exponenciación

Operación aritmética

Gráficas de y = b ^x para varias bases b :  base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. Cada curva pasa por el punto (0, 1) porque cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de 0 es 1 . En x = 1 , el valor de y es igual a la base porque cualquier número elevado a la potencia de 1 es el número mismo.

En matemáticas , la exponenciación es una operación que involucra dos números : la base y el exponente o potencia . La exponenciación se escribe como b ⁿ , donde b es la base y n es la potencia ; esto se pronuncia como " b (elevado) a la (potencia de) n ". ^[1] Cuando n es un número entero positivo , la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir, b ⁿ es el producto de multiplicar n bases: ^[1]

$${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$

El exponente suele mostrarse como un superíndice a la derecha de la base. En ese caso, b ⁿ se llama " b elevado a la enésima potencia", " b (elevado) a la enésima potencia de n ", "la enésima potencia de b ", " b a la enésima potencia", ^{[2 ]} o más brevemente como " b a la n (ésima) ".

A partir del hecho básico mencionado anteriormente de que, para cualquier número entero positivo , las ocurrencias de todos se multiplican entre sí, se siguen directamente varias otras propiedades de la exponenciación. En particular: ^{[nb 1]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}}$$

En otras palabras, al multiplicar una base elevada a un exponente por la misma base elevada a otro exponente, los exponentes se suman. De esta regla básica de que los exponentes suman, podemos derivar que debe ser igual a 1 para cualquier , de la siguiente manera. Para cualquier , . Dividiendo ambos lados por da . ${\displaystyle b^{0}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}$

El hecho de que también se pueda derivar de la misma regla. Por ejemplo, . Tomando la raíz cúbica de ambos lados se obtiene . ${\displaystyle b^{1}=b}$ ${\displaystyle (b^{1})^{3}=b^{1}\times b^{1}\times b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}}$ ${\displaystyle b^{1}=b}$

La regla de que la multiplicación hace que los exponentes se sumen también se puede utilizar para derivar las propiedades de los exponentes enteros negativos. Considere la cuestión de qué debería significar. Para respetar la regla de "sumar exponentes", debe darse el caso de que . Al dividir ambos lados entre se obtiene , que puede escribirse de manera más simple como , usando el resultado anterior . Por un argumento similar, . ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}\times b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1}$ ${\displaystyle b^{1}}$ ${\displaystyle b^{-1}=1/b^{1}}$ ${\displaystyle b^{-1}=1/b}$ ${\displaystyle b^{1}=b}$ ${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n}}$

Las propiedades de los exponentes fraccionarios también se derivan de la misma regla. Por ejemplo, supongamos que consideramos y preguntamos si existe algún exponente adecuado, al que podamos llamar , tal que . De la definición de raíz cuadrada, tenemos que . Por tanto, el exponente debe ser tal que . Usando el hecho de que la multiplicación hace que los exponentes se sumen, se obtiene . El del lado derecho también se puede escribir como , dando . Igualando los exponentes de ambos lados, tenemos . Por lo tanto asi . ${\displaystyle {\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b^{r}={\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {b}}\times {\sqrt {b}}=b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b^{r}\times b^{r}=b}$ ${\displaystyle b^{r+r}=b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{1}}$ ${\displaystyle b^{r+r}=b^{1}}$ ${\displaystyle r+r=1}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {b}}=b^{1/2}}$

La definición de exponenciación se puede ampliar para permitir cualquier exponente real o complejo . La exponenciación mediante exponentes enteros también se puede definir para una amplia variedad de estructuras algebraicas, incluidas las matrices .

La exponenciación se utiliza ampliamente en muchos campos, incluidos la economía , la biología , la química , la física y la informática , con aplicaciones como el interés compuesto , el crecimiento demográfico , la cinética de reacciones químicas , el comportamiento de las ondas y la criptografía de clave pública .

Etimología

El término exponente proviene del latín exponentem , el participio presente de exponere , que significa "presentar". ^[3] El término potencia ( latín : potentia, potestas, dignitas ) es una mala traducción ^{[4] [5]} del griego antiguo δύναμις ( dúnamis , aquí: "amplificación" ^[4] ) utilizado por el matemático griego Euclides para el cuadrado. de una línea, ^[6] siguiendo a Hipócrates de Quíos . ^[7]

Historia

Antigüedad

El contador de arena

En The Sand Reckoner , Arquímedes demostró la ley de los exponentes, 10 ^a · 10 ^b = 10 ^{a + b} , necesaria para manipular potencias de 10 . ^[8] Luego utilizó potencias de 10 para estimar el número de granos de arena que puede contener el universo.

Edad de oro islámica

Māl y kaʿbah ("cuadrado" y "cubo")

En el siglo IX, el matemático persa Al-Khwarizmi utilizó los términos مَال ( māl , "posesiones", "propiedad") para un cuadrado ; los musulmanes, "como la mayoría de los matemáticos de aquellos y de épocas anteriores, pensaban en un número al cuadrado como un representación de un área, especialmente de tierra, por lo tanto propiedad" ^[9] —y كَعْبَة ( Kaʿbah , "cubo") para un cubo , que los matemáticos islámicos posteriores representaron en notación matemática como las letras mīm (m) y kāf (k), respectivamente, en el siglo XV, como se ve en la obra de Abu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi . ^[10]

Siglo XV-XVIII

Introduciendo exponentes

Nicolás Chuquet utilizó una forma de notación exponencial en el siglo XV, por ejemplo 12 ² para representar 12 x ² . ^[11] Esto fue utilizado más tarde por Henricus Grammateus y Michael Stifel en el siglo XVI. A finales del siglo XVI, Jost Bürgi utilizaría números romanos para los exponentes de forma similar a la de Chuquet, por ejemplo.III4para 4x3 . _ ^{_ [12]}

"Exponente"; "cuadrado" y "cubo"

La palabra exponente fue acuñada en 1544 por Michael Stifel. ^{[13] [14]} En el siglo XVI, Robert Recorde utilizó los términos cuadrado, cubo, zenzizenzic ( cuarta potencia ), sursolid (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursolid (séptimo) y zenzizenzizenzic (octavo). ^[9] Biquadrate también se ha utilizado para referirse a la cuarta potencia.

Notación exponencial moderna

En 1636, James Hume utilizó esencialmente la notación moderna, cuando en L'algèbre de Vietè escribió A ⁱⁱⁱ para A ³ . ^{[15] A principios del siglo XVII,} René Descartes introdujo la primera forma de nuestra notación exponencial moderna en su texto titulado La Géométrie ; allí, la notación se introduce en el Libro I. ^[16]

Designo... aa , o un ² al multiplicar a por sí mismo; y un ³ al multiplicarlo una vez más por a , y así hasta el infinito.

—  René Descartes, La geometría

Algunos matemáticos (como Descartes) utilizaron exponentes sólo para potencias mayores que dos, prefiriendo representar los cuadrados como una multiplicación repetida. Así, escribirían polinomios , por ejemplo, como ax + bxx + cx ³ + d .

"Índices"

Samuel Jeake introdujo el término índices en 1696. ^[6] El término involución se usó como sinónimo del término índices , pero su uso había disminuido ^[17] y no debe confundirse con su significado más común .

Exponentes variables, exponentes no enteros

En 1748, Leonhard Euler introdujo los exponentes variables e, implícitamente, los exponentes no enteros escribiendo:

Considere exponenciales o potencias en las que el exponente mismo es una variable. Está claro que cantidades de este tipo no son funciones algebraicas , ya que en aquellas los exponentes deben ser constantes. ^[18]

Terminología

La expresión b ² = b · b se llama "el cuadrado de b " o " b al cuadrado ", porque el área de un cuadrado con longitud de lado b es b ² . (Es cierto que también podría llamarse " b a la segunda potencia", pero "el cuadrado de b " y " b al cuadrado" están tan arraigados por la tradición y la conveniencia que " b a la segunda potencia" tiende a sonar inusual o torpe.)

De manera similar, la expresión b ³ = b · b · b se llama "el cubo de b " o " b al cubo", porque el volumen de un cubo con una longitud de lado b es b ³ .

Cuando un exponente es un número entero positivo , ese exponente indica cuántas copias de la base se multiplican. Por ejemplo, 3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 . La base 3 aparece 5 veces en la multiplicación, porque el exponente es 5 . Aquí, 243 es la quinta potencia de 3 , o 3 elevado a la quinta potencia .

Generalmente se omite la palabra "elevado" y, a veces, también "potencia", por lo que 3 ⁵ puede leerse simplemente "3 al 5" o "3 al 5". Por lo tanto, la exponenciación b ⁿ se puede expresar como " b elevado a n ", " b elevado a n ésimo ", " b elevado a n ésimo " o, más brevemente, como " b elevado a n ".

Exponentes enteros

La operación de exponenciación con exponentes enteros se puede definir directamente a partir de operaciones aritméticas elementales .

Exponentes positivos

La definición de exponenciación como una multiplicación iterada se puede formalizar mediante el uso de inducción , ^[19] y esta definición se puede utilizar tan pronto como se tenga una multiplicación asociativa :

El caso base es

${\displaystyle b^{1}=b}$

y la recurrencia es

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

La asociatividad de la multiplicación implica que para cualquier número entero positivo m y n ,

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

y

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

exponente cero

Por definición, cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1 : ^{[20] [1]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

Esta es la única definición posible del exponente cero que permite aplicar la fórmula

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

a cero exponentes. Puede usarse en toda estructura algebraica con una multiplicación que tenga identidad .

Intuicionalmente, puede interpretarse como el producto vacío de copias de b . Entonces, la igualdad es un caso especial de la convención general para el producto vacío. ${\displaystyle b^{0}}$ ${\displaystyle b^{0}=1}$

El caso de 0 ⁰ es más complicado. En contextos donde solo se consideran potencias enteras, el valor 1 generalmente se asigna a 0 ⁰ pero, de lo contrario, la elección de asignarle un valor y qué valor asignar puede depender del contexto. Para obtener más detalles, consulte Cero elevado a cero .

Exponentes negativos

La exponenciación con exponentes negativos se define mediante la siguiente identidad, que es válida para cualquier número entero n y distinto de cero b :

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$. ^[1]

Elevar 0 a un exponente negativo no está definido pero, en algunas circunstancias, puede interpretarse como infinito ( ). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \infty }$

Esta definición de exponenciación con exponentes negativos es la única que permite extender la identidad a exponentes negativos (considérese el caso ). ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$ ${\displaystyle m=-n}$

La misma definición se aplica a los elementos invertibles en un monoide multiplicativo , es decir, una estructura algebraica , con una multiplicación asociativa y una identidad multiplicativa denotada 1 (por ejemplo, las matrices cuadradas de una dimensión determinada). En particular, en tal estructura, la inversa de un elemento invertible x se denota estándar ${\displaystyle x^{-1}.}$

Identidades y propiedades

Las siguientes identidades , a menudo llamadasreglas de exponentes , válidas para todos los exponentes enteros, siempre que la base sea distinta de cero:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

A diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 ³ = 8 ≠ 3 ² = 9 . Además, a diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es asociativa . Por ejemplo, (2 ³ ) ² = 8 ² = 64 , mientras que 2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512 . Sin paréntesis, el orden convencional de las operaciones para la exponenciación serial en notación de superíndice es de arriba hacia abajo (o asociativo por la derecha ), no de abajo hacia arriba ^{[21] [22] [23]} (o asociativo por la izquierda ). Eso es,

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

que, en general, es diferente de

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

potencias de una suma

Las potencias de una suma normalmente se pueden calcular a partir de las potencias de los sumandos mediante la fórmula binomial

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

Sin embargo, esta fórmula es cierta sólo si los sumandos conmutan (es decir, que ab = ba ), lo cual está implícito si pertenecen a una estructura que es conmutativa . De lo contrario, si a y b son, digamos, matrices cuadradas del mismo tamaño, esta fórmula no se puede utilizar. De ello se deduce que en álgebra informática , muchos algoritmos que involucran exponentes enteros deben cambiarse cuando las bases de exponenciación no conmutan. Algunos sistemas de álgebra informática de propósito general utilizan una notación diferente (a veces ^^ en lugar de ^ ) para la exponenciación con bases no conmutativas, lo que luego se denomina exponenciación no conmutativa .

Interpretación combinatoria

Para números enteros no negativos n y m , el valor de n ^m es el número de funciones desde un conjunto de m elementos hasta un conjunto de n elementos (ver exponenciación cardinal ). Estas funciones se pueden representar como m - tuplas de un conjunto de n elementos (o como palabras de m letras de un alfabeto de n letras). En la siguiente tabla se dan algunos ejemplos de valores particulares de myn :

bases particulares

potencias de diez

En el sistema numérico de base diez ( decimal ), las potencias enteras de 10 se escriben como el dígito 1 seguido o precedido por un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo,10 ³ =1000 y10-4 = ^_0,0001 .

La exponenciación con base 10 se utiliza en notación científica para indicar números grandes o pequeños. Por ejemplo,299 792 458  m/s (la velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo ) se puede escribir como2,997 924 58 × 10 ⁸  m/s y luego se aproxima como2,998 × 10 ⁸  m/s .

Los prefijos SI basados ​​en potencias de 10 también se utilizan para describir cantidades grandes o pequeñas. Por ejemplo, el prefijo kilo significa10 ³ =1000 , entonces un kilómetro es1000 metros .

potencias de dos

Las primeras potencias negativas de 2 se usan comúnmente y tienen nombres especiales, por ejemplo: mitad y cuarto .

Las potencias de 2 aparecen en la teoría de conjuntos , ya que un conjunto con n miembros tiene un conjunto potencia , el conjunto de todos sus subconjuntos , que tiene 2 ⁿ miembros.

Las potencias enteras de 2 son importantes en informática . Las potencias enteras positivas 2 ⁿ dan el número de valores posibles para un número binario entero de n bits ; por ejemplo, un byte puede tomar 2 ⁸ = 256 valores diferentes. El sistema numérico binario expresa cualquier número como una suma de potencias de 2 , y lo denota como una secuencia de 0 y 1 , separados por un punto binario , donde 1 indica una potencia de 2 que aparece en la suma; el exponente está determinado por el lugar de este 1 : los exponentes no negativos son el rango del 1 a la izquierda del punto (comenzando desde 0 ), y los exponentes negativos están determinados por el rango a la derecha del punto.

poderes de uno

Cada potencia de uno es igual a: 1 ⁿ = 1 . Esto es cierto incluso si n es negativo.

La primera potencia de un número es el número mismo: n ¹ = n .

poderes de cero

Si el exponente n es positivo ( n > 0 ), la enésima potencia de cero es cero: 0 ⁿ = 0 .

Si el exponente n es negativo ( n < 0 ), la enésima potencia de cero 0 ⁿ no está definida, porque debe ser igual a − n > 0 , y esto sería de acuerdo con lo anterior. ${\displaystyle 1/0^{-n}}$ ${\displaystyle 1/0}$

La expresión 0 0 se define como 1 o se deja sin definir.

Potencias del uno negativo

Si n es un número entero par, entonces (−1) ⁿ = 1 . Esto se debe a que un número negativo multiplicado por otro número negativo anula el signo y, por tanto, da un número positivo.

Si n es un número entero impar, entonces (−1) ⁿ = −1 . Esto se debe a que quedará un −1 después de eliminar −1 pares.

Debido a esto, las potencias de −1 son útiles para expresar secuencias alternas . Para una discusión similar sobre las potencias del número complejo i , consulte § raíces enésimas de un número complejo .

Grandes exponentes

El límite de una secuencia de potencias de un número mayor que uno diverge; en otras palabras, la secuencia crece sin límite:

b ⁿ → ∞ como n → ∞ cuando b > 1

Esto se puede leer como " b elevado a n tiende a +∞ ya que n tiende a infinito cuando b es mayor que uno".

Las potencias de un número con valor absoluto menor que uno tienden a cero:

b ⁿ → 0 como n → ∞ cuando | segundo | < 1

Cualquier poder de uno es siempre uno:

b ⁿ = 1 para todo n si b = 1

Las potencias de –1 alternan entre 1 y –1 cuando n alterna entre pares e impares y, por lo tanto, no tienden a ningún límite a medida que n crece.

Si b < –1 , b ⁿ alterna entre números positivos y negativos cada vez más grandes mientras n alterna entre pares e impares y, por lo tanto, no tiende a ningún límite a medida que n crece.

Si el número exponenciado varía mientras tiende a 1 cuando el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los anteriores. Un caso particularmente importante es

(1 + 1/ n ) ⁿ → e como n → ∞

Consulte § Función exponencial a continuación.

Otros límites, en particular los de las expresiones que adoptan una forma indeterminada , se describen en el § Límites de las competencias más abajo.

Funciones de potencia

Funciones de potencia para n = 1, 3, 5

Funciones de potencia para n = 2, 4, 6

Las funciones reales de la forma , donde , a veces se denominan funciones de potencia. ^[24] Cuando es un número entero y , existen dos familias principales: par e impar. En general , cuando es par tenderá hacia el infinito positivo al aumentar , y también hacia el infinito positivo al disminuir . Todas las gráficas de la familia de funciones de potencias pares tienen la forma general de , aplanándose más en el medio a medida que aumentan. ^[25] Las funciones con este tipo de simetría ( ) se llaman funciones pares . ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=cx^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Cuando es impar, su comportamiento asintótico se invierte de positivo a negativo . Porque también tenderá al infinito positivo al aumentar , pero al infinito negativo al disminuir . Todas las gráficas de la familia de funciones de potencias impares tienen la forma general de , aplanándose más en el medio a medida que aumenta y perdiendo toda planitud allí en la línea recta para . Las funciones con este tipo de simetría ( ) se llaman funciones impares . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=cx^{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

Para , el comportamiento asintótico opuesto es cierto en cada caso. ^[25] ${\displaystyle c<0}$

Tabla de potencias de dígitos decimales.

Exponentes racionales

De arriba a abajo: x ^1/8 , x ^1/4 , x ^1/2 , x ¹ , x ² , x ⁴ , x ⁸ .

Si x es un número real no negativo y n es un entero positivo, o denota la única raíz n- ésima real positiva de x , es decir, el único número real positivo y tal que ${\displaystyle x^{1/n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle y^{n}=x.}$

Si x es un número real positivo y es un número racional , con p y q > 0 enteros, entonces se define como ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\textstyle x^{p/q}}$

${\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}$

La igualdad de la derecha se puede derivar estableciendo y escribiendo ${\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},}$ ${\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}$

Si r es un número racional positivo, 0 ^r = 0 , por definición.

Todas estas definiciones son necesarias para extender la identidad a exponentes racionales. ${\displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}$

Por otro lado, existen problemas con la extensión de estas definiciones a bases que no son números reales positivos. Por ejemplo, un número real negativo tiene una raíz n- ésima real, que es negativa si n es impar y no tiene raíz real si n es par. En el último caso, cualquier raíz n- ésima compleja que se elija para la identidad no puede satisfacerse. Por ejemplo, ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}},}$ ${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}$

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}$

Consulte § Exponentes reales y § Potencias no enteras de números complejos para obtener detalles sobre cómo se pueden manejar estos problemas.

Exponentes reales

Para números reales positivos, la exponenciación a potencias reales se puede definir de dos formas equivalentes, ya sea extendiendo las potencias racionales a reales por continuidad ( § Límites de los exponentes racionales , más abajo), o en términos del logaritmo de la base y la función exponencial. ( § Potencias vía logaritmos , más abajo). El resultado es siempre un número real positivo, y las identidades y propiedades mostradas arriba para exponentes enteros siguen siendo válidas con estas definiciones para exponentes reales. La segunda definición se usa más comúnmente, ya que se generaliza directamente a exponentes complejos .

Por otro lado, la exponenciación a una potencia real de un número real negativo es mucho más difícil de definir de manera consistente, ya que puede ser no real y tener varios valores (ver § Exponentes reales con bases negativas ). Se puede elegir uno de estos valores, llamado valor principal , pero no se puede elegir el valor principal para el cual se establece la identidad.

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}$

es verdad; ver § Fallo de identidades de potencia y logaritmos . Por lo tanto, la exponenciación con una base que no es un número real positivo generalmente se considera una función multivaluada .

Límites de exponentes racionales

El límite de e ^{1/ n} es e ⁰ = 1 cuando n tiende al infinito.

Dado que cualquier número irracional puede expresarse como el límite de una secuencia de números racionales, la exponenciación de un número real positivo b con un exponente real arbitrario x puede definirse mediante la continuidad con la regla ^[26]

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

donde el límite se toma sobre valores racionales de r únicamente. Este límite existe para todo b positivo y todo x real .

Por ejemplo, si x = π , la representación decimal no terminante π = 3,14159... y la monotonicidad de las potencias racionales se pueden utilizar para obtener intervalos acotados por potencias racionales que sean tan pequeños como se desee, y deben contener ${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

Entonces, los límites superiores e inferiores de los intervalos forman dos secuencias que tienen el mismo límite, denotado ${\displaystyle b^{\pi }.}$

Esto define para cada b positivo y x real como una función continua de b y x . Véase también Expresión bien definida . ^[27] ${\displaystyle b^{x}}$

Funcion exponencial

La función exponencial a menudo se define como dónde está el número de Euler . Para evitar un razonamiento circular , esta definición no se puede utilizar aquí. Entonces, se da una definición de la función exponencial, denotada y del número de Euler, que se basa únicamente en la exponenciación con exponentes enteros positivos. Luego se esboza una prueba de que, si se utiliza la definición de exponenciación dada en las secciones anteriores, se tiene ${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$ ${\displaystyle \exp(x),}$

${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

Hay muchas formas equivalentes de definir la función exponencial , una de ellas es

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Se tiene y la identidad exponencial también se cumple, ya que ${\displaystyle \exp(0)=1,}$ ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

y el término de segundo orden no afecta el límite, dando como resultado . ${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

El número de Euler se puede definir como . De las ecuaciones anteriores se deduce que cuando x es un número entero (esto resulta de la definición de multiplicación repetida de la exponenciación). Si x es real, resulta de las definiciones dadas en secciones anteriores, utilizando la identidad exponencial si x es racional y la continuidad de la función exponencial en caso contrario. ${\displaystyle e=\exp(1)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

El límite que define la función exponencial converge para cada valor complejo de x y, por lo tanto, puede usarse para extender la definición de y, por lo tanto, de los números reales a cualquier argumento complejo z . Esta función exponencial extendida aún satisface la identidad exponencial y se usa comúnmente para definir la exponenciación para bases y exponentes complejos. ${\displaystyle \exp(z)}$ ${\displaystyle e^{z},}$

Potencias vía logaritmos

La definición de e ^x como función exponencial permite definir b ^x para cada número real positivo b , en términos de función exponencial y logarítmica . Específicamente, el hecho de que el logaritmo natural ln( x ) sea el inverso de la función exponencial e ^x significa que se tiene

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

por cada b > 0 . Para preservar la identidad uno debe tener ${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

Entonces, puede usarse como una definición alternativa de b ^x para cualquier b real positivo . Esto concuerda con la definición dada anteriormente usando exponentes racionales y continuidad, con la ventaja de extenderse directamente a cualquier exponente complejo. ${\displaystyle e^{x\ln b}}$

Exponentes complejos con base real positiva

Si b es un número real positivo, la exponenciación con base b y exponente complejo z se define mediante la función exponencial con argumento complejo (ver el final de la § Función exponencial , arriba) como

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

donde denota el logaritmo natural de b . ${\displaystyle \ln b}$

Esto satisface la identidad

${\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}$

En general, no está definido, ya que b ^z no es un número real. Si se le da un significado a la exponenciación de un número complejo (ver § Potencias no enteras de números complejos , más abajo), se tiene, en general, ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$

${\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}$

a menos que z sea real o t sea un número entero.

la fórmula de Euler ,

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,}$

permite expresar la forma polar de en términos de las partes real e imaginaria de z , es decir ${\displaystyle b^{z}}$

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}$

donde el valor absoluto del factor trigonométrico es uno. Esto resulta de

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}$

Potencias no enteras de números complejos

En las secciones anteriores, la exponenciación con exponentes no enteros se ha definido sólo para bases reales positivas. Para otras bases, las dificultades aparecen ya con el caso aparentemente simple de raíces n -ésimas, es decir, de exponentes donde n es un número entero positivo. Aunque la teoría general de la exponenciación con exponentes no enteros se aplica a raíces n - ésimas, este caso merece ser considerado en primer lugar, ya que no necesita utilizar logaritmos complejos y, por tanto, es más fácil de entender. ${\displaystyle 1/n,}$

n- ésima raíz de un número complejo

Todo número complejo z distinto de cero se puede escribir en forma polar como

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

donde es el valor absoluto de z y es su argumento . El argumento se define hasta un múltiplo entero de 2 π ; esto significa que, si es el argumento de un número complejo, entonces también es un argumento del mismo número complejo para todo número entero . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta +2k\pi }$ ${\displaystyle k}$

La forma polar del producto de dos números complejos se obtiene multiplicando los valores absolutos y sumando los argumentos. De ello se deduce que la forma polar de una n- ésima raíz de un número complejo se puede obtener tomando la n -ésima raíz del valor absoluto y dividiendo su argumento por n :

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

Si se suma a , el número complejo no cambia, pero esto se suma al argumento de la raíz n -ésima y proporciona una nueva raíz n -ésima. Esto se puede hacer n veces y proporciona la n nésima raíz del número complejo. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2i\pi /n}$

Es habitual elegir una de las raíces n n como raíz principal . La elección común es elegir la raíz n -ésima , es decir, la raíz n -ésima que tiene la parte real más grande y, si hay dos, la que tiene parte imaginaria positiva. Esto hace que la raíz n- ésima principal sea una función continua en todo el plano complejo, excepto para los valores reales negativos del radicando . Esta función es igual a la raíz n- ésima habitual para radicandos reales positivos. Para radicandos reales negativos y exponentes impares, la raíz n -ésima principal no es real, aunque la raíz n- ésima habitual sí lo es. La continuación analítica muestra que la raíz n -ésima principal es la única función diferenciable compleja que extiende la raíz n -ésima habitual al plano complejo sin los números reales no positivos. ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$

Si el número complejo se mueve alrededor de cero aumentando su argumento, después de un incremento el número complejo vuelve a su posición inicial y sus enésimas raíces se permutan circularmente (se multiplican por ). Esto muestra que no es posible definir una función raíz n- ésima que sea continua en todo el plano complejo. ${\displaystyle 2\pi ,}$ $e^{2i\pi /n}$

Raíces de unidad

Las tres raíces terceras de 1

Las n- ésimas raíces de la unidad son los n números complejos tales que w ⁿ = 1 , donde n es un entero positivo. Surgen en diversas áreas de las matemáticas, como en la transformada discreta de Fourier o las soluciones algebraicas de ecuaciones algebraicas ( resolvente de Lagrange ).

Las raíces n - ésimas de la unidad son las n primeras potencias de , es decir, las raíces n -ésimas de la unidad que tienen esta propiedad generadora se llaman raíces n -ésimas primitivas de la unidad ; tienen la forma con k coprimo con n . La raíz cuadrada primitiva única de la unidad es la raíz cuarta primitiva de la unidad que es y ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}}$ ${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},}$ ${\displaystyle -1;}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i.}$

Las n -ésimas raíces de la unidad permiten expresar todas las n- ésimas raíces de un número complejo z como los n productos de una n- ésima raíz de z dada con una n- ésima raíz de la unidad.

Geométricamente, las n- ésimas raíces de la unidad se encuentran en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un n -gón regular con un vértice en el número real 1.

Como el número es la raíz n -ésima de la unidad primitiva con el argumento positivo más pequeño , se le llama raíz n- ésima de la unidad primitiva principal , a veces abreviada como raíz n- ésima principal de la unidad , aunque esta terminología puede confundirse con el valor principal de , que es 1. ^{[28] [29] [30]} ${\displaystyle e^{\frac {2k\pi i}{n}}}$ ${\displaystyle 1^{1/n}}$

exponenciación compleja

Definir la exponenciación con bases complejas genera dificultades similares a las descritas en la sección anterior, excepto que, en general, hay infinitos valores posibles para . Entonces, o se define un valor principal , que no es continuo para los valores de z que son reales y no positivos, o se define como una función multivaluada . $z^{w}$ $z^{w}$

En todos los casos, el logaritmo complejo se utiliza para definir la exponenciación compleja como

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

donde está la variante del logaritmo complejo que se utiliza, es decir, una función o una función multivaluada tal que ${\displaystyle \log z}$

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

para cada z en su dominio de definición .

Valor principal

El valor principal del logaritmo complejo es la función continua única, comúnmente denotada de manera que, para cada número complejo distinto de cero z , ${\displaystyle \log ,}$

${\displaystyle e^{\log z}=z,}$

y el argumento de z satisface

${\displaystyle -\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi .}$

El valor principal del logaritmo complejo no está definido porque es discontinuo en valores reales negativos de z y es holomórfico (es decir, diferenciable complejo) en otros lugares. Si z es real y positivo, el valor principal del logaritmo complejo es el logaritmo natural: ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \log z=\ln z.}$

El valor principal de se define como donde está el valor principal del logaritmo. ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$ ${\displaystyle \log z}$

La función es holomorfa excepto en la vecindad de los puntos donde z es real y no positivo. ${\displaystyle (z,w)\to z^{w}}$

Si z es real y positivo, el valor principal de es igual a su valor habitual definido anteriormente. Si donde n es un número entero, este valor principal es el mismo que el definido anteriormente. ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle w=1/n,}$

Función multivalor

En algunos contextos, existe un problema con la discontinuidad de los valores principales de y en los valores reales negativos de z . En este caso, resulta útil considerar estas funciones como funciones multivaluadas . ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z^{w}}$

Si denota uno de los valores del logaritmo multivaluado (normalmente su valor principal), los otros valores son donde k es cualquier número entero. De manera similar, si es un valor de la exponenciación, entonces los otros valores están dados por ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 2ik\pi +\log z,}$ ${\displaystyle z^{w}}$

${\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}$

donde k es cualquier número entero.

Diferentes valores de k dan diferentes valores de a menos que w sea un número racional , es decir, exista un número entero d tal que dw sea un número entero. Esto resulta de la periodicidad de la función exponencial, más específicamente, que si y sólo si es un múltiplo entero de ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Si es un número racional con m y n enteros coprimos , entonces tiene exactamente n valores. En el caso estos valores son los mismos que los descritos en el § raíces enésimas de un número complejo. Si w es un número entero, sólo hay un valor que concuerda con el de § Exponentes enteros. ${\displaystyle w={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle m=1,}$

La exponenciación multivaluada es holomorfa en el sentido de que su gráfica consta de varias hojas que definen cada una de ellas una función holomorfa en la vecindad de cada punto. Si z varía continuamente a lo largo de un círculo alrededor de 0 , entonces, después de un giro, el valor de ha cambiado de hoja. ${\displaystyle z\neq 0,}$ ${\displaystyle z^{w}}$

Cálculo

La forma canónica de se puede calcular a partir de la forma canónica de z y w . Aunque esto puede describirse mediante una única fórmula, es más claro dividir el cálculo en varios pasos. ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle z^{w}}$

• Forma polar de z . Sies la forma canónica de z ( siendo a y b reales), entonces su forma polar es ${\displaystyle z=a+ib}$
  $${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$$
  donde y (ver atan2 para la definición de esta función). ${\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (a,b)}$
• Logaritmo de z . El valor principal de este logaritmo esdondedenota el logaritmo natural . Los demás valores del logaritmo se obtienen sumandopara cualquier número entero k . ${\displaystyle \log z=\ln \rho +i\theta ,}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle 2ik\pi }$
• Forma canónica de ${\displaystyle w\log z.}$ Si con cyd reales , los valores de son ${\displaystyle w=c+di}$ ${\displaystyle w\log z}$
  $${\displaystyle w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),}$$
  el valor principal correspondiente a ${\displaystyle k=0.}$
• Resultado final . Usando las identidades y uno obtiene ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$ ${\displaystyle e^{y\ln x}=x^{y},}$
  $${\displaystyle z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),}$$
  con por el valor principal. ${\displaystyle k=0}$

Ejemplos

• ${\displaystyle i^{i}}$
  La forma polar de i es y los valores de son, por tanto, ${\displaystyle i=e^{i\pi /2},}$ ${\displaystyle \log i}$
  $${\displaystyle \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).}$$
  Resulta que
  $${\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.}$$
  Entonces, todos los valores de son reales, siendo el principal ${\displaystyle i^{i}}$
  $${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.}$$
• ${\displaystyle (-2)^{3+4i}}$
  De manera similar, la forma polar de −2 es Entonces, el método descrito anteriormente da los valores ${\displaystyle -2=2e^{i\pi }.}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}}$$
  En este caso, todos los valores tienen el mismo argumento y diferentes valores absolutos. ${\displaystyle 4\ln 2,}$

En ambos ejemplos, todos los valores de tienen el mismo argumento. De manera más general, esto es cierto si y sólo si la parte real de w es un número entero. ${\displaystyle z^{w}}$

Fallo de identidades de potencia y logaritmos.

Algunas identidades para potencias y logaritmos para números reales positivos fallarán para números complejos, sin importar cómo se definan las potencias y logaritmos complejos como funciones de un solo valor . Por ejemplo:

• La identidad log( b ^x ) = x ⋅ log  b se cumple siempre que b es un número real positivo y x es un número real. Pero para la rama principal del logaritmo complejo se tiene
  $${\displaystyle \log((-i)^{2})=\log(-1)=i\pi \neq 2\log(-i)=2\log(e^{-i\pi /2})=2\,{\frac {-i\pi }{2}}=-i\pi }$$

  Independientemente de qué rama del logaritmo se utilice, existirá una falla similar en la identidad. Lo mejor que se puede decir (si sólo se utiliza este resultado) es que:

  $${\displaystyle \log w^{z}\equiv z\log w{\pmod {2\pi i}}}$$

  Esta identidad no se mantiene incluso cuando se considera log como una función multivaluada. Los posibles valores de log( w ^z ) contienen los de z ⋅ log  w como un subconjunto adecuado . Usando Log( w ) para el valor principal de log( w ) y m , n como cualquier número entero, los valores posibles de ambos lados son:

  $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\log w^{z}\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in+2\pi im\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}\\\left\{z\log w\right\}&=\left\{z\operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in\mid n\in \mathbb {Z} \right\}\end{aligned}}}$$
• Las identidades ( bc ) ^x = b ^x c ^x y ( b / c ) ^x = b ^x / c ^x son válidas cuando b y c son números reales positivos y x es un número real. Pero, para los valores principales, se tiene
  $${\displaystyle (-1\cdot -1)^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1}$$
  y
  $${\displaystyle \left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=i\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i}$$
  Por otro lado, cuando x es un número entero, las identidades son válidas para todos los números complejos distintos de cero. Si la exponenciación se considera una función multivaluada, entonces los valores posibles de (−1 ⋅ −1) ^1/2 son {1, −1} . La identidad se mantiene, pero decir {1} = {(−1 ⋅ −1) ^1/2 } es incorrecto.
• La identidad ( e ^x ) ^y = e ^xy se cumple para los números reales x e y , pero asumir su verdad para los números complejos conduce a la siguiente paradoja , descubierta en 1827 por Clausen : ^[31] Para cualquier número entero n , tenemos:
  1. ${\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e}$
  2. ${\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad }$(tomando el -ésimo poder de ambos lados) ${\displaystyle (1+2\pi in)}$
  3. ${\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }$(usando y expandiendo el exponente) ${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{xy}}$
  4. ${\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }$(usando ) ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$
  5. ${\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad }$(dividiendo por e )
  pero esto es falso cuando el número entero n es distinto de cero. El error es el siguiente: por definición, es una notación para una función verdadera y es una notación para la cual es una función multivaluada. Por tanto, la notación es ambigua cuando x = e . Aquí, antes de expandir el exponente, la segunda línea debe ser ${\displaystyle e^{y}}$ ${\displaystyle \exp(y),}$ ${\displaystyle x^{y}}$ ${\displaystyle \exp(y\log x),}$
  $${\displaystyle \exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in).}$$
  Por lo tanto, al expandir el exponente, se ha supuesto implícitamente que para valores complejos de z , lo cual es incorrecto, ya que el logaritmo complejo tiene varios valores. En otras palabras, la identidad incorrecta ( e ^x ) ^y = e ^xy debe ser reemplazada por la identidad ${\displaystyle \log \exp z=z}$
  $${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}},}$$
  que es una verdadera identidad entre funciones multivaluadas.

Irracionalidad y trascendencia

Si b es un número algebraico real positivo y x es un número racional, entonces b ^x es un número algebraico. Esto resulta de la teoría de las extensiones algebraicas . Esto sigue siendo cierto si b es cualquier número algebraico, en cuyo caso, todos los valores de b ^x (como función multivaluada ) son algebraicos. Si x es irracional (es decir, no racional ), y tanto b como x son algebraicos, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que todos los valores de b ^x son trascendentales (es decir, no algebraicos), excepto si b es igual a 0 o 1 .

En otras palabras, si x es irracional y entonces al menos uno de b , x y b ^x es trascendental. ${\displaystyle b\not \in \{0,1\},}$

Potencias enteras en álgebra

La definición de exponenciación con exponentes enteros positivos como multiplicación repetida puede aplicarse a cualquier operación asociativa denotada como multiplicación. ^{[nb 2]} La definición de x ⁰ requiere además la existencia de una identidad multiplicativa . ^[32]

Una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación asociativa denotada multiplicativamente y una identidad multiplicativa denotada por 1 es un monoide . En tal monoide, la exponenciación de un elemento x se define inductivamente por

• ${\displaystyle x^{0}=1,}$
• ${\displaystyle x^{n+1}=xx^{n}}$para cada entero no negativo n .

Si n es un entero negativo, se define sólo si x tiene un inverso multiplicativo . ^[33] En este caso, la inversa de x se denota x ⁻¹ y x ⁿ se define como ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}.}$

La exponenciación con exponentes enteros obedece las siguientes leyes, para x e y en la estructura algebraica, y m y n números enteros:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if}}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}}$

Estas definiciones se utilizan ampliamente en muchas áreas de las matemáticas, en particular para grupos , anillos , cuerpos y matrices cuadradas (que forman un anillo). Se aplican también a funciones de un conjunto consigo mismo, que forman un monoide bajo composición de funciones . Esto incluye, como casos específicos, transformaciones geométricas y endomorfismos de cualquier estructura matemática .

Cuando existen varias operaciones que pueden repetirse, es común indicar la operación repetida colocando su símbolo en el superíndice, antes del exponente. Por ejemplo, si f es una función real cuyo valor se puede multiplicar, denota la exponenciación con respecto a la multiplicación y puede denotar exponenciación con respecto a la composición de la función . Eso es, ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{\circ n}}$

${\displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),}$

y

${\displaystyle (f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).}$

Comúnmente, se denota mientras que se denota ${\displaystyle (f^{n})(x)}$ ${\displaystyle f(x)^{n},}$ ${\displaystyle (f^{\circ n})(x)}$ ${\displaystyle f^{n}(x).}$

En un grupo

Un grupo multiplicativo es un conjunto con una operación asociativa denotada como multiplicación, que tiene un elemento identidad y tal que cada elemento tiene un inverso.

Entonces, si G es un grupo, se define para todos y cada uno de los números enteros n . ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x\in G}$

El conjunto de todas las potencias de un elemento de un grupo forman un subgrupo . Un grupo (o subgrupo) que consta de todas las potencias de un elemento específico x es el grupo cíclico generado por x . Si todas las potencias de x son distintas, el grupo es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros. De lo contrario, el grupo cíclico es finito (tiene un número finito de elementos) y su número de elementos es del orden de x . Si el orden de x es n , entonces y el grupo cíclico generado por x consta de las n primeras potencias de x (comenzando indiferentemente desde el exponente 0 o 1 ). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$

El orden de los elementos juega un papel fundamental en la teoría de grupos . Por ejemplo, el orden de un elemento en un grupo finito es siempre un divisor del número de elementos del grupo (el orden del grupo). Los posibles órdenes de los elementos de un grupo son importantes en el estudio de la estructura de un grupo (ver teoremas de Sylow ), y en la clasificación de grupos finitos simples .

La notación de superíndice también se utiliza para la conjugación ; es decir, g ^h = h ⁻¹ gh , donde g y h son elementos de un grupo. Esta notación no se puede confundir con la exponenciación, ya que el superíndice no es un número entero. La motivación de esta notación es que la conjugación obedece algunas de las leyes de la exponenciación, a saber y ${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$ ${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

en un anillo

En un anillo , puede ocurrir que algunos elementos distintos de cero satisfagan algún número entero n . Se dice que tal elemento es nilpotente . En un anillo conmutativo , los elementos nilpotentes forman un ideal , llamado radical nil del anillo. ${\displaystyle x^{n}=0}$

Si el radical nil se reduce al ideal cero (es decir, si implica para todo entero positivo n ), el anillo conmutativo se dice reducido . Los anillos reducidos son importantes en geometría algebraica , ya que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es siempre un anillo reducido. ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{n}\neq 0}$

De manera más general, dado un ideal I en un anillo conmutativo R , el conjunto de los elementos de R que tienen una potencia en I es un ideal, llamado radical de I. El radical nil es el radical del ideal cero . Un ideal radical es un ideal que iguala a su propio radical. En un anillo polinomial sobre un campo k , un ideal es radical si y sólo si es el conjunto de todos los polinomios que son cero en un conjunto algebraico afín (esto es una consecuencia del Nullstellensatz de Hilbert ). ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Matrices y operadores lineales.

Si A es una matriz cuadrada, entonces el producto de A consigo mismo n veces se llama potencia de la matriz . También se define como la matriz identidad, ^[34] y si A es invertible, entonces . ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$

Las potencias matriciales aparecen a menudo en el contexto de sistemas dinámicos discretos , donde la matriz A expresa una transición de un vector de estado x de algún sistema al siguiente estado Ax del sistema. ^[35] Ésta es la interpretación estándar de una cadena de Markov , por ejemplo. Entonces es el estado del sistema después de dos pasos de tiempo, y así sucesivamente: es el estado del sistema después de n pasos de tiempo. La matriz de potencia es la matriz de transición entre el estado actual y el estado en un momento n pasos en el futuro. Entonces calcular potencias matriciales equivale a resolver la evolución del sistema dinámico. En muchos casos, las potencias matriciales se pueden calcular de manera conveniente utilizando valores propios y vectores propios . ${\displaystyle A^{2}x}$ ${\displaystyle A^{n}x}$ ${\displaystyle A^{n}}$

Además de las matrices, también se pueden exponenciar operadores lineales más generales. Un ejemplo es el operador derivativo del cálculo, que es un operador lineal que actúa sobre funciones para dar una nueva función . La enésima potencia del operador de diferenciación es la enésima derivada: ${\displaystyle d/dx}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

Estos ejemplos son para exponentes discretos de operadores lineales, pero en muchas circunstancias también es deseable definir potencias de dichos operadores con exponentes continuos. Este es el punto de partida de la teoría matemática de semigrupos . ^[36] Así como calcular potencias matriciales con exponentes discretos resuelve sistemas dinámicos discretos, también calcular potencias matriciales con exponentes continuos resuelve sistemas con dinámica continua. Los ejemplos incluyen enfoques para resolver la ecuación del calor , la ecuación de Schrödinger , la ecuación de onda y otras ecuaciones diferenciales parciales, incluida una evolución temporal. El caso especial de exponenciar el operador derivada a una potencia no entera se llama derivada fraccionaria que, junto con la integral fraccionaria , es una de las operaciones básicas del cálculo fraccionario .

campos finitos

Un campo es una estructura algebraica en la que la multiplicación, la suma, la resta y la división se definen y satisfacen las propiedades de que la multiplicación es asociativa y todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . Esto implica que la exponenciación con exponentes enteros está bien definida, excepto para potencias no positivas de 0 . Ejemplos comunes son el campo de los números complejos , los números reales y los números racionales , considerados anteriormente en este artículo, que son todos infinitos .

Un campo finito es un campo con un número finito de elementos. Este número de elementos es un número primo o una potencia prima ; es decir, tiene la forma donde p es un número primo y k es un entero positivo. Para cada q , hay campos con q elementos. Los campos con q elementos son todos isomórficos , lo que permite, en general, trabajar como si existiera un solo campo con q elementos, denotado ${\displaystyle q=p^{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$

Uno tiene

${\displaystyle x^{q}=x}$

para cada ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}$

Un elemento primitivo en es un elemento g tal que el conjunto de las q − 1 primeras potencias de g (es decir, ) es igual al conjunto de los elementos distintos de cero de Hay elementos primitivos en donde está la función totiente de Euler . ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$ ${\displaystyle \varphi (p-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle \varphi }$

En la identidad soñada del estudiante de primer año. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

es cierto para el exponente p . Como en Se deduce que el mapa ${\displaystyle x^{p}=x}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}}$

es lineal y es un automorfismo de campo , llamado automorfismo de Frobenius . Si el campo tiene k automorfismos, ¿cuáles son las k primeras potencias (bajo composición ) de F ? En otras palabras, el grupo de Galois es cíclico de orden k , generado por el automorfismo de Frobenius. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle q=p^{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

El intercambio de claves Diffie-Hellman es una aplicación de exponenciación en campos finitos que se utiliza ampliamente para comunicaciones seguras . Utiliza el hecho de que la exponenciación es computacionalmente económica, mientras que la operación inversa, el logaritmo discreto , es computacionalmente costosa. Más precisamente, si g es un elemento primitivo, entonces se puede calcular eficientemente con exponenciación elevando al cuadrado cualquier e , incluso si q es grande, mientras que no se conoce ningún algoritmo computacionalmente práctico que permita recuperar e si q es suficientemente grande. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle g^{e}}$ ${\displaystyle g^{e}}$

potencias de conjuntos

El producto cartesiano de dos conjuntos S y T es el conjunto de los pares ordenados tales que y. Esta operación no es propiamente conmutativa ni asociativa , pero tiene estas propiedades hasta isomorfismos canónicos , que permiten identificar, por ejemplo, y ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y\in T.}$ ${\displaystyle (x,(y,z)),}$ ${\displaystyle ((x,y),z),}$ ${\displaystyle (x,y,z).}$

Esto permite definir la n -ésima potencia de un conjunto S como el conjunto de todas las n - tuplas de elementos de S . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Cuando S está dotado de alguna estructura, es frecuente que esté naturalmente dotado de una estructura similar. En este caso, generalmente se utiliza el término " producto directo " en lugar de "producto cartesiano", y la exponenciación denota la estructura del producto. Por ejemplo (donde denota los números reales) denota el producto cartesiano de n copias de así como su producto directo como espacio vectorial , espacios topológicos , anillos , etc. ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Conjuntos como exponentes

Una n -tupla de elementos de S puede considerarse como una función de Esto se generaliza a la siguiente notación. ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}.}$

Dados dos conjuntos S y T , se denota el conjunto de todas las funciones de T a S. Esta notación exponencial se justifica por los siguientes isomorfismos canónicos (para el primero, ver Currying ): ${\displaystyle S^{T}}$

${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},}$

${\displaystyle S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},}$

donde denota el producto cartesiano y la unión disjunta . ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \sqcup }$

Se pueden utilizar conjuntos como exponentes para otras operaciones con conjuntos, normalmente para sumas directas de grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos . Para distinguir sumas directas de productos directos, el exponente de una suma directa se coloca entre paréntesis. Por ejemplo, denota el espacio vectorial de las secuencias infinitas de números reales y el espacio vectorial de aquellas secuencias que tienen un número finito de elementos distintos de cero. Este último tiene una base que consta de secuencias con exactamente un elemento distinto de cero que es igual a 1 , mientras que las bases de Hamel del primero no pueden describirse explícitamente (porque su existencia implica el lema de Zorn ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}}$

En este contexto, 2 puede representar el conjunto Entonces, denota el conjunto potencia de S , es decir el conjunto de funciones de S a que se puede identificar con el conjunto de los subconjuntos de S , mapeando cada función a la imagen inversa de 1 . ${\displaystyle \{0,1\}.}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\},}$

Esto encaja con la exponenciación de los números cardinales , en el sentido de que | S ^T | = | S | ^{| T |} , donde | X | es la cardinalidad de X .

En la teoría de categorías

En la categoría de conjuntos , los morfismos entre los conjuntos X e Y son las funciones de X a Y. Resulta que el conjunto de funciones de X a Y que se denota en la sección anterior también se puede denotar. El isomorfismo se puede reescribir ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle \hom(X,Y).}$ ${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U}}$

${\displaystyle \hom(U,S^{T})\cong \hom(T\times U,S).}$

Esto significa que el funtor "exponenciación a la potencia T  " es un adjunto derecho del funtor "producto directo con T  ".

Esto se generaliza a la definición de exponenciación en una categoría en la que existen productos directos finitos : en tal categoría, el funtor es, si existe, un adjunto derecho al funtor. Una categoría se llama categoría cerrada cartesiana , si existen productos directos, y el funtor tiene un adjunto derecho para cada T . ${\displaystyle X\to X^{T}}$ ${\displaystyle Y\to T\times Y.}$ ${\displaystyle Y\to X\times Y}$

exponenciación repetida

Así como la exponenciación de los números naturales está motivada por la multiplicación repetida, es posible definir una operación basada en la exponenciación repetida; esta operación a veces se llama hiper-4 o tetración . La iteración de la tetración conduce a otra operación, y así sucesivamente, un concepto llamado hiperoperación . Esta secuencia de operaciones se expresa mediante la función de Ackermann y la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Así como la exponenciación crece más rápido que la multiplicación, que es más rápida que la suma, la tetración crece más rápido que la exponenciación. Evaluadas en (3, 3) , las funciones suma, multiplicación, exponenciación y tetración dan como resultado 6, 9, 27 y7 625 597 484 987 ( = 3 ²⁷ = 3 ^{3 3} = ³ 3 ) respectivamente.

Límites de poderes

Cero elevado a cero da varios ejemplos de límites que son de la forma indeterminada 0 ⁰ . Los límites en estos ejemplos existen, pero tienen valores diferentes, lo que muestra que la función de dos variables x ^y no tiene límite en el punto (0, 0) . Se puede considerar en qué puntos esta función tiene un límite.

Más precisamente, considere la función definida en . Entonces D puede verse como un subconjunto de R ² (es decir, el conjunto de todos los pares ( x , y ) con x , y pertenecientes a la recta numérica real extendida R = [−∞, +∞] , dotado con el producto topología ), que contendrá los puntos en los que la función f tiene límite. ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x>0\}}$

De hecho, f tiene un límite en todos los puntos de acumulación de D , excepto (0, 0) , (+∞, 0) , (1, +∞) y (1, −∞) . ^[37] En consecuencia, esto permite definir las potencias x ^y por continuidad siempre que 0 ≤ x ≤ +∞ , −∞ ≤ y ≤ +∞ , excepto 0 ⁰ , (+∞) ⁰ , 1 ^+∞ y 1 ^−∞ , que siguen siendo formas indeterminadas.

Bajo esta definición por continuidad, obtenemos:

• x ^+∞ = +∞ y x ^−∞ = 0 , cuando 1 < x ≤ +∞ .
• x ^+∞ = 0 y x ^−∞ = +∞ , cuando 0 ≤ x < 1 .
• 0 ^y = 0 y (+∞) ^y = +∞ , cuando 0 < y ≤ +∞ .
• 0 ^y = +∞ y (+∞) ^y = 0 , cuando −∞ ≤ y < 0 .

Estas potencias se obtienen tomando límites de x ^y para valores positivos de x . Este método no permite una definición de x ^y cuando x < 0 , ya que los pares ( x , y ) con x < 0 no son puntos de acumulación de D .

Por otro lado, cuando n es un número entero, la potencia x ⁿ ya es significativa para todos los valores de x , incluidos los negativos. Esto puede hacer que la definición 0 ⁿ = +∞ obtenida anteriormente para n negativo sea problemática cuando n es impar, ya que en este caso x ⁿ → +∞ cuando x tiende a 0 a través de valores positivos, pero no negativos.

Cálculo eficiente con exponentes enteros.

Calcular b ⁿ usando multiplicación iterada requiere n − 1 operaciones de multiplicación, pero se puede calcular de manera más eficiente que eso, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Para calcular 2 ¹⁰⁰ , aplica la regla de Horner al exponente 100 escrito en binario:

${\displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))}$.

Luego calcula los siguientes términos en orden, leyendo la regla de Horner de derecha a izquierda.

Esta serie de pasos sólo requiere 8 multiplicaciones en lugar de 99.

En general, el número de operaciones de multiplicación necesarias para calcular b ⁿ se puede reducir mediante el uso de exponenciación elevando al cuadrado , donde denota el número de 1 s en la representación binaria de n . Para algunos exponentes (100 no está entre ellos), el número de multiplicaciones se puede reducir aún más calculando y utilizando la exponenciación de cadena de suma mínima . Encontrar la secuencia mínima de multiplicaciones (la cadena de suma de longitud mínima para el exponente) para b ⁿ es un problema difícil, para el cual no se conocen algoritmos eficientes actualmente (ver Problema de suma de subconjuntos ), pero hay disponibles muchos algoritmos heurísticos razonablemente eficientes. ^[38] Sin embargo, en cálculos prácticos, la exponenciación elevando al cuadrado es bastante eficiente y mucho más fácil de implementar. ${\displaystyle \sharp n+\lfloor \log _{2}n\rfloor -1,}$ ${\displaystyle \sharp n}$

Funciones iteradas

La composición de funciones es una operación binaria que se define en funciones de modo que el codominio de la función escrita a la derecha se incluye en el dominio de la función escrita a la izquierda. Se denota y define como ${\displaystyle g\circ f,}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

para cada x en el dominio de f .

Si el dominio de una función f es igual a su codominio, se puede componer la función consigo misma un número arbitrario de veces, y esto define la n- ésima potencia de la función bajo composición, comúnmente llamada n- ésima iteración de la función. Por lo tanto, denota generalmente la n- ésima iteración de f ; por ejemplo, significa ^[39] ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{3}(x)}$ ${\displaystyle f(f(f(x))).}$

Cuando se define una multiplicación en el codominio de la función, esto define una multiplicación de funciones, la multiplicación puntual , que induce otra exponenciación. Cuando se usa notación funcional , los dos tipos de exponenciación generalmente se distinguen colocando el exponente de la iteración funcional antes de los paréntesis que encierran los argumentos de la función, y colocando el exponente de la multiplicación puntual después de los paréntesis. Por lo tanto , cuando no se utiliza la notación funcional, la desambiguación a menudo se realiza colocando el símbolo de composición antes del exponente; por ejemplo y Por razones históricas, el exponente de una multiplicación repetida se coloca antes del argumento de algunas funciones específicas, normalmente las funciones trigonométricas . Entonces, tanto significa como no , lo cual, en cualquier caso, rara vez se considera. Históricamente, diferentes autores utilizaron varias variantes de estas notaciones. ^{[40] [41] [42]} ${\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),}$ ${\displaystyle f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).}$ ${\displaystyle f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,}$ ${\displaystyle f^{3}=f\cdot f\cdot f.}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$ ${\displaystyle \sin(\sin(x)),}$

En este contexto, el exponente denota siempre la función inversa , si existe. Entonces, para las fracciones inversas multiplicativas se usan generalmente como en ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.}$ ${\displaystyle 1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.}$

En lenguajes de programación

Los lenguajes de programación generalmente expresan la exponenciación como un operador infijo o como una aplicación de función, ya que no admiten superíndices. El símbolo de operador más común para la exponenciación es el signo de intercalación ( ^). La versión original de ASCII incluía un símbolo de flecha hacia arriba ( ↑), destinado a la exponenciación, pero fue reemplazado por el símbolo de intercalación en 1967, por lo que el símbolo de intercalación se volvió habitual en los lenguajes de programación. ^[43] Las notaciones incluyen:

• x ^ y: AWK , BASIC , J , MATLAB , Wolfram Language ( Mathematica ), R , Microsoft Excel , Analytica , TeX (y sus derivados), TI-BASIC , bc (para exponentes enteros), Haskell (para exponentes enteros no negativos), Lua , y la mayoría de los sistemas de álgebra informática .
• x ** y. El conjunto de caracteres Fortran no incluía caracteres en minúsculas ni símbolos de puntuación distintos de +-*/()&=.,'los utilizados **para la exponenciación ^{[44] [45]} (la versión inicial se utilizó a xx ben su lugar. ^[46] ). Muchos otros lenguajes siguieron su ejemplo: Ada , Z shell , KornShell , Bash , COBOL , CoffeeScript , Fortran , FoxPro , Gnuplot , Groovy , JavaScript , OCaml , F# , Perl , PHP , PL/I , Python , Rexx , Ruby , SAS , Seed7 . , Tcl , ABAP , Mercury , Haskell (para exponentes de punto flotante), Turing y VHDL .
• x ↑ y: Lenguaje de referencia Algol , Commodore BASIC , TRS-80 Nivel II/III BASIC . ^{[47] [48]}
• x ^^ y: Haskell (para base fraccionaria, exponentes enteros), D .
• x⋆y: APL .

En la mayoría de los lenguajes de programación con un operador de exponenciación infija, es asociativo derecho , es decir, a^b^cse interpreta como a^(b^c). ^[49] Esto se debe a que (a^b)^ces igual a^(b*c)y, por lo tanto, no tan útil. En algunos idiomas, es asociativo por izquierda, especialmente en Algol , Matlab y el lenguaje de fórmulas de Microsoft Excel .

Otros lenguajes de programación utilizan notación funcional:

• (expt x y): Ceceo común .
• pown x y: F# (para base entera, exponente entero).

Otros solo proporcionan exponenciación como parte de bibliotecas estándar :

• pow(x, y): C , C++ (en mathla biblioteca).
• Math.Pow(x, y): C# .
• math:pow(X, Y): Erlang .
• Math.pow(x, y): Java .
• [Math]::Pow(x, y): Potencia Shell .

En algunos lenguajes de tipo estático que priorizan la seguridad de tipos, como Rust , la exponenciación se realiza mediante una multitud de métodos:

• x.pow(y)para xy ycomo números enteros
• x.powf(y)para xy ycomo números de punto flotante
• x.powi(y)para xcomo flotante y ycomo entero

Ver también

• Portal de matemáticas

• Función exponencial doble
• Decrecimiento exponencial
• Campo exponencial
• Crecimiento exponencial
• Hiperoperación
• Lista de temas exponenciales
• exponenciación modular
• Notación cientifica
• Tetración
• Subíndices y superíndices Unicode
• x ^y = y ^x
• Cero elevado a cero

Notas

1. Hay tres notaciones comunes para la multiplicación : se usa más comúnmente para números explícitos y en un nivel muy elemental; es más común cuando se utilizan variables ; se utiliza para enfatizar que se habla de multiplicación o cuando omitir el signo de multiplicación sería confuso. ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x\cdot y}$
2. De manera más general, la asociatividad de poder es suficiente para la definición.

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