Apolonio de Perga ( griego : Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Apollṓnios ho Pergaîos ; c. 240 a. C. – c. 190 a. C. ) fue un geómetra y astrónomo griego antiguo conocido por su trabajo sobre secciones cónicas . A partir de las contribuciones anteriores de Euclides y Arquímedes sobre el tema, las llevó al estado anterior a la invención de la geometría analítica . Sus definiciones de los términos elipse , parábola e hipérbola son las que se utilizan hoy en día. Junto con sus predecesores Euclides y Arquímedes, Apolonio es considerado generalmente uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad. [1]
Además de la geometría, Apolonio trabajó en muchos otros temas, incluida la astronomía. La mayor parte de este trabajo no ha sobrevivido, donde las excepciones suelen ser fragmentos a los que hacen referencia otros autores como Pappus de Alejandría . Su hipótesis de las órbitas excéntricas para explicar el movimiento aparentemente aberrante de los planetas , comúnmente creída hasta la Edad Media , fue superada durante el Renacimiento . El cráter Apolonio de la Luna lleva su nombre. [2]
A pesar de sus trascendentales contribuciones al campo de las matemáticas , queda escasa información biográfica sobre Apolonio. El comentarista griego del siglo VI Eutocio de Ascalón , escribiendo sobre las Cónicas de Apolonio , afirma: [3]
Apolonio, el geómetra,... vino de Perga en Panfilia en tiempos de Ptolomeo III Euergetes , así lo registra Heraclio, el biógrafo de Arquímedes...
A partir de este pasaje se puede fechar aproximadamente a Apolonio, [a] pero los años específicos de nacimiento y muerte indicados por los eruditos modernos son sólo especulativos. [4] Ptolomeo III Euergetes ("benefactor") fue la tercera dinastía griega de Egipto en la sucesión de Diadochi , que reinó entre 246 y 222/221 a.C. Los "tiempos" siempre los registra el gobernante o el magistrado oficiante, por lo que Apolonio probablemente nació después de 246. La identidad de Heraclio es incierta.
Perga fue una ciudad helenizada en Panfilia , Anatolia , cuyas ruinas aún se conservan. Fue un centro de la cultura helenística. Eutocio parece asociar Perga con la dinastía ptolemaica de Egipto. Nunca bajo Egipto, Perga en 246 a. C. perteneció al Imperio seléucida , un estado diádoco independiente gobernado por la dinastía seléucida. Durante la segunda mitad del siglo III a. C., Perga cambió de manos varias veces, estando alternativamente bajo los seléucidas y bajo los atálidas de Pérgamo al norte. Se podría esperar que alguien designado "de Perge" hubiera vivido y trabajado allí; por el contrario, si Apolonio fue identificado más tarde con Perge, no fue por su residencia. El material autobiográfico restante implica que vivió, estudió y escribió en Alejandría.
Una carta del matemático y astrónomo griego Hipsicles fue originalmente parte del suplemento tomado del Libro XIV de Euclides, parte de los trece libros de los Elementos de Euclides . [5]
Basílides de Tiro , oh Protarco, cuando vino a Alejandría y conoció a mi padre, pasó la mayor parte de su estancia con él a causa del vínculo que los unía debido a su interés común por las matemáticas. Y en una ocasión, al examinar el tratado escrito por Apolonio sobre la comparación del dodecaedro y el icosaedro inscritos en una misma esfera, es decir, sobre la cuestión de qué relación guardan entre sí, llegaron a la conclusión que el tratamiento que Apolonio le dio en este libro no fue correcto; en consecuencia, según entendí por mi padre, procedieron a modificarlo y reescribirlo. Pero yo mismo encontré después otro libro publicado por Apolonio que contenía una demostración del asunto en cuestión, y me atrajo mucho su investigación del problema. Ahora el libro publicado por Apolonio es accesible a todos; porque tiene una gran circulación en una forma que parece haber sido el resultado de una cuidadosa elaboración posterior.
Se puede encontrar algo de material autobiográfico en los prefacios supervivientes de los libros de Cónicas. Se trata de cartas que Apolonio dirigió a amigos influyentes pidiéndoles que revisaran el libro adjunto a la carta. Los dos primeros prefacios están dirigidos a Eudemo de Pérgamo.
Eudemo probablemente fue o se convirtió en el jefe del centro de investigación del Museo de Pérgamo , una ciudad conocida por su industria de libros y pergamino , de donde se deriva el nombre de pergamino . La investigación en las instituciones matemáticas griegas, que seguían el modelo del Liceo ateniense , formaba parte del esfuerzo educativo al que se sumaban la biblioteca y el museo. Sólo había una escuela de este tipo en el estado, bajo el patrocinio real. Los libros eran raros y caros y coleccionarlos era una obligación real.
El prefacio de Apolonio al Libro I le dice a Eudemo que los primeros cuatro libros se ocupaban del desarrollo de elementos, mientras que los últimos cuatro se ocupaban de temas especiales. Apolonio le recuerda a Eudemo que las cónicas fueron solicitadas inicialmente por Naucrates, un geómetra y huésped de una casa en Alejandría, de otro modo desconocido en la historia. Apolonio le proporcionó a Naucrates el primer borrador de los ocho libros, pero él se refiere a ellos como "sin una purgación completa" y tenía la intención de verificar y corregir los libros, publicando cada uno a medida que se completaba.
Habiendo oído este plan del propio Apolonio, que visitó Pérgamo, Eudemo insistió en que Apolonio le enviara cada libro antes de su publicación. En esta etapa, Apolonio probablemente todavía era un joven geómetra que, según Pappus, permaneció en Alejandría con los estudiantes de Euclides (mucho después de la época de Euclides), quizás en la etapa final de su educación. Es posible que Eudemo haya sido un mentor en la época de Apolonio en Pérgamo.
Hay una brecha entre el primer y el segundo prefacio. Apolonio ha enviado a su hijo, también llamado Apolonio, para entregar al segundo. Habla con más confianza y sugiere que Eudemo utilice el libro en grupos de estudio especiales. Apolonio menciona haber conocido a Filónides de Laodicea , un geómetra a quien presentó a Eudemo en Éfeso , y que se convirtió en alumno de Eudemo. Filónides vivió principalmente en Siria durante la primera mitad del siglo II a.C. No está resuelto si la reunión indica que Apolonio vivía ahora en Éfeso; la comunidad intelectual del Mediterráneo era cosmopolita y los académicos de esta "edad de oro de las matemáticas" buscaban empleo internacionalmente, se visitaban, leían los trabajos de los demás y hacían sugerencias, recomendaban estudiantes y se comunicaban a través de algún tipo de servicio postal. Las cartas supervivientes son abundantes.
Falta el prefacio del Libro III, y durante el intervalo murió Eudemo, dice Apolonio en el prefacio del Libro IV. Los prefacios de los libros IV a VII son más formales, meros resúmenes que omiten información personal. Los cuatro están dirigidos a un misterioso Atalo, una elección hecha, dice Apolonio, "debido a tu sincero deseo de poseer mis obras". Presumiblemente, Atalo era importante para que le enviaran los manuscritos de Apolonio . Una teoría es que Atalo es Atalo II Filadelfo (220-138 a. C.), general y defensor de Pérgamo cuyo hermano Eumenes II era rey, y que se convirtió en corregente después de la enfermedad de su hermano en 160 a. C. y accedió al trono en 158 a. Ambos hermanos fueron mecenas de las artes, ampliando la biblioteca a una magnificencia internacional. Atalo fue contemporáneo de Filónides y el motivo de Apolonio está en consonancia con la iniciativa de Atalo de coleccionar libros.
En el Prefacio VII, Apolonio describe el Libro VIII como "un apéndice... que me encargaré de enviaros lo antes posible". No hay constancia de que se haya enviado alguna vez, y Apolonio podría haber muerto antes de terminarlo. Pappus de Alejandría , sin embargo, le proporcionó lemas , por lo que debe haber estado en circulación de alguna forma.
Apolonio fue un geómetra prolífico y realizó una gran cantidad de obras. Sólo uno sobrevive, Cónicas . De sus ocho libros, sólo los cuatro primeros persisten como textos originales no traducidos de Apolonio. Los libros 5-7 sólo están disponibles en una traducción árabe de Thābit ibn Qurra encargada por Banū Mūsā ; el griego original se ha perdido. [6] Se desconoce el estado del Libro 8. Existió un primer borrador, pero se desconoce si alguna vez se produjo el borrador final. Existe una "reconstrucción" de Edmond Halley en latín, pero no hay forma de saber en qué medida, si es que hay alguna, es verosímil a Apolonio.
El texto griego de las Cónicas utiliza la disposición euclidiana de definiciones, figuras y sus partes; es decir, los “datos”, seguidos de las proposiciones “por demostrar”. Los libros I-VII presentan 387 proposiciones. Este tipo de disposición se puede ver en cualquier libro de texto de geometría moderno sobre la materia tradicional. Como en cualquier curso de matemáticas, el material es muy denso y su examen necesariamente lento. Apolonio tenía un plan para cada libro, que se describe en parte en los Prefacios . Los títulos, o indicaciones del plan, son algo deficientes, ya que Apolonio dependió más del flujo lógico de los temas.
El libro I presenta 58 proposiciones. Su contenido más destacado son todas las definiciones básicas sobre conos y secciones cónicas. Estas definiciones no son exactamente iguales a las modernas de las mismas palabras. Etimológicamente las palabras modernas derivan de las antiguas, pero el etymon a menudo difiere en significado de su reflejo .
Una superficie cónica se genera mediante un segmento de línea girado alrededor de un punto bisector de manera que los puntos finales trazan círculos , cada uno en su propio plano . Un cono , una rama de la superficie cónica doble, es la superficie con el punto ( ápice o vértice ), el círculo ( base ) y el eje, una línea que une el vértice y el centro de la base.
Una sección (latín sectio , tomo griego ) es un "corte" imaginario de un cono por un plano .
Los geómetras griegos estaban interesados en disponer figuras seleccionadas de su inventario en diversas aplicaciones de la ingeniería y la arquitectura, como estaban acostumbrados a hacer los grandes inventores, como Arquímedes. Entonces existía y existe ahora una demanda de secciones cónicas. El desarrollo de la caracterización matemática había movido la geometría en la dirección del álgebra geométrica griega , que presenta visualmente fundamentos algebraicos tales como la asignación de valores a segmentos de línea como variables. Utilizaron un sistema de coordenadas intermedio entre una cuadrícula de medidas y el sistema de coordenadas cartesiano . Las teorías de proporción y aplicación de áreas permitieron el desarrollo de ecuaciones visuales. (Ver más abajo en Métodos de Apolonio).
La "aplicación de áreas" pregunta implícitamente, dada un área y un segmento de línea, si se aplica esta área; es decir, ¿es igual al cuadrado del segmento? En caso afirmativo, se ha establecido una aplicabilidad (parábola). Apolonio siguió a Euclides al preguntar si un rectángulo en la abscisa de cualquier punto de la sección se aplica al cuadrado de la ordenada . [7] Si es así, su palabra-ecuación es el equivalente a una forma moderna de la ecuación de una parábola . El rectángulo tiene lados y . Fue él quien llamó a la figura, parábola, "aplicación".
El caso de "no aplicabilidad" se divide a su vez en dos posibilidades. Dada una función, tal que, en el caso de aplicabilidad, en el caso de no aplicabilidad, o o . En el primero, queda por debajo de una cantidad denominada puntos suspensivos , "déficit". En este último caso, se sobrepasa en una cantidad denominada hipérbole , "exceso".
La aplicabilidad se podía lograr sumando el déficit o restando el exceso. La figura que compensaba un déficit se denominaba elipse; para un exceso, una hipérbola. [c] Los términos de la ecuación moderna dependen de la traslación y rotación de la figura desde el origen, pero la ecuación general de una elipse,
se puede colocar en la forma
¿Dónde está el déficit, mientras que una ecuación para la hipérbola,
se convierte
¿ Dónde está el exceso? [d]
El libro II contiene 53 proposiciones. Apolonio dice que pretendía abarcar "las propiedades que tienen que ver con los diámetros y los ejes y también las asíntotas y otras cosas... para límites de posibilidad". Su definición de "diámetro" es diferente de la tradicional, ya que considera necesario remitir al destinatario de la carta a su obra para obtener una definición. Los elementos mencionados son los que especifican la forma y generación de las figuras. Las tangentes se tratan al final del libro.
El libro III contiene 56 proposiciones. Apolonio reivindica el descubrimiento original de teoremas "de uso para la construcción de lugares sólidos... los lugares geométricos de tres y cuatro líneas ..." El lugar geométrico de una sección cónica es la sección. El problema del lugar geométrico de las tres líneas (como lo establece el apéndice de Taliafero al Libro III) encuentra "el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a tres líneas rectas fijas dadas... son tales que el cuadrado de una de las distancias está siempre en una relación constante con el rectángulo contenido por las otras dos distancias." Esta es la prueba de la aplicación de áreas resultantes de la parábola. [8] El problema de las cuatro líneas da como resultado la elipse y la hipérbola. La geometría analítica deriva los mismos lugares geométricos a partir de criterios más simples respaldados por el álgebra, en lugar de la geometría, por lo que Descartes fue muy elogiado. Reemplaza a Apolonio en sus métodos.
El libro IV contiene 57 proposiciones. El primero enviado a Atalo, más que a Eudemo, representa así su pensamiento geométrico más maduro. El tema es bastante especializado: "el mayor número de puntos en los que las secciones de un cono pueden encontrarse entre sí, o la circunferencia de un círculo..." Sin embargo, habla con entusiasmo, calificándolos de "de considerable utilidad". en la resolución de problemas (Prefacio 4). [mi]
El Libro V, conocido sólo a través de la traducción del árabe, contiene 77 proposiciones, la mayor cantidad de cualquier libro. [9] Cubren la elipse (50 proposiciones), la parábola (22) y la hipérbola (28). [10] Estos no son explícitamente el tema, que en los Prefacios I y V Apolonio establece que son líneas máximas y mínimas. Estos términos no se explican. A diferencia del Libro I, el Libro V no contiene definiciones ni explicaciones.
La ambigüedad ha servido como un imán para los exégetas de Apolonio, quienes deben interpretar sin un conocimiento seguro del significado de los términos principales del libro. Hasta hace poco prevalecía la opinión de Heath: las líneas deben tratarse como normales a las secciones. [11] Una normal en este caso es la perpendicular a una curva en un punto tangente a veces llamado pie. Si una sección se traza según el sistema de coordenadas de Apolonio (ver más abajo en Métodos de Apolonio), con el diámetro (traducido por Heath como eje) en el eje x y el vértice en el origen a la izquierda, la fraseología de la proposiciones indica que los mínimos/máximos se encuentran entre la sección y el eje. Heath llega a su punto de vista considerando un punto fijo p en la sección que sirve tanto como punto tangente como como extremo de la línea. La distancia mínima entre p y algún punto g en el eje debe ser entonces la normal a p.
En matemáticas modernas, las normales a las curvas se conocen por ser la ubicación del centro de curvatura de esa pequeña parte de la curva ubicada alrededor del pie. La distancia del pie al centro es el radio de curvatura . Este último es el radio de un círculo, pero para curvas que no sean circulares, el arco pequeño se puede aproximar mediante un arco circular. La curvatura de curvas no circulares; ej., las secciones cónicas, deben cambiar a lo largo de la sección. Un mapa del centro de curvatura; es decir, su lugar geométrico, cuando el pie se mueve sobre la sección, se denomina evoluta de la sección. Esta figura, el borde de las posiciones sucesivas de una línea, se denomina hoy envolvente . Heath creía que en el Libro V vemos a Apolonio establecer la base lógica de una teoría de normales, evoluciones y envolventes. [12]
La de Heath fue aceptada como la interpretación autorizada del Libro V durante todo el siglo XX, pero el cambio de siglo trajo consigo un cambio de visión. En 2001, los estudiosos de Apollonius, Fried & Unguru, respetando debidamente los demás capítulos de Heath, se opusieron a la historicidad del análisis de Heath del Libro V, afirmando que "reelabora el original para hacerlo más agradable para un matemático moderno... esto es el tipo de cosas que hacen que el trabajo de Heath tenga un valor dudoso para el historiador, revelando más de la mente de Heath que de la de Apolonio”. [13] Algunos de sus argumentos se resumen a continuación. No se menciona que los máximos y mínimos sean per se normales ni en los prefacios ni en los libros propiamente dichos. [f] De la selección de Heath de 50 proposiciones que se dice cubren las normales, sólo 7, Libro V: 27-33, afirman o implican que las líneas máximas/mínimas son perpendiculares a las tangentes. Fried clasifica estas siete como aisladas, sin relación con las principales proposiciones del libro. De ninguna manera implican que los máximos y mínimos en general sean normales. En su extensa investigación de las otras 43 proposiciones, Fried demuestra que muchas no pueden serlo. [gramo]
Fried y Unguru responden retratando a Apolonio como una continuación del pasado en lugar de un presagio del futuro. En primer lugar, se realiza un estudio filológico completo de todas las referencias a líneas mínimas y máximas, que descubre una fraseología estándar. Hay tres grupos de 20 a 25 proposiciones cada uno. [14] El primer grupo contiene la frase “desde un punto en el eje hasta la sección”, que es exactamente lo opuesto a un hipotético “desde un punto en la sección hasta el eje”. Lo primero no tiene por qué ser normal a nada, aunque podría serlo. Dado un punto fijo en el eje, de todas las rectas que lo conectan con todos los puntos de la sección, una será la más larga (máxima) y la otra más corta (mínima). Otras frases son “en una sección”, “extraído de una sección”, “cortado entre la sección y su eje”, cortado por el eje”, todas refiriéndose a la misma imagen.
