición de von Staudt

Karl Georg Christian von Staudt definió una cónica como el conjunto de puntos dado por todos los puntos absolutos de una polaridad que tiene puntos absolutos. Von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos de la geometría proyectiva.

Una polaridad , π , de un plano proyectivo P es una biyección involutiva entre los puntos y las rectas de P que preserva la relación de incidencia . Así, una polaridad asocia un punto Q con una recta q mediante π ( Q ) = q y π ( q ) = Q. Siguiendo a Gergonne , q se llama polar de Q y Q polo de q . ^[55] Un punto absoluto (o línea ) de una polaridad es aquel que incide con su polar (polo). ^[mi]

Una cónica de von Staudt en el plano proyectivo real es equivalente a una cónica de Steiner . ^[56]

Construcciones

No se puede construir ningún arco continuo de una cónica con regla y compás. Sin embargo, existen varias construcciones con regla y compás para cualquier número de puntos individuales en un arco.

Uno de ellos se basa en lo inverso del teorema de Pascal, es decir, si los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono son colineales, entonces los seis vértices se encuentran en una cónica. Específicamente, dados cinco puntos, A , B , C , D , E y una línea que pasa por E , digamos EG , se puede construir un punto F que se encuentra en esta línea y está en la cónica determinada por los cinco puntos. Sea AB y DE en L , BC y EG en M y CD y LM en N. _ Entonces AN se encuentra con EG en el punto F requerido . ^[57] Al variar la línea que pasa por E , se pueden construir tantos puntos adicionales en la cónica como se desee.

Método del paralelogramo para construir una elipse.

Otro método, basado en la construcción de Steiner y que es útil en aplicaciones de ingeniería, es el método del paralelogramo, donde se construye una cónica punto por punto mediante la conexión de ciertos puntos igualmente espaciados en una línea horizontal y una línea vertical. ^[58] Específicamente, para construir la elipse con la ecuaciónx2 ^_/un ²+y ²/segundo ²= 1 , primero construye el rectángulo ABCD con los vértices A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (− a , 2 b ) y D (− a , 0) . Divida el lado BC en n segmentos iguales y use proyección paralela, con respecto a la diagonal AC , para formar segmentos iguales en el lado AB (las longitudes de estos segmentos seránb/aveces la longitud de los segmentos en BC ). En el lado BC , marque los extremos izquierdos de los segmentos con A ₁ a A _n comenzando en B y yendo hacia C. En el lado AB etiquete los puntos finales superiores D ₁ a D _n comenzando en A y yendo hacia B . Los puntos de intersección, AA _i ∩ DD _i para 1 ≤ i ≤ n serán puntos de la elipse entre A y P (0, b ) . El etiquetado asocia las líneas del lápiz que pasan por A con las líneas del lápiz que pasan por D de manera proyectiva pero no en perspectiva. La cónica buscada se obtiene mediante esta construcción ya que tres puntos A , D y P y dos tangentes (las líneas verticales en A y D ) determinan unívocamente la cónica. Si en lugar de los ejes mayor y menor de la elipse se utiliza otro diámetro (y su diámetro conjugado), se utiliza en la construcción un paralelogramo que no es un rectángulo, dando el nombre del método. La asociación de líneas de los lápices se puede ampliar para obtener otros puntos de la elipse. Las construcciones para hipérbolas ^[59] y parábolas ^[60] son ​​similares.

Otro método general más utiliza la propiedad de polaridad para construir la envolvente tangente de una cónica (una línea cónica). ^[61]

En el plano proyectivo complejo

En el plano complejo C ² , las elipses y las hipérbolas no son distintas: se puede considerar una hipérbola como una elipse con una longitud de eje imaginaria. Por ejemplo, la elipse se convierte en una hipérbola bajo la sustitución geométrica de una rotación compleja, lo que produce . Por tanto, existe una clasificación de 2 vías: elipse/hipérbola y parábola. Extendiendo las curvas al plano proyectivo complejo, esto corresponde a cruzar la recta en el infinito en 2 puntos distintos (correspondientes a dos asíntotas) o en 1 punto doble (correspondiente al eje de una parábola); por lo tanto, la hipérbola real es una imagen real más sugerente para la elipse/hipérbola compleja, ya que también tiene 2 intersecciones (reales) con la línea en el infinito. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=iw,}$ ${\displaystyle x^{2}-w^{2}=1}$

Se produce una mayor unificación en el plano proyectivo complejo CP ² : las cónicas no degeneradas no se pueden distinguir entre sí, ya que cualquiera puede llevarse a cualquier otra mediante una transformación lineal proyectiva .

Se puede demostrar que en CP ² , dos secciones cónicas tienen cuatro puntos en común (si se tiene en cuenta la multiplicidad ), por lo que hay entre 1 y 4 puntos de intersección . Las posibilidades de intersección son: cuatro puntos distintos, dos puntos singulares y un punto doble, dos puntos dobles, un punto singular y uno con multiplicidad 3, un punto con multiplicidad 4. Si algún punto de intersección tiene multiplicidad > 1, se dicen las dos curvas. ser tangente . Si hay un punto de intersección de multiplicidad al menos 3, se dice que las dos curvas están osculando . Si solo hay un punto de intersección, que tiene multiplicidad 4, se dice que las dos curvas son superosculadoras . ^[62]

Además, cada línea recta corta dos veces cada sección cónica. Si el punto de intersección es doble, la recta es tangente . Al cruzarse con la línea en el infinito, cada sección cónica tiene dos puntos en el infinito. Si estos puntos son reales, la curva es una hipérbola ; si son conjugados imaginarios, es una elipse ; si solo hay un punto doble, es una parábola . Si los puntos en el infinito son los puntos cíclicos (1, i , 0) y (1, – i , 0) , la sección cónica es un círculo . Si los coeficientes de una sección cónica son reales, los puntos en el infinito son reales o conjugados complejos .

Casos degenerados

Lo que debe considerarse un caso degenerado de una cónica depende de la definición que se utilice y de la configuración geométrica de la sección cónica. Hay algunos autores que definen una cónica como una cuádrica bidimensional no degenerada. Con esta terminología no hay cónicas degeneradas (sólo cuádricas degeneradas), pero usaremos la terminología más tradicional y evitaremos esa definición.

En el plano euclidiano, usando la definición geométrica, surge un caso degenerado cuando el plano cortante pasa por el vértice del cono. La cónica degenerada es: un punto , cuando el plano intersecta al cono sólo en el vértice; una línea recta , cuando el plano es tangente al cono (contiene exactamente un generador del cono); o un par de líneas que se cruzan (dos generadores del cono). ^[63] Estos corresponden respectivamente a las formas límite de una elipse, una parábola y una hipérbola.

Si una cónica en el plano euclidiano está definida por los ceros de una ecuación cuadrática (es decir, como una ecuación cuadrática), entonces las cónicas degeneradas son: el conjunto vacío , un punto o un par de rectas que pueden ser paralelas, se cruzan en un punto, o coincidir. El caso del conjunto vacío puede corresponder a un par de líneas paralelas conjugadas complejas , como en la ecuación , o a una elipse imaginaria , como en la ecuación. Una elipse imaginaria no satisface la definición general de degeneración y, por lo tanto, normalmente no se considera. como degenerado. ^[64] El caso de las dos líneas ocurre cuando la expresión cuadrática se factoriza en dos factores lineales, y los ceros de cada uno dan una línea. En el caso de que los factores sean iguales, las rectas correspondientes coinciden y nos referimos a la recta como una recta doble (una recta con multiplicidad 2) y este es el caso anterior de un plano de corte tangente. ${\displaystyle x^{2}+1=0,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}$

En el plano proyectivo real, dado que las líneas paralelas se encuentran en un punto de la línea en el infinito, el caso de las líneas paralelas del plano euclidiano puede verse como líneas que se cruzan. Sin embargo, como el punto de intersección es el vértice del cono, el cono mismo degenera hasta convertirse en un cilindro , es decir, con el vértice en el infinito. Otras secciones en este caso se denominan secciones cilíndricas . ^[65] Las secciones cilíndricas no degeneradas son elipses (o círculos).

