Elipse

Curva plana: sección cónica

Una elipse (roja) obtenida como la intersección de un cono con un plano inclinado.

Elipse: notaciones

Elipses: ejemplos con excentricidad creciente

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. El alargamiento de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e=1}$

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero solo aproximaciones para su perímetro (también conocido como circunferencia ), para lo cual se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es: ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2b}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es: ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (\pm c,0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, parábolas e hipérbolas , las cuales son abiertas y ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro circular recto también es una elipse.

Una elipse también se puede definir en términos de un punto focal y una línea fuera de la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad antes mencionada:

$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo ocurre con las lunas que orbitan alrededor de planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas suelen estar bien descritas mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple que se forma cuando los movimientos horizontal y vertical son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perga en sus Cónicas .

Definición como lugar geométrico de puntos.

Elipse: definición por suma de distancias a focos

Elipse: definición por foco y directriz circular

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a : ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ ${\displaystyle 2a}$

$${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio del segmento de recta que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a él que pasa por el centro es el eje menor . ${\displaystyle C}$El eje mayor cruza la elipse en dos vértices , que están a distancia del centro. La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad . ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse. ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura): ${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

Si el círculo tiene centro y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco : ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}$$

${\displaystyle c_{2}}$se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. ^{[1] [2]} Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse utilizando una línea directriz a continuación. ${\displaystyle F_{2}}$

Usando esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

En coordenadas cartesianas

Parámetros de forma:

• a : semieje mayor,
• b : semieje menor,
• c : excentricidad lineal,
• p : recto semilato (normalmente ). ${\displaystyle \ell }$

Ecuación estándar

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

• los focos son los puntos , ${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$
• los vértices son . ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$

Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por tanto el punto está en la elipse siempre que: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$

$${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Eliminando los radicales mediante elevaciones al cuadrado adecuadas y usando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: ^[3] ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$

y

$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Los parámetros de ancho y alto se denominan semieje mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los co-vértices . Las distancias desde un punto de la elipse a los focos izquierdo y derecho son y . ${\displaystyle a,\;b}$ ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle a+ex}$ ${\displaystyle a-ex}$

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.

Parámetros

Ejes principales

A lo largo de este artículo, los ejes semimayor y semimenor se denotan y , respectivamente, es decir ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

En principio, la ecuación canónica de la elipse puede tenerlo (y por tanto la elipse sería más alta que ancha). Este formulario se puede convertir al formulario estándar transponiendo los nombres de las variables y los nombres de los parámetros y ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

excentricidad lineal

Esta es la distancia del centro a un foco: . ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Excentricidad

La excentricidad se puede expresar como:

$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo. ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle a=b}$

Recto semilato

La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se denomina latus rectum . La mitad es el recto semilatus . Un cálculo muestra: ^[4] ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

El recto semi-latus es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura). ${\displaystyle \ell }$

Tangente

Una recta arbitraria corta a una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente recta exterior , tangente y secante . Por cualquier punto de una elipse pasa una tangente única. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Una ecuación vectorial paramétrica de la tangente es:

$${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Prueba: Sea un punto en una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la línea en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene: ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Entonces la recta y la elipse sólo tienen un punto en común y son tangentes. La dirección tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene una ecuación para algunos . Como está en la tangente y la elipse, se obtiene . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Entonces la recta tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante. ${\displaystyle g}$

Usando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que demuestra la ecuación vectorial. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal"). ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$ ${\displaystyle a=b}$

elipse desplazada

Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$

$${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y.

elipse general

Una elipse general en el plano se puede describir únicamente como una ecuación cuadrática bivariada de coordenadas cartesianas, o utilizando los ejes central, semimayor y semimenor, y el ángulo.

En geometría analítica , la elipse se define como una cuádrica : el conjunto de puntos del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita ^{[5] [6]} ${\displaystyle (x,\,y)}$

$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$

${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea ∆ el determinante

$${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[7] : 63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir del semieje mayor , el semieje menor , las coordenadas centrales y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica.

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

${\displaystyle (X,\,Y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, los parámetros de la forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de la forma general mediante las ecuaciones: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.

Representación paramétrica

La construcción de puntos a partir de la ecuación paramétrica y la interpretación del parámetro t , que se debe a de la Hire.

Puntos de elipse calculados por la representación racional con parámetros equiespaciados ( ). ${\displaystyle \Delta u=0.2}$

Representación paramétrica estándar

Usando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar es: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , pero tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses a continuación). ^[8] ${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Representación racional

Con las fórmulas de sustitución y trigonométricas se obtiene ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$

$${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

y la ecuación paramétrica racional de una elipse

$${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (-a,\,0)}$

Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse moviéndose en sentido antihorario al aumentar. El vértice izquierdo es el límite. ${\displaystyle u\in [0,\,1],}$ ${\displaystyle u.}$ ${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

Alternativamente, si el parámetro se considera un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es ${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$

$${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Entonces ${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan comúnmente en el diseño asistido por computadora (ver curva de Bézier ).

