Rotación de ejes en dos dimensiones

Transformación de coordenadas a través de un ángulo

Un sistema de coordenadas cartesianas xy rotado a través de un ángulo con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas x′y′ ${\displaystyle \theta }$

En matemáticas , una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de un sistema de coordenadas cartesianas xy a un sistema de coordenadas cartesianas x′y′ en el que el origen se mantiene fijo y los ejes x′ e y′ se obtienen rotando los ejes x e y en sentido antihorario a través de un ángulo . Un punto P tiene coordenadas ( x , y ) con respecto al sistema original y coordenadas ( x′ , y′ ) con respecto al nuevo sistema. ^[1] En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido rotado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj a través del ángulo . Una rotación de ejes en más de dos dimensiones se define de manera similar. ^{[2] [3]} Una rotación de ejes es una aplicación lineal ^{[4] [5]} y una transformación rígida . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Motivación

Los sistemas de coordenadas son esenciales para estudiar las ecuaciones de curvas utilizando los métodos de geometría analítica . Para utilizar el método de geometría de coordenadas, los ejes se colocan en una posición conveniente con respecto a la curva en consideración. Por ejemplo, para estudiar las ecuaciones de elipses e hipérbolas , los focos suelen estar ubicados en uno de los ejes y están situados simétricamente con respecto al origen. Si la curva (hipérbola, parábola , elipse, etc.) no está situada convenientemente con respecto a los ejes, el sistema de coordenadas debe cambiarse para colocar la curva en una ubicación y orientación convenientes y familiares. El proceso de realizar este cambio se llama transformación de coordenadas . ^[6]

Las soluciones de muchos problemas se pueden simplificar rotando los ejes de coordenadas para obtener nuevos ejes que pasen por el mismo origen.

Derivación

Las ecuaciones que definen la transformación en dos dimensiones, que gira los ejes xy en sentido antihorario a través de un ángulo hacia los ejes x′y′ , se derivan de la siguiente manera. ${\displaystyle \theta }$

En el sistema xy , sea el punto P de coordenadas polares . Entonces, en el sistema x′y′ , P tendrá coordenadas polares . ${\displaystyle (r,\alpha )}$ ${\displaystyle (r,\alpha -\theta )}$

Usando funciones trigonométricas , tenemos

y usando las fórmulas trigonométricas estándar para diferencias, tenemos

Sustituyendo las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) en las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ), obtenemos ^[7]

Las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) se pueden representar en forma matricial como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

que es la ecuación matricial estándar de una rotación de ejes en dos dimensiones. ^[8]

La transformación inversa es ^[9]

o $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}$$

Ejemplos en dos dimensiones

Ejemplo 1

Encuentra las coordenadas del punto después de que los ejes se hayan rotado a través del ángulo , o 30°. ${\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)}$ ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$

Solución: $${\displaystyle x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2}$$ $${\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.}$$

Los ejes se han rotado en sentido antihorario a través de un ángulo de y las nuevas coordenadas son . Nótese que el punto parece haber sido rotado en sentido horario a través de con respecto a los ejes fijos, por lo que ahora coincide con el (nuevo) eje x′ . ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$ ${\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$ ${\displaystyle \pi /6}$

Ejemplo 2

Encuentra las coordenadas del punto después de que los ejes se hayan girado 90° en el sentido de las agujas del reloj, es decir, a través del ángulo , o −90°. ${\displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}$ ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$

Solución: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.}$$

Los ejes se han rotado en un ángulo de , que es en el sentido de las agujas del reloj, y las nuevas coordenadas son . Nuevamente, observe que el punto parece haber sido rotado en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a los ejes fijos. ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$ ${\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Rotación de secciones cónicas

La ecuación más general de segundo grado tiene la forma

Mediante un cambio de coordenadas (una rotación de ejes y una traslación de ejes ), la ecuación ( 9 ) puede ponerse en una forma estándar , que suele ser más fácil de trabajar. Siempre es posible rotar las coordenadas en un ángulo específico para eliminar el término x′y′ . Sustituyendo las ecuaciones ( 7 ) y ( 8 ) en la ecuación ( 9 ), obtenemos

dónde

Si se selecciona de manera que tengamos y el término x′y′ en la ecuación ( 10 ) desaparecerá. ^[11] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$ ${\displaystyle B'=0}$

Cuando surge un problema con B , D y E todos diferentes de cero, se pueden eliminar realizando sucesivamente una rotación (eliminando B ) y una traslación (eliminando los términos D y E ). ^[12]

Identificación de secciones cónicas rotadas

Una sección cónica no degenerada dada por la ecuación ( 9 ) se puede identificar evaluando . La sección cónica es: ^[13] ${\displaystyle B^{2}-4AC}$

• una elipse o un círculo, si ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
• una parábola, si ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• una hipérbola, si . ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$

Generalización a varias dimensiones

Supongamos que un sistema de coordenadas xyz rectangular se gira alrededor de su eje z en sentido antihorario (mirando hacia abajo el eje z positivo) a través de un ángulo , es decir, el eje x positivo se gira inmediatamente hacia el eje y positivo . La coordenada z de cada punto no cambia y las coordenadas x e y se transforman como se indicó anteriormente. Las coordenadas antiguas ( x , y , z ) de un punto Q están relacionadas con sus nuevas coordenadas ( x′ , y′ , z′ ) por ^[14] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

Generalizando a cualquier número finito de dimensiones, una matriz de rotación es una matriz ortogonal que difiere de la matriz identidad en, como máximo, cuatro elementos. Estos cuatro elementos tienen la forma ${\displaystyle A}$

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$     y     ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

para algunos y algunos i ≠ j . ^[15] ${\displaystyle \theta }$

Ejemplo en varias dimensiones

Ejemplo 3

Encuentra las coordenadas del punto después de que el eje w positivo se haya rotado a través del ángulo , o 15°, en el eje z positivo. ${\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$ ${\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}$

Solución: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Rotación
• Rotación (matemáticas)

Notas

1. Protter y Morrey (1970, pág.320)
2. Antón (1987, pág. 231)
3. Carga y ferias (1993, pág. 532)
4. Antón (1987, pág. 247)
5. Beauregard y Fraleigh (1973, pág.266)
6. Protter y Morrey (1970, págs. 314-315)
7. Protter y Morrey (1970, págs. 320–321)
8. Antón (1987, pág. 230)
9. Protter y Morrey (1970, pág.320)
10. Protter y Morrey (1970, pág.316)
11. Protter y Morrey (1970, págs. 321–322)
12. Protter y Morrey (1970, pág.324)
13. Protter y Morrey (1970, pág.326)
14. Antón (1987, pág. 231)
15. Carga y ferias (1993, pág. 532)

Referencias

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5.ª ed.), Boston: Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042