Cuando se ven desde la perspectiva del plano proyectivo complejo, los casos degenerados de una ecuación cuadrática real (es decir, la ecuación cuadrática tiene coeficientes reales) pueden considerarse todos como un par de líneas, posiblemente coincidentes. El conjunto vacío puede ser la recta del infinito considerada como recta doble, un punto (real) es la intersección de dos rectas conjugadas complejas y los demás casos como se mencionó anteriormente.

Para distinguir los casos degenerados de los casos no degenerados (incluido el conjunto vacío con este último) usando notación matricial, sea β el determinante de la matriz 3 × 3 de la sección cónica, es decir, β = ( AC −B ²/4) F +CAMA − CD ² − AE ²/4; y sea α = B ² − 4 AC el discriminante. Entonces la sección cónica es no degenerada si y sólo si β ≠ 0 . Si β = 0 tenemos un punto cuando α < 0 , dos líneas paralelas (posiblemente coincidentes) cuando α = 0 , o dos líneas que se cruzan cuando α > 0 . ^[66]

lápiz de cónicas

Una cónica (no degenerada) está completamente determinada por cinco puntos en posición general (no tres colineales ) en un plano y el sistema de cónicas que pasan por un conjunto fijo de cuatro puntos (nuevamente en un plano y no tres colineales) se llama un lápiz de cónicas . ^[67] Los cuatro puntos comunes se denominan puntos base del lápiz. Por cualquier punto que no sea un punto base, pasa una sola cónica del lápiz. Este concepto generaliza un lápiz de círculos . ^[68]

Intersección de dos cónicas

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables pueden verse como las coordenadas de los puntos de intersección de dos secciones cónicas genéricas. En particular, dos cónicas pueden no tener ninguno, dos o cuatro puntos de intersección posiblemente coincidentes. Un método eficaz para localizar estas soluciones explota la representación matricial homogénea de secciones cónicas , es decir, una matriz simétrica de 3 × 3 que depende de seis parámetros.

El procedimiento para ubicar los puntos de intersección sigue estos pasos, donde las cónicas se representan mediante matrices: ^[69]

• dadas las dos cónicas y , considere el lápiz de cónicas dado por su combinación lineal ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}.}$
• Identificar los parámetros homogéneos que corresponden a la cónica degenerada del lápiz. Esto se puede hacer imponiendo la condición that y resolviendo y . Estas resultan ser las soluciones de una ecuación de tercer grado. ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ ${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$
• Dada la cónica degenerada , identifica las dos líneas, posiblemente coincidentes, que la constituyen. ${\displaystyle C_{0}}$
• intersecar cada línea identificada con cualquiera de las dos cónicas originales; Este paso se puede realizar de manera eficiente utilizando la representación cónica dual de ${\displaystyle C_{0}}$
• los puntos de intersección representarán las soluciones del sistema de ecuaciones inicial.

Generalizaciones

Las cónicas pueden definirse sobre otros campos (es decir, en otras geometrías papias ). Sin embargo, se debe tener cierto cuidado cuando el campo tiene la característica 2, ya que algunas fórmulas no se pueden utilizar. Por ejemplo, las representaciones matriciales utilizadas anteriormente requieren división por 2.

Una generalización de una cónica no degenerada en un plano proyectivo es un óvalo . Un óvalo es un conjunto de puntos que tiene las siguientes propiedades, que están sostenidas por las cónicas: 1) cualquier recta corta a un óvalo en ninguno, uno o dos puntos, 2) en cualquier punto del óvalo existe una recta tangente única.

Generalizar las propiedades de los focos de las cónicas al caso en el que hay más de dos focos produce conjuntos llamados cónicas generalizadas .

La intersección de un cono elíptico con una esfera es una cónica esférica , que comparte muchas propiedades con las cónicas planas.

En otras áreas de las matemáticas

La clasificación en elíptica, parabólica e hiperbólica es omnipresente en matemáticas y, a menudo, divide un campo en subcampos claramente distintos. La clasificación surge principalmente debido a la presencia de una forma cuadrática (en dos variables esto corresponde al discriminante asociado ), pero también puede corresponder a la excentricidad.

Clasificaciones de forma cuadrática:

formas cuadráticas

Las formas cuadráticas sobre los reales se clasifican según la ley de inercia de Sylvester , es decir, por su índice positivo, índice cero e índice negativo: una forma cuadrática en n variables se puede convertir en una forma diagonal , como donde el número de coeficientes +1, k , es el índice positivo, el número de coeficientes −1, ℓ , es el índice negativo y las variables restantes son el índice cero m, por lo que en dos variables las formas cuadráticas distintas de cero se clasifican como: ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$ ${\displaystyle k+\ell +m=n.}$

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$– positivo-definido (también se incluye el negativo), correspondiente a elipses,
• ${\displaystyle x^{2}}$– degenerados, correspondientes a parábolas, y
• ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$– indefinido, correspondiente a las hipérbolas.

En dos variables, las formas cuadráticas se clasifican por discriminante, de manera análoga a las cónicas, pero en dimensiones superiores la clasificación más útil es definida ( todas positivas o todas negativas), degenerada (algunos ceros) o indefinida (mezcla de positivos y negativos pero sin ceros). Esta clasificación subyace a muchas de las siguientes.

Curvatura

La curvatura gaussiana de una superficie describe la geometría infinitesimal y puede ser en cada punto positiva ( geometría elíptica) , cero ( geometría euclidiana (plana, parábola) o negativa ( geometría hiperbólica ); infinitamente, a segundo orden la superficie se parece a la gráfica de (o 0), o . De hecho, según el teorema de uniformización, se puede considerar que cada superficie está globalmente (en cada punto) curvada positivamente, plana o curvada negativamente. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann es un objeto más complicado, pero las variedades con curvatura seccional constante son objetos de estudio interesantes y tienen propiedades sorprendentemente diferentes, como se analiza en curvatura seccional . ${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

PDE de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de segundo orden se clasifican en cada punto en elípticas, parabólicas o hiperbólicas, según sus términos de segundo orden correspondan a una forma cuadrática elíptica, parabólica o hiperbólica. El comportamiento y la teoría de estos diferentes tipos de PDE son sorprendentemente diferentes: ejemplos representativos son que la ecuación de Poisson es elíptica, la ecuación de calor es parabólica y la ecuación de onda es hiperbólica.

Las clasificaciones de excentricidad incluyen:

transformaciones de moebius

Las transformaciones reales de Möbius (elementos de PSL ₂ ( R ) o su cubierta doble, SL ₂ ( R ) ) se clasifican en elípticas, parabólicas o hiperbólicas según sea su semitrazo o reflejando la clasificación por excentricidad. ${\displaystyle 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2=1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2>1,}$

Relación varianza-media

La relación varianza-media clasifica varias familias importantes de distribuciones de probabilidad discretas : la distribución constante como circular (excentricidad 0), las distribuciones binomiales como elípticas, las distribuciones de Poisson como parabólicas y las distribuciones binomiales negativas como hiperbólicas. Esto se elabora en acumuladores de algunas distribuciones de probabilidad discretas .

En este SVG interactivo , muévase hacia la izquierda y hacia la derecha sobre la imagen SVG para rotar el cono doble.

Ver también

• Secciones cónicas confocales
• Circuncónico e incónico
• círculo de directores
• Sistema de coordenadas elíptico
• conjunto equidistante
• Coordenadas parabólicas
• Función cuadrática
• cónica esférica

Notas

1. El conjunto vacío se incluye como cónica degenerada, ya que puede surgir como solución de esta ecuación.
2. Según Plutarco , Platón rechazó esta solución alegando que no se podía lograr usando solo regla y compás; sin embargo, esta interpretación de la afirmación de Plutarco ha sido criticada. Boyer 2004, p.14, nota al pie 14.
3. Esta forma de ecuación no se generaliza a campos de la característica dos.
4. Considere encontrar el punto medio de un segmento de línea con un punto final en la línea en el infinito.
5. Coxeter y varios otros autores utilizan el término "autoconjugado" en lugar de "absoluto".

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Sección cónica". MundoMatemático .
• Aparición de las cónicas. Cónicas en la naturaleza y en otros lugares.