Pendiente tangente como parámetro

Se puede obtener una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, a partir de la derivada de la representación estándar : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$

$${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene:

$${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Reemplazando y de la representación estándar se obtiene: ${\displaystyle \cos t}$ ${\displaystyle \sin t}$

$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Aquí está la pendiente de la tangente en el punto de la elipse correspondiente, es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices , al tener tangentes verticales, no están cubiertos por la representación. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . Lo aún desconocido se puede determinar insertando las coordenadas del punto de elipse correspondiente : ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ ${\displaystyle y=mx+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$

$${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo de ortóptica contiene otra prueba, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

elipse general

Elipse como imagen afín del círculo unitario

Otra definición de elipse utiliza transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , se asigna a la elipse: ${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Aquí está el centro y están las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Si , entonces .) Esto se deriva de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es: ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$

$${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, entonces: ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Expandiendo y aplicando las identidades se obtiene la ecuación para ${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$ ${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Área

Del teorema de Apolonio (ver más abajo) se obtiene:
El área de una elipse es ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$

$${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Semiejes

Con las abreviaturas los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como: ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$

${\displaystyle a,b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica por la regla de Cramer y usando , se obtiene la representación implícita ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$ ${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$

$${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Por el contrario: si la ecuación

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$con ${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores

$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$

$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Giros: elipses anidadas, escaladas y rotadas. La espiral no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde las elipses están especialmente cerca unas de otras.

Elipse estándar girada

Se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar girada por un ángulo : ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que sean vectores en el espacio. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Formas polares

Forma polar relativa al centro.

Coordenadas polares centradas en el centro.

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[7] : 75} ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$

${\displaystyle e}$

Forma polar relativa al foco.

Coordenadas polares centradas en el foco.

Si en cambio usamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular aún medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ${\displaystyle \theta =0}$

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha) y positivo si esa dirección apunta en dirección opuesta al centro. ${\displaystyle \theta =0}$

En el caso ligeramente más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos(\theta -\phi )}}.}$$

El ángulo en estas fórmulas se llama verdadera anomalía del punto. El numerador de estas fórmulas es el recto semilatus . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Excentricidad y propiedad de la directriz.

Elipse: propiedad de la directriz

Cada una de las dos líneas paralelas al eje menor, y a una distancia de él, se llama directriz de la elipse (ver diagrama). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad: ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$

$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

El segundo caso se demuestra de manera análoga.

Lo contrario también es cierto y puede usarse para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier línea (directriz) que no pasa por y cualquier número real con elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la línea es, es decir: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 0<e<1,}$ ${\displaystyle e,}$

$${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo . ${\displaystyle e=0}$

(La elección produce una parábola y, si , una hipérbola). ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Lápiz de cónicas con vértice común y recto semilato común.

Prueba

Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones ${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,\,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y ${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución produce ${\displaystyle p=f(1+e)}$

$${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Esta es la ecuación de una elipse ( ), una parábola ( ) o una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama). ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Si , introduce nuevos parámetros para que , entonces la ecuación anterior se convierta en ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$

$${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

que es la ecuación de una elipse con centro , el eje x como eje mayor y el semieje mayor/menor . ${\displaystyle (a,\,0)}$ ${\displaystyle a,\,b}$

Construcción de una directriz.

Construcción de una directriz.

Porque el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde). Por lo tanto se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

elipse general

Si el foco es y la directriz se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$ ${\displaystyle ux+vy+w=0}$

$${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(El lado derecho de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\displaystyle |Pl|}$

Propiedad de reflexión de foco a foco

Elipse: la tangente biseca el ángulo suplementario del ángulo entre las líneas a los focos.

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse y pasan a través del otro foco.

Una elipse posee la siguiente propiedad:

La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Prueba

Debido a que la recta tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las rectas a los focos (ver diagrama). Sea el punto de la recta a distancia del foco , donde está el semieje mayor de la elipse. Sea la recta la bisectriz del ángulo externo de las rectas y tome cualquier otro punto . Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo cruza la elipse en un único punto, también debe serlo la línea tangente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w.}$ ${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$

Solicitud

Los rayos de un foco son reflejados por la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad reflectante de una parábola (ver galería de susurros ).

Diámetros conjugados

Definición de diámetros conjugados

Diámetros ortogonales de un círculo con un cuadrado de tangentes, puntos medios de cuerdas paralelas y una imagen afín, que es una elipse con diámetros conjugados, un paralelogramo de tangentes y puntos medios de cuerdas.

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.

Una transformación afín preserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es cierta para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de cuerdas paralelas se encuentran sobre ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}\ .}$

Del diagrama se encuentra:

Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a . ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada arriba,

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

cualquier par de puntos pertenece a un diámetro y el par pertenece a su diámetro conjugado. ${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(signos: (+,+) o (-,-) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(signos: (-,+) o (+,-) )

son conjugados y

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

En el caso de un círculo, la última ecuación se colapsa a ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Teorema de Apollonios sobre diámetros conjugados

Teorema de Apolonio

Para la fórmula del área alternativa

Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: ^{[9] [10]} ${\displaystyle a,\,b}$

Sea y la mitad de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. El triángulo con lados (ver diagrama) tiene el área constante , que también puede expresarse por . es la altitud del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (consulte la sección Propiedades métricas) se puede escribir como . ${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ ${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la ${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica.

$${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). De fórmulas trigonométricas se obtiene y ${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$

$${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

El área del triángulo generado por es ${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$

$${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

y en el diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces mayor que la de . Por eso ${\displaystyle A_{\Delta }}$

$${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$

Tangentes ortogonales

Elipse con su ortóptica.

Para la elipse, los puntos de intersección de tangentes ortogonales se encuentran en el círculo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Este círculo se llama círculo ortóptico o director de la elipse (no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).

Dibujar elipses

Proyección central de círculos (puerta)

Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin ordenador. El principio de los elipsógrafos era conocido por matemáticos griegos como Arquímedes y Proklos .

Si no hay un elipsógrafo disponible, se puede dibujar una elipse utilizando una aproximación de los cuatro círculos osculadores en los vértices.

Para cualquier método descrito a continuación, es necesario el conocimiento de los ejes y los semiejes (o equivalentemente: los focos y los semiejes mayores). Si no se cumple esta presunción es necesario conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz se pueden recuperar las hachas y las semiejes.

Construcción del punto de La Hire

La siguiente construcción de puntos únicos de una elipse se debe a de La Hire . ^[11] Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse: ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$

1. Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con radios y los ejes de la elipse. ${\displaystyle a,b}$
2. Dibuja una línea que pase por el centro , que interseca los dos círculos en el punto y , respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Dibuja una línea que sea paralela al eje menor y una línea que sea paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de elipse (ver diagrama). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
4. Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas en el centro.

• 
  El método de La Hire.
• 
  Animación del método.

Elipse: método del jardinero

Método de alfileres y cuerdas

La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método de dibujar una utilizando dos chinchetas , un trozo de cuerda y un lápiz. En este método, se introducen alfileres en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a los dos alfileres; su longitud después de atar es . Luego, la punta del lápiz traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Utilizando dos clavijas y una cuerda, los jardineros utilizan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico; por eso se le llama elipse del jardinero . ${\displaystyle 2a}$

Un método similar para dibujar elipses confocales con una cuerda cerrada se debe al obispo irlandés Charles Graves .

Métodos de tiras de papel

Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (consulte § Representación paramétrica estándar , más arriba):

$${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$$

Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos es necesario conocer el centro, los ejes y semiejes . ${\displaystyle a,\,b}$

Método 1

El primer método comienza con

una tira de papel de largo . ${\displaystyle a+b}$

El punto donde se unen los semiejes está marcado por . Si la tira se desliza con ambos extremos sobre los ejes de la elipse deseada, entonces el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Una pareja Tusi puede realizar una realización técnica del movimiento de la tira de papel (ver animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de tiras de papel. ${\displaystyle a+b}$

• 
  Construcción de elipse: método 1 con tiras de papel
• 
  Elipses con pareja Tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.

Una variación del método 1 de la tira de papel utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con centro (de la elipse) y radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en dos mitades , unirlas nuevamente mediante una junta y fijar el extremo deslizante en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad sin cambios de la tira de papel no cambia. ^[12] Esta variación requiere solo un zapato deslizante. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

• 
  Variación del método de la tira de papel 1.
• 
  Animación de la variación del método 1 de la tira de papel.

Construcción de elipse: método 2 con tiras de papel

Método 2

El segundo método comienza con

una tira de papel de largo . ${\displaystyle a}$

Se marca el punto que divide la franja en dos subfranjas de longitud y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras se mueve la tira. Para la prueba, se reconoce que el punto de calco se puede describir paramétricamente mediante , donde parámetro es el ángulo de inclinación de la tira de papel. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Este método es la base de varios elipsógrafos (consulte la sección siguiente).

De manera similar a la variación del método 1 de tiras de papel, se puede establecer una variación del método 2 de tiras de papel (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.

• 
  Trasmallo de Arquímedes (principio)
• 
  Elipsógrafo debido a Benjamin Bramer
• 
  Variación del método de la tira de papel 2.

La mayoría de los instrumentos de dibujo de elipsógrafos se basan en el método de la segunda tira de papel.

Aproximación de una elipse con círculos osculadores.

Aproximación por círculos osculadores

De las propiedades métricas siguientes, se obtiene:

• El radio de curvatura en los vértices es: ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$
• El radio de curvatura en los co-vértices es: ${\displaystyle V_{3},\,V_{4}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}$

El diagrama muestra una manera fácil de encontrar los centros de curvatura en el vértice y el co-vértice , respectivamente: ${\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{3}}$

1. marcar el punto auxiliar y dibujar el segmento de recta ${\displaystyle H=(a,\,b)}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
2. trazar la recta que pasa por , que es perpendicular a la recta ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
3. los puntos de intersección de esta línea con los ejes son los centros de los círculos osculadores.

(prueba: cálculo simple).

Los centros de los vértices restantes se encuentran por simetría.

Con la ayuda de una curva francesa se dibuja una curva que tiene un contacto suave con los círculos osculadores .

generación steiner

Elipse: generación Steiner

Elipse: generación Steiner

El siguiente método para construir puntos únicos de una elipse se basa en la generación Steiner de una sección cónica :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ${\displaystyle B(U),\,B(V)}$ ${\displaystyle U,\,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Para la generación de puntos de la elipse se utilizan los lápices en los vértices . Sea un co-vértice superior de la elipse y . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle P=(0,\,b)}$ ${\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}$

${\displaystyle P}$es el centro del rectángulo . El lado del rectángulo se divide en n segmentos de línea espaciados iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea y se asigna la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con el reverso de la orientación es parte del mapeo proyectivo entre los lápices en y necesario. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas son puntos de la elipse definida de forma única. Con ayuda de los puntos se pueden determinar los puntos del segundo cuarto de la elipse. De manera análoga se obtienen los puntos de la mitad inferior de la elipse. ${\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AV_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}B_{i}}$ ${\displaystyle V_{2}A_{i}}$ ${\displaystyle C_{1},\,\dotsc }$

La generación Steiner también se puede definir para hipérbolas y parábolas. A veces se le llama método del paralelogramo porque se pueden usar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

Como hipotrocoide

Una elipse (en rojo) como caso especial del hipotrocoide con  R  = 2 r

La elipse es un caso especial del hipotrocoide cuando , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo en movimiento con radio dentro de un círculo con radio se llama pareja Tusi . ${\displaystyle R=2r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R=2r}$

Ángulos inscritos y forma de tres puntos.

circulos

Círculo: teorema del ángulo inscrito

Un círculo con ecuación está determinado únicamente por tres puntos que no están en una línea. Una forma sencilla de determinar los parámetros utiliza el teorema del ángulo inscrito para círculos: ${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}$ ${\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}$

Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es cierta: ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Los cuatro puntos están en un círculo si y sólo si los ángulos en y son iguales. ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

Generalmente se miden los ángulos inscritos en grados o radianes θ , pero aquí es más conveniente la siguiente medida:

Para medir el ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}$

$${\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}$$

Teorema del ángulo inscrito para círculos

Para cuatro puntos, no tres, en una recta, tenemos lo siguiente (ver diagrama): ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Los cuatro puntos están en un círculo, si y sólo si los ángulos en y son iguales. En términos de la medida del ángulo anterior, esto significa: ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Al principio, el compás está disponible sólo para acordes que no son paralelos al eje y, pero la fórmula final funciona para cualquier acorde.

Forma de tres puntos de la ecuación circular

Como consecuencia, se obtiene una ecuación para el círculo determinado por tres puntos no colineales : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Por ejemplo, para la ecuación de tres puntos es: ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$, que se puede reorganizar para ${\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}$

Usando vectores, productos escalares y determinantes , esta fórmula se puede ordenar más claramente, dejando : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}$

$${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}$$

El centro del círculo satisface: ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}$$

El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro.

$${\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}$$

elipses

Esta sección considera la familia de elipses definidas por ecuaciones con una excentricidad fija . Es conveniente utilizar el parámetro: ${\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle e}$

$${\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}$$

y escribir la ecuación de la elipse como:

$${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}$$

donde q es fijo y varía con los números reales. (Tales elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas: si , el eje mayor es paralelo al eje x ; si , es paralelo al eje y .) ${\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle q>1}$

Teorema del ángulo inscrito para una elipse

Al igual que un círculo, una elipse de este tipo está determinada por tres puntos que no están en una línea recta.

Para esta familia de elipses, se introduce la siguiente medida de ángulo q-analógica , que no es función de la medida de ángulo habitual θ : ^{[13] [14]}

Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}$$

Teorema del ángulo inscrito para elipses

Dados cuatro puntos , no hay tres en una línea (ver diagrama). ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}$

Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación si y sólo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medición anterior, es decir, si ${\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Al principio, el compás está disponible sólo para cuerdas que no son paralelas al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier acorde. La prueba se desprende de un cálculo sencillo. Para la dirección de la prueba dado que los puntos están en una elipse, se puede suponer que el centro de la elipse es el origen.

Forma de tres puntos de la ecuación de elipse

Como consecuencia, se obtiene una ecuación para la elipse determinada por tres puntos no colineales : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Por ejemplo, para y se obtiene la forma de tres puntos ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$ ${\displaystyle q=4}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$y después de la conversión ${\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}$

De manera análoga al caso del círculo, la ecuación se puede escribir más claramente usando vectores:

$${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}$$

¿Dónde está el producto escalar modificado? ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}$

Relación polo-polar

Elipse: relación polo-polar

Cualquier elipse se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la elipse es. Si se permite que el punto sea un punto arbitrario diferente del origen, entonces ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$

El punto se asigna a la línea , no a través del centro de la elipse. ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$

Esta relación entre puntos y rectas es una biyección .

Los mapas de función inversa

• línea sobre el punto y ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}$
• línea sobre el punto ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}$

Tal relación entre puntos y líneas generadas por una cónica se llama relación polo-polar o polaridad . El polo es el punto; el polar la línea.

Mediante cálculo se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:

• Para un punto (polo) en la elipse, la polar es la tangente en este punto (ver diagrama: ). ${\displaystyle P_{1},\,p_{1}}$
• Para un polo fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\,p_{2}}$
• Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto en común con la elipse (ver diagrama: ). ${\displaystyle F_{1},\,l_{1}}$

1. El punto de intersección de dos polares es el polo de la recta que pasa por sus polos.
2. Los focos y , respectivamente, y las directrices y , respectivamente, pertenecen a pares de polo y polar. Debido a que son pares polares pares respecto del círculo , las directrices pueden construirse mediante compás y regla (ver Geometría inversiva ). ${\displaystyle (c,\,0)}$ ${\displaystyle (-c,\,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$

También existen relaciones polo-polar para hipérbolas y parábolas.

Propiedades métricas

Todas las propiedades métricas que se indican a continuación se refieren a una elipse con ecuación

excepto en la sección del área encerrada por una elipse inclinada, donde se dará la forma generalizada de la ecuación ( 1 ).

Área

El área encerrada por una elipse es: ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$

donde y son las longitudes de los ejes semimayor y semimenor, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comienza con un círculo de radio (por lo que su área es ) y estíralo en un factor para formar una elipse. Esto escala el área por el mismo factor: ^[15] Sin embargo, usar el mismo enfoque para la circunferencia sería falaz: compare las integrales y . También es fácil probar rigurosamente la fórmula del área mediante la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como Para esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces el doble de la integral sobre el intervalo será el área de la elipse: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$ ${\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in [-a,a],}$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle [-a,a]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$$

La segunda integral es el área de un círculo de radio , es decir, entonces ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \pi a^{2}.}$

$${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$$

Una elipse definida implícitamente por tiene área. ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del semieje mayor como (se obtiene resolviendo el aplanamiento y luego calculando el semieje menor). ${\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}$

El área encerrada por una elipse inclinada es . ${\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}$

Hasta ahora hemos tratado con elipses erectas , cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes y . Sin embargo, algunas aplicaciones requieren elipses inclinadas . En la óptica de haces de partículas cargadas, por ejemplo, el área encerrada de una elipse erecta o inclinada es una propiedad importante del haz, su emitancia . En este caso todavía se aplica una fórmula simple, a saber ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

donde , son interceptos y , son valores máximos. Se deduce directamente del teorema de Apolonio. ${\displaystyle y_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{max}}}$ ${\displaystyle y_{\text{max}}}$

Circunferencia

Elipses con la misma circunferencia

La circunferencia de una elipse es: ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$$

donde nuevamente es la longitud del semieje mayor, es la excentricidad y la función es la integral elíptica completa de segundo tipo , ${\displaystyle a}$ ${\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$

función elemental

La circunferencia de la elipse puede evaluarse utilizando la media aritmético-geométrica de Gauss ; ^[16] este es un método iterativo cuadráticamente convergente (ver aquí para más detalles). ${\displaystyle E(e)}$

La serie infinita exacta es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}$$

factorial dobleJames Ivory ^[17][18] ${\displaystyle n!!}$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n+1)!!/(2n+1)}$ ${\displaystyle n\leq 0}$ ${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{4}}+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\right]\\&=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right].\end{aligned}}}$$

Srinivasa Ramanujan dio dos aproximaciones cercanas a la circunferencia en el §16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a "; ^[19] ellos son ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle C\approx \pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\biggr ]}=\pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}{\biggr ]}}$$

$${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}$$

${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle h^{5},}$

Longitud de arco

De manera más general, la longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido (o las coordenadas x de dos puntos cualesquiera en la mitad superior de la elipse), viene dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por

$${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$$

Entonces la longitud del arco desde hasta es: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \ x_{1}\ }$ ${\displaystyle \ x_{2}\ }$

$${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}$$

Esto es equivalente a

$${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$$

¿Dónde está la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro? ${\displaystyle E(z\mid m)}$ ${\displaystyle m=k^{2}.}$

Algunos límites inferiores y superiores de la circunferencia de la elipse canónica son [ ^20] ${\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }$ ${\displaystyle \ a\geq b\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor. ${\displaystyle \ 2\pi a\ }$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Curvatura

La curvatura viene dada por el radio de curvatura en el punto : ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}$$

Radios de curvatura en los dos vértices y los centros de curvatura: ${\displaystyle (\pm a,0)}$

$${\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}$$

Radio de curvatura en los dos co-vértices y los centros de curvatura: ${\displaystyle (0,\pm b)}$

$${\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}$$

En geometría triangular

Las elipses aparecen en la geometría de un triángulo como

1. Elipse de Steiner : elipse que pasa por los vértices del triángulo con centro en el centroide,
2. inelipses : elipses que tocan los lados de un triángulo. Casos especiales son la inelipse de Steiner y la inelipse de Mandart .

Como secciones planas de cuádricas.

Las elipses aparecen como secciones planas de las siguientes cuádricas :

• elipsoide
• Cono elíptico
• Cilindro elíptico
• Hiperboloide de una hoja.
• Hiperboloide de dos hojas.

• 
  elipsoide
• 
  Cono elíptico
• 
  Cilindro elíptico
• 
  Hiperboloide de una hoja.
• 
  Hiperboloide de dos hojas.

Aplicaciones

Física

Reflectores elípticos y acústica.

Patrón de onda de una pequeña gota caída en mercurio en los focos de la elipse

Si la superficie del agua se perturba en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un solo punto: el segundo foco . Esto es una consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.

De manera similar, si se coloca una fuente de luz en un foco de un espejo elíptico , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan hacia el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene tal propiedad, se puede utilizar como definición alternativa de elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de regreso al centro). Si la elipse se gira a lo largo de su eje mayor para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide alargado ), esta propiedad se cumple. para todos los rayos que salen de la fuente. Alternativamente, se puede utilizar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel; Estos espejos se utilizan en algunos escáneres de documentos .

Las ondas sonoras se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica una persona parada en un foco puede oír notablemente bien a otra persona parada en el otro foco. El efecto es aún más evidente bajo un techo abovedado con forma de sección de un esferoide alargado. Esta habitación se llama cámara de susurros . El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores con la forma de las tapas de los extremos de un esferoide, colocados uno frente al otro a la distancia adecuada. Algunos ejemplos son el Salón Nacional de las Estatuas del Capitolio de los Estados Unidos (donde se dice que John Quincy Adams utilizó esta propiedad para escuchar a escondidas asuntos políticos); el Tabernáculo Mormón en la Manzana del Templo en Salt Lake City , Utah ; en una exposición sobre sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago ; frente al Auditorio Foellinger de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign ; y también en una cámara lateral del Palacio de Carlos V, en la Alhambra .

Órbitas planetarias

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas que siguen los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol [aproximadamente] en un foco, en su primera ley del movimiento planetario . Posteriormente, Isaac Newton explicó esto como corolario de su ley de gravitación universal .

De manera más general, en el problema gravitacional de dos cuerpos , si los dos cuerpos están unidos entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares siendo el baricentro común uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquiera de las elipses no tiene significado físico conocido. La órbita de cada cuerpo en el sistema de referencia del otro también es una elipse, estando el otro cuerpo en el mismo foco.

Las órbitas elípticas keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Así, en principio, el movimiento de dos partículas con cargas opuestas en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos , que se vuelven significativos cuando las partículas se mueven a alta velocidad).

Para órbitas elípticas , las relaciones útiles que involucran la excentricidad son: ${\displaystyle e}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle r_{a}}$es el radio en la apoapsis (la distancia más lejana)
• ${\displaystyle r_{p}}$es el radio en el periapsis (la distancia más cercana)
• ${\displaystyle a}$es la longitud del semieje mayor

Además, en términos de y , el semieje mayor es su media aritmética , el semieje menor es su media geométrica y el semilatus recto es su media armónica . En otras palabras, ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}$$

Osciladores armónicos

La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones es también una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que puede moverse libremente en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo mediante un resorte perfectamente elástico ; o de cualquier objeto que se mueve bajo la influencia de una fuerza de atracción que es directamente proporcional a su distancia a un atractor fijo. Sin embargo, a diferencia de las órbitas keplerianas, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.

Visualización de fase

En electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar alimentándolas a las entradas verticales y horizontales de un osciloscopio . Si la figura de Lissajous mostrada es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están desfasadas.

Engranajes elípticos

Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada uno de los cuales gira alrededor de un foco y están colocados en el ángulo adecuado, giran suavemente manteniendo el contacto en todo momento. Alternativamente, pueden estar conectados mediante una cadena de eslabones o una correa de distribución , o en el caso de una bicicleta, el plato principal puede ser elíptico o un ovoide de forma similar a una elipse. Dichos engranajes elípticos se pueden usar en equipos mecánicos para producir velocidad angular variable o par a partir de una rotación constante del eje motriz, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación de manivela variable con una ventaja mecánica que varía inversamente .

Los engranajes de bicicleta elíptica facilitan que la cadena se deslice fuera del piñón al cambiar de marcha. ^[21]

Un ejemplo de aplicación de engranajes sería un dispositivo que enrolla hilo en una bobina cónica en una máquina de hilar . La bobina deberá enrollarse más rápido cuando el hilo esté cerca del vértice que cuando esté cerca de la base. ^[22]

Óptica

• En un material ópticamente anisotrópico ( birrefringente ), el índice de refracción depende de la dirección de la luz. La dependencia se puede describir mediante un elipsoide de índice . (Si el material es ópticamente isotrópico , este elipsoide es una esfera).
• En los láseres de estado sólido bombeados por lámpara , se han utilizado reflectores elípticos en forma de cilindro para dirigir la luz desde la lámpara de la bomba (coaxial con un eje focal de elipse) a la varilla del medio activo (coaxial con el segundo eje focal). ^[23]
• En las fuentes de luz EUV producidas por plasma láser utilizadas en la litografía con microchips , la luz EUV se genera mediante plasma colocado en el foco primario de un espejo elipsoide y se recoge en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía. ^[24]

Estadística y finanzas

En estadística , un vector aleatorio bivariado se distribuye conjuntamente elípticamente si sus contornos de isodensidad (lugares de valores iguales de la función de densidad) son elipses. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso, en general, los contornos de isodensidad son elipsoides. Un caso especial es la distribución normal multivariada . Las distribuciones elípticas son importantes en finanzas porque si las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen conjuntamente de manera elíptica, entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, dos carteras cualesquiera con media y varianza idénticas de rendimiento de cartera tienen distribuciones idénticas de rentabilidad de cartera. devolver. ^{[25] [26]} ${\displaystyle (X,Y)}$

Gráficos de computadora

Dibujar una elipse como primitiva de gráficos es común en las bibliotecas de visualización estándar, como la API QuickDraw de MacIntosh y Direct2D en Windows. Jack Bresenham de IBM es famoso por la invención de primitivas de dibujo 2D, incluido el dibujo de líneas y círculos, utilizando únicamente operaciones enteras rápidas como la suma y la bifurcación en el bit de acarreo. MLV Pitteway amplió el algoritmo de Bresenham para líneas a cónicas en 1967. ^[27] Jerry Van Aken inventó otra generalización eficiente para dibujar elipses en 1984. ^[28]

En 1970, Danny Cohen presentó en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y demostró que tenían buenas propiedades. ^[29] Estos algoritmos necesitan sólo unas pocas multiplicaciones y sumas para calcular cada vector.

Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos por computadora porque la densidad de puntos es mayor donde hay mayor curvatura. Por tanto, el cambio de pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, lo que reduce la aparente "irregularidad" de la aproximación.

Dibujando con caminos de Bézier

Las curvas de Bézier compuestas también se pueden utilizar para dibujar una elipse con suficiente precisión, ya que cualquier elipse puede interpretarse como una transformación afín de un círculo. Los métodos spline utilizados para dibujar un círculo se pueden utilizar para dibujar una elipse, ya que las curvas de Bézier constituyentes se comportan apropiadamente bajo tales transformaciones.

Teoría de la optimización

A veces resulta útil encontrar la elipse delimitadora mínima en un conjunto de puntos. El método del elipsoide es bastante útil para resolver este problema.

Ver también

• Portal del sistema solar
• Portal de ciencia
• Portal de matemáticas
• Portal de astronomía
• Portal de biografía
• Portal tecnológico

• Óvalo cartesiano , una generalización de la elipse
• Circuncónico e incónico
• Distancia de máxima aproximación de elipses
• Ajuste de elipse
• Coordenadas elípticas , un sistema de coordenadas ortogonales basado en familias de elipses e hipérbolas
• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Distribución elíptica , en estadística.
• Cúpula elíptica
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Gran elipse
• Las leyes del movimiento planetario de Kepler
• n -ellipse , una generalización de la elipse para n focos
• Oval
• Esferoide , el elipsoide que se obtiene al girar una elipse alrededor de su eje mayor o menor.
• Estadio (geometría) , una forma geométrica bidimensional construida a partir de un rectángulo con semicírculos en un par de lados opuestos.
• Circumelipse de Steiner , la elipse única que circunscribe un triángulo y comparte su centroide
• Superelipse , una generalización de una elipse que puede parecer más rectangular o más "puntiaguda".
• Anomalía verdadera , excéntrica y mezquina

Notas

1. Apóstol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), Nuevos horizontes en geometría , The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
2. El término alemán para este círculo es Leitkreis , que puede traducirse como "Círculo de directores", pero ese término tiene un significado diferente en la literatura inglesa (ver Círculo de directores ).
3. "Elipse - de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2020-09-10 . Consultado el 10 de septiembre de 2020 .
4. Protter y Morrey (1970, págs.304, APP-28)
5. Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Falvo, David C. (2006). "Capítulo 10". Precálculo con Límites. Aprendizaje Cengage. pag. 767.ISBN _ 978-0-618-66089-6.
6. Joven, Cynthia Y. (2010). "Capítulo 9". Precálculo. John Wiley e hijos. pag. 831.ISBN _ 978-0-471-75684-2.
7. Lawrence, J. Dennis, Catálogo de curvas planas especiales , Dover Publ., 1972.
8. K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie , GÖTTINGEN, VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, p. 26
9. Bronstein y Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik , Verlag Harri Deutsch, 1979, ISBN 3871444928 , p. 274. 
10. Enciclopedia de Matemáticas , Springer, URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Apollonius_theorem&oldid=17516.
11. K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Vandenhoeck y Ruprecht, Gotinga 1967, pág. 26.
12. J. van Mannen: Instrumentos del siglo XVII para dibujar secciones cónicas. En: La Gaceta Matemática. vol. 76, 1992, pág. 222–230.
13. E. Hartmann: Nota de conferencia 'Geometrías de círculos planos', una introducción a los planos de Möbius, Laguerre y Minkowski, p. 55
14. W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
15. Arquímedes. (1897). Las obras de Arquímedes. Heath, Thomas Little, señor, 1861-1940. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 115.ISBN _ 0-486-42084-1. OCLC  48876646.
16. Carlson, BC (2010), "Integrales elípticas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
17. Marfil, J. (1798). "Una nueva serie para la rectificación de las elipsis". Transacciones de la Real Sociedad de Edimburgo . 4 (2): 177–190. doi :10.1017/s0080456800030817. S2CID  251572677.
18. Bessel, FW (2010). "El cálculo de longitud y latitud a partir de mediciones geodésicas (1825)". Astron. Nachr . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Código Bib : 2010AN....331..852K. doi :10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590.Traducción al inglés de Bessel, FW (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen". Astron. Nachr . 4 (16): 241–254. arXiv : 0908.1823 . Código Bib : 1825AN......4..241B. doi :10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.
19. Ramanujan, Srinivasa (1914). "Ecuaciones modulares y aproximaciones a π". Cuarto de galón. J. Aplicación pura. Matemáticas . 45 : 350–372. ISBN 9780821820766.
20. Jameson, GJO (2014). "Desigualdades para el perímetro de una elipse". Gaceta Matemática . 98 (542): 227–234. doi :10.1017/S002555720000125X. S2CID  125063457.
21. David dibujó. "Engranajes elípticos". [1]
22. Grant, George B. (1906). Un tratado sobre ruedas dentadas. Obras de engranajes de Filadelfia. pag. 72.
23. Enciclopedia de física y tecnología láser: láseres bombeados por lámpara, lámparas de arco, lámparas de destello, láser Nd:YAG de alta potencia
24. "Cymer - Página de inicio de la categoría de detalles de la cámara de plasma EUV". Archivado desde el original el 17 de mayo de 2013 . Consultado el 20 de junio de 2013 .
25. Chamberlain, G. (febrero de 1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican media: funciones de utilidad de varianza". Revista de teoría económica . 29 (1): 185-201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
26. Owen, J.; Rabinovitch, R. (junio de 1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". Revista de Finanzas . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x. JSTOR  2328079.
27. Pitteway, MLV (1967). "Algoritmo para dibujar elipses o hipérbolas con un trazador digital". La revista informática . 10 (3): 282–9. doi : 10.1093/comjnl/10.3.282 .
28. Van Aken, JR (septiembre de 1984). "Un algoritmo eficiente de dibujo de elipse". Aplicaciones y gráficos por computadora IEEE . 4 (9): 24–35. doi :10.1109/MCG.1984.275994. S2CID  18995215.
29. Smith, LB (1971). "Dibujo de elipses, hipérbolas o parábolas con un número fijo de puntos". La revista informática . 14 (1): 81–86. doi : 10.1093/comjnl/14.1.81 .

Referencias

• Besant, WH (1907). "Capítulo III. La Elipse". Secciones Cónicas . Londres: George Bell and Sons. pag. 50.
• Coxeter, HSM (1969). Introducción a la Geometría (2ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 115–9.
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Conceptos fundamentales de geometría , Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-63415-9
• Molinero, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentos del álgebra universitaria (3ª ed.). Scott Foresman/Pequeño. pag. 381.ISBN _ 978-0-673-38638-0.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042

enlaces externos

• Citas relacionadas con Ellipse en Wikiquote
• Medios relacionados con elipses en Wikimedia Commons
• elipse en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Elipse". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Elipse como caso especial de hipotrocoide". MundoMatemático .
• Derivación de Apolonio de la elipse en la convergencia
• La forma y la historia de la elipse en Washington, DC por Clark Kimberling
• Calculadora de circunferencia de elipse
• Colección de demostraciones animadas de elipses.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Ellipse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Trasmallo según Frans van Schooten
• "¿Por qué no hay ecuación para el perímetro de una elipse?" en YouTube por Matt Parker