En opinión de Fried y Unguru, el tema del Libro V es exactamente lo que Apolonio dice que es, líneas máximas y mínimas. Estas no son palabras clave para conceptos futuros, sino que se refieren a conceptos antiguos que se usaban en ese momento. Los autores citan a Euclides, Elementos, Libro III, que se ocupa de los círculos y de las distancias máximas y mínimas desde los puntos interiores hasta la circunferencia. [15] Sin admitir ninguna generalidad específica, utilizan términos como "similar" o "el análogo de". Son conocidos por innovar el término "similar a neusis". Una construcción de neusis era un método para ajustar un segmento determinado entre dos curvas determinadas. Dado un punto P y una regla con el segmento marcado en él. se gira la regla alrededor de P cortando las dos curvas hasta que el segmento quede encajado entre ellas. En el Libro V, P es el punto sobre el eje. Al girar una regla alrededor, se descubren las distancias a la sección, a partir de las cuales se puede discernir el mínimo y el máximo. La técnica no se aplica a la situación, por lo que no es neusis. Los autores utilizan el método neusis, viendo una similitud arquetípica con el método antiguo. [13]
El libro VI, conocido sólo a través de la traducción del árabe, contiene 33 proposiciones, la menor cantidad de cualquier libro. También presenta grandes lagunas , o huecos en el texto, debido a daños o corrupción en los textos anteriores.
El tema es relativamente claro y no controvertido. El prefacio 1 establece que se trata de "secciones de conos iguales y similares". Apolonio extiende los conceptos de congruencia y semejanza presentados por Euclides para figuras más elementales, como triángulos y cuadriláteros, a secciones cónicas. El prefacio 6 menciona “secciones y segmentos” que son “iguales y desiguales”, así como “similares y diferentes”, y agrega alguna información constructiva.
El Libro VI presenta un regreso a las definiciones básicas al principio del libro. La “ igualdad ” está determinada por una aplicación de áreas. Si una figura; es decir, una sección o un segmento, se “aplica” a otro ( si applicari possit altera super alteram de Halley ), son “iguales” ( aequales de Halley ) si coinciden y ninguna línea de uno cruza ninguna línea del otro. Este es obviamente un estándar de congruencia siguiendo a Euclides, Libro I, Nociones comunes, 4: “y las cosas que coinciden ( epharmazanta ) entre sí son iguales ( isa )”. Coincidencia e igualdad se superponen, pero no son lo mismo: la aplicación de áreas utilizadas para definir las secciones depende de la igualdad cuantitativa de áreas pero pueden pertenecer a figuras diferentes.
Entre las instancias que son iguales (homos), siendo iguales entre sí, y las que son diferentes , o desiguales , hay figuras “iguales” (hom-oios), o similares . No son completamente iguales ni diferentes, pero comparten aspectos que son iguales y no comparten aspectos que son diferentes. Intuitivamente, los geómetras tenían en mente la escala ; por ejemplo, un mapa es similar a una región topográfica. Por tanto, las figuras podrían tener versiones más grandes o más pequeñas de sí mismas.
Los aspectos que coinciden en figuras similares dependen de la figura. El libro 6 de los Elementos de Euclides presenta triángulos semejantes a aquellos que tienen los mismos ángulos correspondientes. Por lo tanto, un triángulo puede tener miniaturas tan pequeñas como se desee, o versiones gigantes, y seguir siendo “el mismo” triángulo que el original.
En las definiciones de Apolonio al comienzo del Libro VI, conos rectángulos similares tienen triángulos axiales similares. Las secciones y segmentos de secciones similares se encuentran en primer lugar en conos similares. Además, por cada abscisa de uno debe existir una abscisa en el otro a la escala deseada. Finalmente, la abscisa y la ordenada de uno deben coincidir con coordenadas de la misma proporción de ordenada a abscisa que la del otro. El efecto total es como si la sección o segmento se moviera hacia arriba y hacia abajo en el cono para lograr una escala diferente. [h]
El Libro VII, también una traducción del árabe, contiene 51 Proposiciones. Estos son los últimos que considera Heath en su edición de 1896. En el Prefacio I, Apolonio no los menciona, lo que implica que, en el momento del primer borrador, es posible que no existieran en una forma suficientemente coherente para describirlos. Apolonio usa un lenguaje oscuro, diciendo que son "peri dioristikon theorematon", que Halley tradujo como "de theorematis addeterminationem pertinentibus" y Heath como "teoremas que implican determinaciones de límites". Este es el lenguaje de definición, pero no hay definiciones próximas. Es una consideración si la referencia podría ser a un tipo específico de definición, pero hasta la fecha no se ha propuesto nada creíble. [i] El tema del Libro VII, completado hacia el final de la vida y carrera de Apolonio, se afirma en el Prefacio VII como los diámetros y “las figuras descritas en ellos”, que deben incluir diámetros conjugados , ya que él depende en gran medida de ellos. No se menciona de qué manera podría aplicarse el término “límites” o “determinaciones”.
Los diámetros y sus conjugados se definen en el Libro I (Definiciones 4 a 6). No todos los diámetros tienen un conjugado. La topografía de un diámetro (del griego diametros) requiere una figura curva regular . Las áreas de forma irregular, abordadas en los tiempos modernos, no están en el plan de juego antiguo. Apolonio tiene en mente, por supuesto, las secciones cónicas, que describe en un lenguaje a menudo complicado: “una curva en el mismo plano” es un círculo, una elipse o una parábola, mientras que “dos curvas en el mismo plano” es una hipérbola. Una cuerda es una línea recta cuyos dos puntos finales están en la figura; es decir, corta la figura en dos lugares. Si se impone una cuadrícula de cuerdas paralelas a la figura, entonces el diámetro se define como la línea que biseca todas las cuerdas y llega a la curva misma en un punto llamado vértice. No se requiere una figura cerrada; por ejemplo, una parábola tiene un diámetro.
Una parábola tiene simetría en una dimensión. Si lo imaginamos doblado sobre su único diámetro, las dos mitades son congruentes o encajan una sobre otra. Lo mismo puede decirse de una rama de una hipérbola. Sin embargo, los diámetros conjugados (del griego suzugeis diametroi, donde suzugeis significa "unido") son simétricos en dos dimensiones. Las figuras a las que se aplican requieren también un centro de área (kentron griego), hoy llamado centroide , que sirve como centro de simetría en dos direcciones. Estas figuras son el círculo, la elipse y la hipérbola de dos ramas. Sólo existe un centroide, que no debe confundirse con los focos . Un diámetro es una cuerda que pasa por el centroide y que siempre lo biseca.
Para el círculo y la elipse, superpongamos sobre la figura una cuadrícula de cuerdas paralelas de manera que la más larga sea un diámetro y las otras sean sucesivamente más cortas hasta que la última no sea una cuerda, sino un punto tangente. La tangente debe ser paralela al diámetro. Un diámetro conjugado biseca las cuerdas, colocándose entre el centroide y el punto tangente. Además, ambos diámetros son conjugados entre sí, denominándose par conjugado. Es obvio que cualquier par conjugado de un círculo es perpendicular entre sí, pero en una elipse, sólo lo son los ejes mayor y menor, y el alargamiento destruye la perpendicularidad en todos los demás casos.
Los conjugados se definen para las dos ramas de una hipérbola resultantes del corte de un cono doble por un solo plano. Se llaman ramas conjugadas. Tienen el mismo diámetro. Su centroide biseca el segmento entre vértices. Hay espacio para una línea más parecida a un diámetro: dejemos que una cuadrícula de líneas paralelas al diámetro corte ambas ramas de la hipérbola. Estas líneas tienen forma de cuerda excepto que no terminan en la misma curva continua. Se puede dibujar un diámetro conjugado desde el centroide para bisectar las líneas en forma de cuerda.
Estos conceptos principalmente del Libro I nos permiten iniciarnos en las 51 proposiciones del Libro VII definiendo en detalle las relaciones entre secciones, diámetros y diámetros conjugados. Como ocurre con algunos otros temas especializados de Apolonio, su utilidad hoy en día en comparación con la Geometría Analítica aún está por verse, aunque afirma en el Prefacio VII que son útiles e innovadores; es decir, se atribuye el mérito de ellos.
Las primeras ediciones impresas comenzaron en su mayor parte en el siglo XVI. En aquella época, en Europa, se esperaba que los libros académicos estuvieran en neolatino . Como pocos manuscritos matemáticos se escribieron en latín, los editores de las primeras obras impresas tradujeron del griego o del árabe. A menudo se yuxtaponían el griego y el latín, representando el texto griego el original o la restauración de un editor. Los comentarios críticos de la época eran típicamente en latín. (Los comentarios anteriores se habían escrito en griego o árabe antiguo o medieval). Sólo en los siglos XVIII y XIX comenzaron a aparecer ediciones en idiomas modernos. A continuación se proporciona una lista representativa de las primeras ediciones impresas.
La dificultad de las cónicas creó un nicho intelectual para los comentaristas posteriores, cada uno de los cuales presentó a Apolonio de la manera más lúcida y relevante para su época. Utilizan una variedad de métodos: anotaciones, extenso material preliminar, diferentes formatos, dibujos adicionales, reorganización superficial mediante la adición de cápitas, etc. Hay variaciones sutiles en la interpretación.
Alguna vez se escribió en inglés material limitado sobre las cónicas , porque los matemáticos europeos de los siglos XVI al XVIII, incluidos matemáticos ingleses como Edmund Halley e Isaac Newton, preferían el neolatino. En siglos posteriores, la geometría se restableció utilizando coordenadas ( geometría analítica ) y los métodos sintéticos cayeron en desgracia, por lo que la influencia directa de las cónicas en la investigación matemática decayó.
Las presentaciones escritas íntegramente en inglés nativo comienzan a finales del siglo XIX.
Particularmente influyente es la traducción de Thomas Heath Tratado sobre secciones cónicas . Su extenso comentario preliminar incluye elementos como un léxico de términos geométricos apolíneos que dan al griego sus significados y usos. [17] Al comentar que "la aparentemente portentosa masa del tratado ha disuadido a muchos de intentar conocerlo", [18] promete agregar títulos, cambiando la organización superficialmente y aclarar el texto con notación moderna. Por tanto, su obra hace referencia a dos sistemas de organización, el suyo propio y el de Apolonio, entre paréntesis.
Heath estuvo activo a finales del siglo XIX y principios del XX y falleció en 1940, pero mientras tanto se desarrolló otro punto de vista. St. John's College (Annapolis/Santa Fe) , que había sido una escuela militar desde la época colonial, anterior a la Academia Naval de los Estados Unidos en Annapolis, Maryland , a la que es adyacente, en 1936 perdió su acreditación y estuvo al borde de la quiebra. . Desesperada, la junta convocó a Stringfellow Barr y Scott Buchanan de la Universidad de Chicago , donde habían estado desarrollando un nuevo programa teórico para la enseñanza de los clásicos. Aprovechando la oportunidad, en 1937 instituyeron el “nuevo programa” en St. John's, más tarde denominado programa de Grandes Libros , un plan de estudios fijo que enseñaría las obras de determinados contribuyentes clave a la cultura de la civilización occidental. En St. John's, Apolonio fue enseñado como él mismo, no como un complemento de la geometría analítica .
El “tutor” de Apolonio fue R. Catesby Taliaferro , recién doctorado en 1937 por la Universidad de Virginia . Fue tutor hasta 1942 y luego durante un año en 1948, proporcionando él mismo las traducciones al inglés, traduciendo el Almagesto de Ptolomeo y las Cónicas de Apolonio . Estas traducciones pasaron a formar parte de la serie Grandes libros del mundo occidental de la Encyclopædia Britannica . Sólo se incluyen los Libros I-III, con un apéndice para temas especiales (en 2002 se produjo una traducción del Libro IV de las Cónicas por Michael N. Fried). A diferencia de Heath, Taliaferro no intentó reorganizar a Apolonio, ni siquiera superficialmente, ni reescribirlo. Su traducción al inglés moderno sigue bastante de cerca al griego. Utiliza hasta cierto punto la notación geométrica moderna.
Al mismo tiempo que el trabajo de Taliaferro, Ivor Thomas , un catedrático de Oxford de la época de la Segunda Guerra Mundial, estaba mostrando un intenso interés por las matemáticas griegas. Planificó un compendio de selecciones, que se materializó durante su servicio militar como oficial en el Regimiento Real de Norfolk . Después de la guerra encontró un hogar en la Biblioteca Clásica de Loeb , donde ocupa dos volúmenes, todos traducidos por Thomas, con el griego en un lado de la página y el inglés en el otro, como es habitual en la serie de Loeb. El trabajo de Tomás ha servido como manual para la edad de oro de las matemáticas griegas. Para Apolonio sólo incluye principalmente aquellas partes del Libro I que definen las secciones.
El resto de las obras de Apolonio están fragmentadas o perdidas. Muchas de las obras perdidas son descritas o mencionadas por comentaristas. Además se encuentran ideas atribuidas a Apolonio por otros autores sin documentación. Creíbles o no, son rumores. Algunos autores identifican a Apolonio como el autor de determinadas ideas, por lo que llevan su nombre. Otros intentan expresar Apolonio en notación o fraseología modernas con grados indeterminados de fidelidad.
Edmond Halley reconstruyó De Rationis Sección y De Spatii Sección . Más allá de estas obras, salvo un puñado de fragmentos, termina documentación que de algún modo podría interpretarse como descendiente de Apolonio.
Además de las Cónicas , Pappus menciona otros tratados de Apolonio:
Cada uno de estos se dividió en dos libros y, junto con los Datos , los Porismos y los Lugares de Superficie de Euclides y las Cónicas de Apolonio, fueron, según Pappus, incluidos en el cuerpo del análisis antiguo. [8] A continuación se describen las seis obras mencionadas anteriormente.
De Rationis Sección buscó resolver un problema simple: dadas dos líneas rectas y un punto en cada una, trazar a través de un tercer punto dado una línea recta que corte las dos líneas fijas de manera que las partes interceptadas entre los puntos dados en ellas y los puntos de intersección con esta tercera línea puede tener una relación determinada. [8]
De Spatii Sectione analizó un problema similar que requería que el rectángulo contenido por las dos intersecciones fuera igual a un rectángulo dado. [8]
A finales del siglo XVII, Edward Bernard descubrió una versión de De Nationis Sección en la Biblioteca Bodleiana . Aunque comenzó una traducción, fue Halley quien la terminó y la incluyó en un volumen de 1706 con su restauración de De Spatii Sección .
De Sectione Determinata aborda los problemas de una manera que podría denominarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estuvieran en proporción con los demás. [20] Los problemas específicos son: Dados dos, tres o cuatro puntos en una línea recta, encontrar otro punto en ella tal que sus distancias a los puntos dados satisfagan la condición de que el cuadrado de uno o el rectángulo contenido por dos tenga un valor dado. relación (1) con el cuadrado del restante o el rectángulo contenido por los dos restantes o (2) con el rectángulo contenido por el restante y otra línea recta dada. Varios han intentado restaurar el texto para descubrir la solución de Apolonio, entre ellos Snellius ( Willebrord Snell , Leiden , 1698); Alexander Anderson de Aberdeen , en el suplemento de su Apollonius Redivivus (París, 1612); y Robert Simson en su Opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776), con diferencia el mejor intento. [8]
De Tactionibus abordó el siguiente problema general: dadas tres cosas (puntos, líneas rectas o círculos) en posición, describe un círculo que pase por los puntos dados y toque las líneas rectas o círculos dados. El caso más difícil e históricamente interesante surge cuando las tres cosas dadas son círculos. En el siglo XVI, Vieta presentó este problema (a veces conocido como el problema apolíneo) a Adrianus Romanus , quien lo resolvió con una hipérbola . Entonces Vieta propuso una solución más simple, lo que finalmente lo llevó a restaurar la totalidad del tratado de Apolonio en la pequeña obra Apollonius Gallus (París, 1600). La historia del problema se explora con fascinante detalle en el prefacio del breve Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c (Gothae, 1795, 8vo) de JW Camerer. [8]
El objetivo de De Inclinationibus era demostrar cómo una línea recta de una longitud determinada, que tiende hacia un punto determinado, podía insertarse entre dos líneas dadas (rectas o circulares). Aunque Marin Getaldić y Hugo d'Omerique ( Análisis Geométrico , Cádiz, 1698) intentaron realizar restauraciones, la mejor es la de Samuel Horsley (1770). [8]
De Locis Planis es una colección de proposiciones relacionadas con lugares que son líneas rectas o círculos. Dado que Pappus da detalles bastante completos de sus proposiciones, este texto también ha visto esfuerzos para restaurarlas, no sólo por parte de P. Fermat ( Oeuvres , i., 1891, pp. 3-51) y F. Schooten (Leiden, 1656) sino también, con mayor éxito de todos, el de R. Simson (Glasgow, 1749). [8]
Los escritores antiguos se refieren a otras obras de Apolonio que ya no existen:
Se atribuye a Apolonio la equivalencia de dos descripciones de los movimientos de los planetas, una utilizando excéntricas y otra deferente y epiciclos . Ptolomeo describe esta equivalencia en el Almagesto .
Según Heath, [21] los "Métodos de Apolonio" no eran personales para él; Cualquier influencia que tuvo sobre los teóricos posteriores fue la influencia de la geometría, no de su propia innovación técnica. Heath dice,
Como preliminar a la consideración detallada de los métodos empleados en las Cónicas, puede afirmarse en general que siguen firmemente los principios aceptados de la investigación geométrica que encontraron su expresión definitiva en los Elementos de Euclides.
Cuando se refieren a los geómetras de la edad de oro, los eruditos modernos utilizan el término "método" para referirse a la forma visual y reconstructiva en la que el geómetra produce un resultado equivalente al producido por el álgebra actual. Como ejemplo simple, el método algebraico para calcular el área de un cuadrado es elevar al cuadrado la longitud de su lado; el método geométrico análogo consiste en construir un cuadrado visual. Los métodos geométricos de la edad de oro podían producir la mayoría de los resultados del álgebra elemental.
Heath continúa utilizando el término álgebra geométrica para los métodos de toda la edad de oro. [k] El término había sido definido por Henry Burchard Fine en 1890 o antes, quien lo aplicó a La Géométrie de René Descartes , la primera obra completa de geometría analítica . [22] Estableciendo como condición previa que “dos álgebras son formalmente idénticas y cuyas operaciones fundamentales son formalmente iguales”, Fine dice que la obra de Descartes “no es... mera álgebra numérica, sino lo que a falta de un nombre mejor podría llamarse el álgebra de segmentos de recta. Su simbolismo es el mismo que el del álgebra numérica; ....”
Por ejemplo, en Apolonio un segmento de línea AB (la línea entre el punto A y el punto B) es también la longitud numérica del segmento. Puede tener cualquier longitud. Por lo tanto, AB se convierte en lo mismo que una variable algebraica , como x (la incógnita), a la que se le puede asignar cualquier valor; por ejemplo, x =3.
Las variables se definen en Apolonio mediante enunciados verbales como “sea AB la distancia desde cualquier punto de la sección al diámetro”, una práctica que continúa en el álgebra hoy en día. Todo estudiante de álgebra básica debe aprender a convertir “problemas planteados” en variables y ecuaciones algebraicas, a las que se aplican las reglas del álgebra para resolver x . Apolonio no tenía tales reglas. Sus soluciones son geométricas.
Las relaciones que no se prestaban fácilmente a soluciones pictóricas estaban fuera de su alcance; sin embargo, su repertorio de soluciones pictóricas provino de un conjunto de soluciones geométricas complejas que generalmente no se conocen (o no se requieren) en la actualidad. Una excepción bien conocida es el indispensable Teorema de Pitágoras , incluso ahora representado por un triángulo rectángulo con cuadrados en sus lados que ilustra una expresión como a 2 + b 2 = c 2 . Los geómetras griegos llamaron a esos términos "el cuadrado de AB", etc. De manera similar, el área de un rectángulo formado por AB y CD era "el rectángulo de AB y CD".
Estos conceptos dieron a los geómetras griegos acceso algebraico a funciones lineales y funciones cuadráticas , que son las últimas las secciones cónicas. Contienen potencias de 1 o 2 respectivamente. Apolonio no usaba mucho los cubos (que aparecen en la geometría sólida ), a pesar de que un cono es un sólido. Su interés estaba en las secciones cónicas, que son figuras planas. Las potencias de 4 en adelante estaban más allá de la visualización y requerían un grado de abstracción que no estaba disponible en geometría, pero que estaba al alcance de la mano en álgebra.
Toda medición ordinaria de longitud en unidades públicas, como pulgadas, utilizando dispositivos públicos estándar, como una regla, implica el reconocimiento público de una cuadrícula cartesiana ; es decir, una superficie dividida en cuadrados unitarios, como una pulgada cuadrada, y un espacio dividido en cubos unitarios, como una pulgada cúbica. Las antiguas unidades de medida griegas habían proporcionado dicha cuadrícula a los matemáticos griegos desde la Edad del Bronce. Antes de Apolonio, Menecmo y Arquímedes ya habían comenzado a ubicar sus figuras en una ventana implícita de la cuadrícula común refiriéndose a distancias concebidas para medirse desde una línea vertical izquierda que marca una medida baja y una línea horizontal inferior que marca una medida baja. siendo las direcciones rectilíneas o perpendiculares entre sí. [23] Estos bordes de la ventana se convierten, en el sistema de coordenadas cartesiano , en los ejes. Se especifican las distancias rectilíneas de cualquier punto desde los ejes como coordenadas . Los antiguos griegos no tenían esa convención. Simplemente se referían a distancias.
Apolonio tiene una ventana estándar en la que coloca sus figuras. La medición vertical se realiza a partir de una línea horizontal que él llama "diámetro". La palabra es la misma en griego que en inglés, pero el griego es algo más amplio en su comprensión. [24] Si la figura de la sección cónica está cortada por una cuadrícula de líneas paralelas, el diámetro biseca todos los segmentos de línea incluidos entre las ramas de la figura. Debe pasar por el vértice (koruphe, "corona"). Por tanto, un diámetro comprende figuras abiertas, como una parábola, y también cerradas, como un círculo. No hay ninguna especificación de que el diámetro deba ser perpendicular a las líneas paralelas, pero Apolonio utiliza sólo líneas rectilíneas.
La distancia rectilínea desde un punto de la sección hasta el diámetro se denomina tetagmenos en griego, etimológicamente simplemente "extendido". Como sólo se extiende “abajo” (kata-) o “arriba” (ana-), los traductores lo interpretan como ordenada . En ese caso el diámetro se convierte en el eje x y el vértice en el origen. El eje y entonces se vuelve tangente a la curva en el vértice. La abscisa se define entonces como el segmento del diámetro entre la ordenada y el vértice.
Utilizando su versión de un sistema de coordenadas, Apolonio logra desarrollar en forma pictórica los equivalentes geométricos de las ecuaciones de las secciones cónicas, lo que plantea la cuestión de si su sistema de coordenadas puede considerarse cartesiano. Hay algunas diferencias. El sistema cartesiano debe considerarse universal y abarca todas las figuras en todo el espacio y se aplica antes de realizar cualquier cálculo. Tiene cuatro cuadrantes divididos por los dos ejes cruzados. Tres de los cuadrantes incluyen coordenadas negativas, es decir, direcciones opuestas a los ejes de referencia del cero.
Apolonio no tiene números negativos, no tiene explícitamente un número para cero y no desarrolla el sistema de coordenadas independientemente de las secciones cónicas. Trabaja esencialmente sólo en el Cuadrante 1, todas las coordenadas positivas. Carl Boyer, un historiador moderno de las matemáticas, dice por tanto: [25]
Sin embargo, el álgebra geométrica griega no preveía magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superponía en todos los casos a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades... Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no logró desarrollar la geometría analítica...
Sin embargo, según Boyer, el tratamiento de las curvas por parte de Apolonio es en algunos aspectos similar al tratamiento moderno, y su trabajo parece anticipar la geometría analítica . [25] Apolonio ocupa una especie de nicho intermedio entre el sistema de cuadrícula de medición convencional y el sistema de coordenadas cartesiano de geometría analítica completamente desarrollado. Al leer a Apolonio, hay que tener cuidado de no asumir significados modernos para sus términos.
Apolonio utiliza la "Teoría de las proporciones" tal como se expresa en los Elementos de Euclides , libros 5 y 6. Ideada por Eudoxo de Cnido, la teoría es intermedia entre los métodos puramente gráficos y la teoría de números moderna. Falta un sistema numérico decimal estándar, al igual que un tratamiento estándar de las fracciones. Las proposiciones, sin embargo, expresan con palabras reglas para manipular fracciones en aritmética. Heath propone que reemplacen la multiplicación y la división. [26]
Con el término "magnitud", Eudoxo esperaba ir más allá de los números y llegar a un sentido general de tamaño, significado que aún conserva. En cuanto a las figuras de Euclides, la mayoría de las veces significa números, que era el enfoque pitagórico. Pitágoras creía que el universo podía caracterizarse por cantidades, creencia que se ha convertido en el dogma científico actual. El Libro V de Euclides comienza insistiendo en que una magnitud (megethos, “tamaño”) debe ser divisible uniformemente en unidades (meros, “parte”). Por tanto, una magnitud es un múltiplo de unidades. No es necesario que sean unidades de medida estándar, como metros o pies. Una unidad puede ser cualquier segmento de línea designado.
A continuación sigue quizás la definición fundamental más útil jamás ideada en la ciencia: la proporción (del griego logos , que significa aproximadamente “explicación”) es una afirmación de magnitud relativa. Dadas dos magnitudes, digamos de los segmentos AB y CD. la relación entre AB y CD, donde CD se considera unidad, es el número de CD en AB; por ejemplo, 3 partes de 4, o 60 partes por millón, donde ppm todavía utiliza la terminología de "partes". La proporción es la base de la fracción moderna, que también significa "parte" o "fragmento", de la misma raíz latina que fractura. La proporción es la base de la predicción matemática en la estructura lógica llamada "proporción" (analógicos griegos). La proporción establece que si dos segmentos, AB y CD, tienen la misma razón que otros dos, EF y GH, entonces AB y CD son proporcionales a EF y GH, o, como se diría en Euclides, AB es a CD como EF. es para GH.
El álgebra reduce este concepto general a la expresión AB/CD = EF/GH. Dados tres términos cualesquiera, se puede calcular el cuarto como una incógnita. Reordenando la ecuación anterior, se obtiene AB = (CD/GH)•EF, en la cual, expresada como y = kx, la CD/GH se conoce como la “constante de proporcionalidad”. Los griegos tuvieron pocas dificultades para tomar múltiplos (del griego pollaplasiein), probablemente mediante sumas sucesivas.
Apolonio utiliza proporciones casi exclusivamente de segmentos de recta y áreas, que se designan mediante cuadrados y rectángulos. Los traductores se han comprometido a utilizar la notación de dos puntos introducida por Leibniz en Acta Eruditorum , 1684. [27] He aquí un ejemplo de Cónicas , Libro I, sobre la Proposición 11:
