En geometría , un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números , o coordenadas , para determinar de forma única la posición de los puntos u otros elementos geométricos en una variedad como el espacio euclidiano . [1] [2] El orden de las coordenadas es significativo y, a veces, se identifican por su posición en una tupla ordenada y, a veces, por una letra, como en "la coordenada x ". Las coordenadas se consideran números reales en matemáticas elementales , pero pueden ser números complejos o elementos de un sistema más abstracto, como un anillo conmutativo . El uso de un sistema de coordenadas permite traducir problemas de geometría en problemas sobre números y viceversa ; ésta es la base de la geometría analítica . [3]
El ejemplo más simple de sistema de coordenadas es la identificación de puntos en una recta con números reales usando la recta numérica . En este sistema, se elige un punto arbitrario O (el origen ) en una línea dada. La coordenada de un punto P se define como la distancia con signo de O a P , donde la distancia con signo es la distancia tomada como positiva o negativa dependiendo de en qué lado de la línea se encuentre P. A cada punto se le asigna una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único. [4]
El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesiano . En el plano , se eligen dos rectas perpendiculares y las coordenadas de un punto se toman como las distancias con signo a las rectas. [5] En tres dimensiones, se eligen tres planos mutuamente ortogonales y las tres coordenadas de un punto son las distancias con signo a cada uno de los planos. [6] Esto se puede generalizar para crear n coordenadas para cualquier punto en el espacio euclidiano de n dimensiones.
Dependiendo de la dirección y el orden de los ejes de coordenadas, el sistema tridimensional puede ser un sistema diestro o zurdo.
Otro sistema de coordenadas común para el avión es el sistema de coordenadas polares . [7] Se elige un punto como polo y un rayo procedente de este punto se toma como eje polar . Para un ángulo dado θ , hay una sola línea que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es θ (medido en sentido antihorario desde el eje hasta la línea). Entonces hay un punto único en esta línea cuya distancia con signo desde el origen es r para el número r dado . Para un par de coordenadas dado ( r , θ ) hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) y (− r , θ + π ) son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por (0, θ ) para cualquier valor de θ .
Existen dos métodos comunes para extender el sistema de coordenadas polares a tres dimensiones. En el sistema de coordenadas cilíndrico , una coordenada z con el mismo significado que en las coordenadas cartesianas se agrega a las coordenadas polares r y θ , dando un triple ( r , θ , z ). [8] Las coordenadas esféricas llevan esto un paso más allá al convertir el par de coordenadas cilíndricas ( r , z ) en coordenadas polares ( ρ , φ ) dando un triple ( ρ , θ , φ ). [9]
Un punto en el plano se puede representar en coordenadas homogéneas mediante una tripleta ( x , y , z ) donde x / z e y / z son las coordenadas cartesianas del punto. [10] Esto introduce una coordenada "extra" ya que solo se necesitan dos para especificar un punto en el plano, pero este sistema es útil porque representa cualquier punto en el plano proyectivo sin el uso del infinito . En general, un sistema de coordenadas homogéneo es aquel en el que sólo las proporciones de las coordenadas son significativas y no los valores reales.
Algunos otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:
Hay formas de describir curvas sin coordenadas, utilizando ecuaciones intrínsecas que utilizan cantidades invariantes como la curvatura y la longitud del arco . Éstas incluyen:
Los sistemas de coordenadas se utilizan a menudo para especificar la posición de un punto, pero también se pueden utilizar para especificar la posición de figuras más complejas como líneas, planos, círculos o esferas . Por ejemplo, las coordenadas de Plücker se utilizan para determinar la posición de una línea en el espacio. [11] Cuando es necesario, el tipo de figura que se describe se utiliza para distinguir el tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo el término coordenadas de línea se utiliza para cualquier sistema de coordenadas que especifica la posición de una línea.
Puede ocurrir que sistemas de coordenadas para dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en cuanto a su análisis. Un ejemplo de esto son los sistemas de coordenadas homogéneas para puntos y rectas en el plano proyectivo. En un caso como éste se dice que los dos sistemas son dualistas . Los sistemas dualistas tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden trasladarse al otro, ya que estos resultados son sólo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; esto se conoce como el principio de dualidad . [12]
A menudo existen muchos sistemas de coordenadas posibles diferentes para describir figuras geométricas. La relación entre diferentes sistemas se describe mediante transformaciones de coordenadas , que dan fórmulas para las coordenadas de un sistema en términos de las coordenadas de otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas ( x , y ) y las coordenadas polares ( r , θ ) tienen el mismo origen y el eje polar es el eje x positivo , entonces la transformación de coordenadas de coordenadas polares a cartesianas viene dada por x = r cos θ y y = r sen θ .
A cada biyección del espacio hacia sí mismo se le pueden asociar dos transformaciones de coordenadas:
Por ejemplo, en 1D , si el mapeo es una traslación de 3 hacia la derecha, el primero mueve el origen de 0 a 3, de modo que la coordenada de cada punto se vuelve 3 menos, mientras que el segundo mueve el origen de 0 a −3. , de modo que la coordenada de cada punto sea 3 más.
Dado un sistema de coordenadas, si una de las coordenadas de un punto varía mientras las otras se mantienen constantes, entonces la curva resultante se llama curva de coordenadas . Si una curva de coordenadas es una línea recta , se llama línea de coordenadas . Un sistema de coordenadas para el cual algunas curvas de coordenadas no son líneas se llama sistema de coordenadas curvilíneo . [13]
Una línea de coordenadas con todas las coordenadas constantes iguales a cero se llama eje de coordenadas .
En un sistema de coordenadas cartesiano , todas las curvas de coordenadas son rectas y, por tanto, existen tantos ejes de coordenadas como coordenadas. Además, los ejes de coordenadas son ortogonales por pares .
Un sistema de coordenadas polares es un sistema curvilíneo donde las curvas de coordenadas son líneas o círculos . Sin embargo, una de las curvas de coordenadas se reduce a un solo punto, el origen, que a menudo se ve como un círculo de radio cero. De manera similar, los sistemas de coordenadas esféricos y cilíndricos tienen curvas de coordenadas que son líneas, círculos o círculos de radio cero.
Muchas curvas pueden ocurrir como curvas de coordenadas. Por ejemplo, las curvas de coordenadas de coordenadas parabólicas son parábolas .
En el espacio tridimensional, si una coordenada se mantiene constante y se permite que las otras dos varíen, entonces la superficie resultante se llama superficie de coordenadas . Por ejemplo, las superficies de coordenadas obtenidas manteniendo constante ρ en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional, la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesiano podemos hablar de planos de coordenadas .
De manera similar, las hipersuperficies de coordenadas son los espacios ( n − 1 ) -dimensionales resultantes de fijar una única coordenada de un n -sistema de coordenadas dimensional. [14]
El concepto de mapa de coordenadas o gráfico de coordenadas es fundamental para la teoría de las variedades. Un mapa de coordenadas es esencialmente un sistema de coordenadas para un subconjunto de un espacio dado con la propiedad de que cada punto tiene exactamente un conjunto de coordenadas. Más precisamente, un mapa de coordenadas es un homeomorfismo de un subconjunto abierto de un espacio X a un subconjunto abierto de R n . [15] A menudo no es posible proporcionar un sistema de coordenadas consistente para todo un espacio. En este caso, se reúne una colección de mapas de coordenadas para formar un atlas que cubre el espacio. Un espacio equipado con un atlas de este tipo se llama variedad y se puede definir una estructura adicional en una variedad si la estructura es consistente donde se superponen los mapas de coordenadas. Por ejemplo, una variedad diferenciable es una variedad donde el cambio de coordenadas de un mapa de coordenadas a otro es siempre una función diferenciable.
En geometría y cinemática , los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición (lineal) de puntos y la posición angular de ejes, planos y cuerpos rígidos . [16] En el último caso, la orientación de un segundo sistema de coordenadas (normalmente denominado "local"), fijado al nodo, se define en función del primer sistema de coordenadas (normalmente denominado "global" o "mundial"). ). Por ejemplo, la orientación de un cuerpo rígido se puede representar mediante una matriz de orientación , que incluye, en sus tres columnas, las coordenadas cartesianas de tres puntos. Estos puntos se utilizan para definir la orientación de los ejes del sistema local; son las puntas de tres vectores unitarios alineados con esos ejes.
La Tierra en su conjunto es uno de los espacios geométricos más comunes que requieren una medición precisa de la ubicación y, por tanto, de los sistemas de coordenadas. A partir de los griegos del período helenístico , se han desarrollado una variedad de sistemas de coordenadas basados en los tipos anteriores, entre ellos:
