Lista de identidades trigonométricas

Ecuaciones que involucran funciones trigonométricas

En trigonometría , las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor de las variables que ocurren para las cuales ambos lados de la igualdad están definidos. Geométricamente, se trata de identidades que implican determinadas funciones de uno o más ángulos . Son distintas de las identidades de triángulos , que son identidades que potencialmente involucran ángulos pero también involucran longitudes de lados u otras longitudes de un triángulo .

Estas identidades son útiles cuando es necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Una aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común implica usar primero la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Identidades pitagóricas

Funciones trigonométricas y sus recíprocos en el círculo unitario. Todos los triángulos rectángulos son semejantes, es decir, las proporciones entre sus lados correspondientes son las mismas. Para sin, cos y tan, el radio de longitud unitaria forma la hipotenusa del triángulo que los define. Las identidades recíprocas surgen como razones de lados en los triángulos donde esta línea unitaria ya no es la hipotenusa. El triángulo sombreado en azul ilustra la identidad y el triángulo rojo la muestra . ${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }$

La relación básica entre el seno y el coseno viene dada por la identidad pitagórica:

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$$

donde medios y medios ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle (\sin \theta )^{2}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta )^{2}.}$

Esto puede verse como una versión del teorema de Pitágoras y se desprende de la ecuación del círculo unitario . Esta ecuación se puede resolver para el seno o el coseno: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$$

donde el signo depende del cuadrante de ${\displaystyle \theta .}$

Dividiendo esta identidad por , o ambos se obtienen las siguientes identidades: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$

Usando estas identidades, es posible expresar cualquier función trigonométrica en términos de cualquier otra ( hasta un signo más o menos):

Reflexiones, cambios y periodicidad

Al examinar el círculo unitario, se pueden establecer las siguientes propiedades de las funciones trigonométricas.

Reflexiones

Transformación de coordenadas ( a , b ) al cambiar el ángulo de reflexión en incrementos de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Cuando la dirección de un vector euclidiano se representa mediante un ángulo, este es el ángulo determinado por el vector libre (comenzando en el origen) y el vector unitario positivo. El mismo concepto también se puede aplicar a las líneas en un espacio euclidiano, donde el ángulo es el determinado por un paralelo a la línea dada que pasa por el origen y el eje positivo. Si una línea (vector) con dirección se refleja alrededor de una línea con dirección , entonces el ángulo de dirección de esta línea reflejada (vector) tiene el valor ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$

$${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

Los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos para ángulos específicos satisfacen identidades simples: o son iguales, o tienen signos opuestos, o emplean la función trigonométrica complementaria. Estas también se conocen como fórmulas de reducción . ^[2] ${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Turnos y periodicidad

Transformación de coordenadas ( a , b ) al cambiar el ángulo en incrementos de . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Señales

El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante del ángulo. Si y sgn es la función de signo , ${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Las funciones trigonométricas son periódicas con período común , por lo que para valores de θ fuera del intervalo toman valores repetidos (consulte § Desplazamientos y periodicidad más arriba). ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle ({-\pi },\pi ],}$

Identidades de suma y diferencia de ángulos

Ilustración de fórmulas de suma de ángulos para el seno y el coseno de ángulos agudos. El segmento resaltado tiene una longitud unitaria.

Diagrama que muestra las identidades de diferencia de ángulos para y . ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$

Estos también se conocen como teoremas (o fórmulas ) de suma y resta de ángulos .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$$

Las identidades de diferencia de ángulos para y se pueden derivar de las versiones de suma de ángulos sustituyendo y usando los hechos que y . También se pueden derivar usando una versión ligeramente modificada de la figura para las identidades de suma de ángulos, las cuales se muestran aquí. ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}$ ${\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}$

Estas identidades se resumen en las dos primeras filas de la siguiente tabla, que también incluye identidades de suma y diferencia para las otras funciones trigonométricas.

Senos y cosenos de sumas de infinitos ángulos.

Cuando la serie converge absolutamente entonces ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

Debido a que la serie converge absolutamente, es necesario que y En particular, en estas dos identidades aparece una asimetría que no se ve en el caso de sumas de un número finito de ángulos: en cada producto, sólo hay un número finito de factores seno pero no hay un número infinito de factores cosenos. Los términos con infinitos factores senos serían necesariamente iguales a cero. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

Cuando sólo un número finito de ángulos son distintos de cero, entonces sólo un número finito de los términos del lado derecho son distintos de cero porque todos los factores seno, excepto un número finito, desaparecen. Además, en cada término, todos los factores cosenos, excepto un número finito, son la unidad. ${\displaystyle \theta _{i}}$

Tangentes y cotangentes de sumas.

Sea (for ) el polinomio simétrico elemental de k grado en las variables ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$

${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

usando las fórmulas de suma de seno y coseno anteriores.

El número de términos del lado derecho depende del número de términos del lado izquierdo.

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

etcétera. El caso de sólo un número finito de términos puede demostrarse mediante inducción matemática . ^[14]

Secantes y cosecantes de sumas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

donde es el k polinomio simétrico elemental de ésimo grado en las n variables y el número de términos en el denominador y el número de factores en el producto en el numerador dependen del número de términos en la suma de la izquierda. ^[15] El caso de sólo un número finito de términos puede demostrarse mediante inducción matemática del número de dichos términos. ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$

Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

teorema de ptolomeo

Diagrama que ilustra la relación entre el teorema de Ptolomeo y la identidad trigonométrica de la suma de ángulos para el seno. El teorema de Ptolomeo establece que la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos es igual al producto de las longitudes de las diagonales. Cuando esas longitudes de los lados se expresan en términos de los valores de sen y cos que se muestran en la figura anterior, se obtiene la identidad trigonométrica de la suma de ángulos para el seno: sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

El teorema de Ptolomeo es importante en la historia de las identidades trigonométricas, ya que es la forma en que se demostraron por primera vez los resultados equivalentes a las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno. Afirma que en un cuadrilátero cíclico , como se muestra en la figura adjunta, la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos es igual al producto de las longitudes de las diagonales. En los casos especiales en los que una de las diagonales o lados sea un diámetro del círculo, este teorema da lugar directamente a las identidades trigonométricas de suma y diferencia de ángulos. ^[16] La relación se sigue más fácilmente cuando el círculo se construye para que tenga un diámetro de longitud uno, como se muestra aquí. ${\displaystyle ABCD}$

Según el teorema de Tales , y ambos son ángulos rectos. Los triángulos rectángulos y ambos comparten la hipotenusa de longitud 1. Por lo tanto, el lado , y . ${\displaystyle \angle DAB}$ ${\displaystyle \angle DCB}$ ${\displaystyle DAB}$ ${\displaystyle DCB}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$ ${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$

Según el teorema del ángulo inscrito , el ángulo central subtendido por la cuerda en el centro del círculo es el doble del ángulo , es decir . Por lo tanto, el par simétrico de triángulos rojos tiene cada uno el ángulo en el centro. Cada uno de estos triángulos tiene una hipotenusa de longitud , por lo que la longitud de es , es decir, simplemente . La otra diagonal del cuadrilátero es el diámetro de longitud 1, por lo que el producto de las longitudes de las diagonales también es . ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle \angle ADC}$ ${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$

Cuando estos valores se sustituyen en el enunciado del teorema de Ptolomeo de que , se obtiene la identidad trigonométrica de la suma de ángulos para el seno: . La fórmula de diferencia de ángulos para se puede derivar de manera similar dejando que el lado sirva como diámetro en lugar de . ^[dieciséis] ${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$

Fórmulas de ángulos múltiples y medios ángulos

Fórmulas de múltiples ángulos

Fórmulas de doble ángulo

Demostración visual de la fórmula del seno de doble ángulo. La zona,1/2× base × altura, de un triángulo isósceles se calcula, primero en posición vertical y luego de lado. En posición vertical, el área = . Cuando está de lado, el área = . Al girar el triángulo no cambia su área, por lo que estas dos expresiones son iguales. Por lo tanto, ${\displaystyle \sin \theta \cos \theta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .}$

Fórmulas para el doble de un ángulo. ^[19]

• ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$

Fórmulas de triple ángulo

Fórmulas para ángulos triples. ^[19]

• ${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

Fórmulas de múltiples ángulos

Fórmulas para múltiples ángulos. ^[20]

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta }$
• ${\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )}$
• ${\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )}$
• ${\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}}$

método chebyshev

El método Chebyshev es un algoritmo recursivo para encontrar la enésima fórmula de ángulo múltiple conociendo los valores enésimo y enésimo. ^[21] ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle \cos(nx)}$se puede calcular a partir de , y con ${\displaystyle \cos((n-1)x)}$ ${\displaystyle \cos((n-2)x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

$${\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).}$$

Esto se puede demostrar sumando las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}}$$

Se deduce por inducción que es un polinomio del llamado polinomio de Chebyshev de primera clase, ver Polinomios de Chebyshev#Definición trigonométrica . ${\displaystyle \cos(nx)}$ ${\displaystyle \cos x,}$

De manera similar, se puede calcular desde y con ${\displaystyle \sin(nx)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x),}$ ${\displaystyle \sin((n-2)x),}$ ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)}$$

${\displaystyle \sin((n-1)x+x)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x-x).}$

Con un propósito similar al del método de Chebyshev, para la tangente podemos escribir:

$${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$$

Fórmulas de medio ángulo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}$$

^{[22] [23]}

También

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$$

Mesa

Estos se pueden mostrar utilizando las identidades de suma y diferencia o las fórmulas de ángulos múltiples.

El hecho de que la fórmula del triple ángulo para el seno y el coseno solo involucra potencias de una sola función permite relacionar el problema geométrico de la construcción de una trisección de ángulos con compás y regla con el problema algebraico de resolver una ecuación cúbica , lo que permite demostrar esa trisección es en general imposible usando las herramientas dadas, según la teoría de campos . ^{[ cita necesaria ]}

Existe una fórmula para calcular las identidades trigonométricas para el tercio de ángulo, pero requiere encontrar los ceros de la ecuación cúbica 4 x ³ − 3 x + d = 0 , donde es el valor de la función coseno en el tercio de ángulo y d es el valor conocido de la función coseno en el ángulo completo. Sin embargo, el discriminante de esta ecuación es positivo, por lo que esta ecuación tiene tres raíces reales (de las cuales solo una es la solución para el coseno del tercio de ángulo). Ninguna de estas soluciones es reducible a una expresión algebraica real , ya que utilizan números complejos intermedios bajo las raíces cúbicas . ${\displaystyle x}$

Fórmulas de reducción de potencia.

Se obtiene resolviendo la segunda y tercera versión de la fórmula del coseno de doble ángulo.

Fórmula de reducción de potencia del coseno: un diagrama ilustrativo. Los triángulos rojo, naranja y azul son todos similares y los triángulos rojo y naranja son congruentes. La hipotenusa del triángulo azul tiene longitud . El ángulo es , entonces la base de ese triángulo tiene longitud . Esa longitud también es igual a las longitudes sumadas de y , es decir . Por lo tanto, . Al dividir ambos lados por se obtiene la fórmula de reducción de potencia para el coseno: . La fórmula del coseno para el semiángulo se puede obtener reemplazando y tomando la raíz cuadrada de ambos lados: ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle 2\cos \theta }$ ${\displaystyle \angle DAE}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle 1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

Fórmula de reducción de potencia sinusoidal: un diagrama ilustrativo. Los triángulos sombreados en azul y verde y el triángulo delineado en rojo son todos rectángulos y similares, y todos contienen el ángulo . La hipotenusa del triángulo delineado en rojo tiene longitud , por lo que su lado tiene longitud . El segmento de línea tiene la longitud y la suma de las longitudes de y es igual a la longitud de , que es 1. Por lo tanto, . Restando de ambos lados y dividiendo por 2 entre dos se obtiene la fórmula de reducción de potencia para el seno: . La fórmula del seno del semiángulo se puede obtener reemplazando con y tomando la raíz cuadrada de ambos lados: Tenga en cuenta que esta figura también ilustra, en el segmento de línea vertical , que . ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle 2\sin \theta }$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle 2\sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ ${\displaystyle {\overline {EB}}}$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

En términos generales de potencias de o lo siguiente es cierto y se puede deducir utilizando la fórmula de De Moivre , la fórmula de Euler y el teorema del binomio . ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Identidades de producto a suma y de suma a producto

Las identidades producto-suma ^[27] o fórmulas de prostaféresis se pueden demostrar expandiendo sus lados derechos utilizando los teoremas de suma de ángulos. Históricamente, las primeras cuatro se conocieron como fórmulas de Werner , en honor a Johannes Werner , quien las utilizó para cálculos astronómicos. ^[28] Véase modulación de amplitud para una aplicación de las fórmulas de producto a suma, y ​​detector de latido (acústica) y fase para aplicaciones de las fórmulas de suma a producto.

Identidades de producto a suma

• ${\displaystyle \cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}$
• ${\displaystyle \tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}}$

Identidades de suma a producto

Diagrama que ilustra las identidades de suma a producto para seno y coseno. El triángulo rectángulo azul tiene ángulo y el triángulo rectángulo rojo tiene ángulo . Ambos tienen una hipotenusa de longitud 1. Los ángulos auxiliares, aquí llamados y , se construyen de manera que y . Por tanto, y . Esto permite construir los dos triángulos congruentes de contorno violeta , cada uno con hipotenusa y ángulo en su base. La suma de las alturas de los triángulos rojo y azul es , y esto es igual al doble de la altura de un triángulo morado, es decir . Escribir y en esa ecuación en términos de y produce una identidad suma-producto para el seno: . De manera similar, la suma de los anchos de los triángulos rojo y azul produce la identidad correspondiente para el coseno. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p=(\theta +\varphi )/2}$ ${\displaystyle q=(\theta -\varphi )/2}$ ${\displaystyle \theta =p+q}$ ${\displaystyle \varphi =p-q}$ ${\displaystyle AFG}$ ${\displaystyle FCE}$ ${\displaystyle \cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi }$ ${\displaystyle 2\sin p\cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$

Las identidades de suma a producto son las siguientes: ^[29]

• ${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}}$

Identidad cotangente de Hermite

Charles Hermite demostró la siguiente identidad. ^[30] Supongamos que son números complejos , de los cuales no hay dos que difieran en un múltiplo entero de  π . Dejar ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$$

(en particular, al ser un producto vacío , es 1). Entonces ${\displaystyle A_{1,1},}$

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$$

El ejemplo no trivial más simple es el caso  n  = 2 :

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$$

Productos finitos de funciones trigonométricas.

Para enteros coprimos n , m

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$$

donde T _n es el polinomio de Chebyshev . ^{[ cita necesaria ]}

La siguiente relación es válida para la función seno.

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$$

De manera más general, para un número entero n > 0 ^[31]

$${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).}$$

o escrito en términos de la función del acorde , ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$${\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).}$$

Esto proviene de la factorización del polinomio en factores lineales (cf. raíz de la unidad ): para un punto z en el círculo unitario complejo y un número entero n > 0 , ${\textstyle z^{n}-1}$

$${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}.}$$

Combinaciones lineales

Para algunos propósitos, es importante saber que cualquier combinación lineal de ondas sinusoidales del mismo período o frecuencia pero con diferentes cambios de fase también es una onda sinusoidal con el mismo período o frecuencia, pero con un cambio de fase diferente. Esto es útil en el ajuste de datos sinusoide , porque los datos medidos u observados están relacionados linealmente con las incógnitas a y b de la base de los componentes en fase y en cuadratura a continuación, lo que da como resultado un jacobiano más simple , en comparación con el de y . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

Seno y coseno

La combinación lineal, o suma armónica, de ondas sinusoidales y coseno es equivalente a una única onda sinusoidal con un cambio de fase y amplitud escalada, ^{[32] [33]}

$${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$$

donde y se definen así: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}}$$

dado que ${\displaystyle a\neq 0.}$

Cambio de fase arbitrario

De manera más general, para cambios de fase arbitrarios, tenemos

$${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$$

donde y satisfacer: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$$

Más de dos sinusoides

El caso general dice ^[33]

$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$$

$${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$$

$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$$

Identidades trigonométricas de Lagrange

Estas identidades, que llevan el nombre de Joseph Louis Lagrange , son: ^{[34] [35] [36]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.}$

Una función relacionada es el núcleo de Dirichlet :

$${\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.}$$

Una identidad similar es ^[37]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.}$$

La prueba es la siguiente. Usando la suma de ángulos y las identidades de diferencia,

$${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.}$$

$${\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}}$$

Entonces, dividir esta fórmula completa la prueba. ${\displaystyle 2\sin \alpha }$

Ciertas transformaciones fraccionarias lineales

Si está dado por la transformación fraccionaria lineal ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$$

$${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$$

$${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$$

Dicho de manera más concisa, si por todo dejamos ser lo que llamamos arriba, entonces ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$$

Si es la pendiente de una recta, entonces es la pendiente de su rotación en un ángulo de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -\alpha .}$

Relación con la función exponencial compleja

La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real x : ^[38]

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

iunidad imaginariaxx

$${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.}$$

Estas dos ecuaciones se pueden usar para resolver el coseno y el seno en términos de la función exponencial . Específicamente, ^{[39] [40]}

$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$$

$${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$$

Estas fórmulas son útiles para demostrar muchas otras identidades trigonométricas. Por ejemplo, que e ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφ significa que

cos( θ + φ ) + i sin( θ + φ ) = (cos θ + i sin θ ) (cos φ + i sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + pecado θ cos φ ) .

Que la parte real del lado izquierdo es igual a la parte real del lado derecho es una fórmula de suma de ángulos para el coseno. La igualdad de las partes imaginarias da una fórmula de suma de ángulos para el seno.

La siguiente tabla expresa las funciones trigonométricas y sus inversas en términos de la función exponencial y el logaritmo complejo .

Expansión de la serie

Cuando se utiliza una expansión de series de potencias para definir funciones trigonométricas, se obtienen las siguientes identidades: ^[42]

$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$$

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

Infinitas fórmulas de productos

Para aplicaciones a funciones especiales , las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas son útiles: ^{[43] [44]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Funciones trigonométricas inversas

Las siguientes identidades dan el resultado de componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. ^[45]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}$$

Tomar el inverso multiplicativo de ambos lados de cada ecuación anterior da como resultado las ecuaciones para El lado derecho de la fórmula anterior siempre estará invertido. Por ejemplo, la ecuación para es: ${\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.}$ ${\displaystyle \cot(\arcsin x)}$

$${\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$$

${\displaystyle \csc(\arccos x)}$ ${\displaystyle \sec(\arccos x)}$

$${\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.}$$

Las identidades de reflexión implican las siguientes identidades. Se mantienen siempre que se encuentren en los ámbitos de las funciones correspondientes. ${\displaystyle x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}$$

Además, ^[46]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}$$

$${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}$$

La función arcotangente se puede expandir como una serie: ^[47]

$${\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}$$

Identidades sin variables

En términos de la función arcotangente tenemos ^[46]

$${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

La curiosa identidad conocida como ley de Morrie ,

$${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$$

es un caso especial de una identidad que contiene una variable:

$${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}$$

Similarmente,

$${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$$

${\displaystyle x=20^{\circ }}$

$${\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$$

Para el caso , ${\displaystyle x=15^{\circ }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

Para el caso , ${\displaystyle x=10^{\circ }}$

$${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$$

La misma identidad coseno es

$${\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$$

Similarmente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

Similarmente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Quizás lo siguiente no se generalice tan fácilmente a una identidad que contenga variables (pero consulte la explicación a continuación):

$${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$$

La medida en grados deja de ser más acertada que la medida en radianes cuando consideramos esta identidad con 21 en los denominadores:

$${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}$$

Los factores 1, 2, 4, 5, 8, 10 pueden empezar a aclarar el patrón: son aquellos números enteros menores que21/2que son primos relativos con (o no tienen factores primos en común con) 21. Los últimos ejemplos son corolarios de un hecho básico sobre los polinomios ciclotómicos irreducibles : los cosenos son las partes reales de los ceros de esos polinomios; la suma de los ceros es la función de Möbius evaluada en (en el último caso anterior) 21; sólo la mitad de los ceros están presentes arriba. Las dos identidades que preceden a esta última surgen de la misma manera con 21 reemplazado por 10 y 15, respectivamente.

Otras identidades de coseno incluyen: ^[48]

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$$

Muchas de esas curiosas identidades surgen de hechos más generales como el siguiente: ^[49]

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$$

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}$$

Combinando estos nos da

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$$

Si n es un número impar ( ), podemos hacer uso de las simetrías para obtener ${\displaystyle n=2m+1}$

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$$

La función de transferencia del filtro de paso bajo de Butterworth se puede expresar en términos de polinomios y polos. Al establecer la frecuencia como frecuencia de corte, se puede demostrar la siguiente identidad:

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$$

Computando π

Una forma eficiente de calcular π para una gran cantidad de dígitos se basa en la siguiente identidad sin variables, debido a Machin . Esto se conoce como fórmula tipo Machin :

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$$

Leonhard Euler

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$$

ternas pitagóricas

$${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$$

Otros incluyen: ^{[50] [46]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$$

$${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,}$$

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

Generalmente, para números t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1) para los cuales θ _n = Σ^{norte −1}
_{k = 1}arctan t _k ∈ ( π /4, 3 π /4 ) , sea t _n = tan( π /2 − θ _n ) = cot θ _n . Esta última expresión se puede calcular directamente utilizando la fórmula de la cotangente de una suma de ángulos cuyas tangentes son t ₁ , ..., t _{n −1} y su valor estará en (−1, 1) . En particular, el t _n calculado será racional siempre que todos los valores de t ₁ , ..., t _{n −1} sean racionales. Con estos valores,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$$

donde en todas las expresiones, excepto en la primera, hemos utilizado fórmulas de medio ángulo tangente. Las dos primeras fórmulas funcionan incluso si uno o más de los valores de t _k no están dentro de (−1, 1) . Tenga en cuenta que si t = p / q es racional, entonces los valores (2 t , 1 − t ² , 1 + t ² ) en las fórmulas anteriores son proporcionales al triple pitagórico (2 pq , q ² − p ² , q ² + pág ² ) .

Por ejemplo, para n = 3 términos,

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$$

a , b , c , d > 0

Una identidad de Euclides

Euclides demostró en el Libro XIII, Proposición 10 de sus Elementos , que el área del cuadrado de lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lados del hexágono regular y del decágono regular. inscrito en el mismo círculo. En el lenguaje de la trigonometría moderna, esto dice:

$${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$$

Ptolomeo utilizó esta proposición para calcular algunos ángulos en su tabla de cuerdas del Libro I, capítulo 11 del Almagesto .

Composición de funciones trigonométricas.

Estas identidades involucran una función trigonométrica de una función trigonométrica: ^[51]

• ${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$
• ${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$
• ${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$
• ${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

donde Ji _son funciones de Bessel .

Otras identidades "condicionales" para el caso α + β + γ = 180°

Las siguientes fórmulas se aplican a triángulos planos arbitrarios y se siguen siempre que las funciones que aparecen en las fórmulas estén bien definidas (esta última se aplica sólo a las fórmulas en las que aparecen tangentes y cotangentes). ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

Taquigrafías históricas

En la navegación se utilizaban el versino , el coversino , el haversino y el exsecante . Por ejemplo, la fórmula de Haversine se utilizó para calcular la distancia entre dos puntos de una esfera. Rara vez se utilizan hoy en día.

Misceláneas

Núcleo de Dirichlet

El núcleo de Dirichlet D _n ( x ) es la función que ocurre en ambos lados de la siguiente identidad:

$${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}$$

La convolución de cualquier función integrable de período con el núcleo de Dirichlet coincide con la aproximación de Fourier de ésimo grado de la función. Lo mismo vale para cualquier medida o función generalizada . ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle n}$

Sustitución de medio ángulo tangente

si establecemos

$${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$$

^[52]

$${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}}$$

cis x ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

Cuando esta sustitución de tan ${\displaystyle t}$X/2se utiliza en cálculo , se deduce que se reemplaza por ${\displaystyle \sin x}$2 toneladas/1 + t ², es reemplazado por ${\displaystyle \cos x}$1 ^- t2/1 + t ²y el diferencial d x se reemplaza por2dt​/1 + t ². De este modo se convierten funciones racionales de y en funciones racionales de para encontrar sus antiderivadas . ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle t}$

El producto infinito de Viète

$${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$$

Ver también

• La desigualdad de Aristarco
• Derivadas de funciones trigonométricas
• Valores trigonométricos exactos (valores de seno y coseno expresados ​​en surds)
• exsecante
• Fórmula de medio lado
• Función hiperbólica
• Leyes para la solución de triángulos:
  • Ley de cosenos
    • Ley esférica de los cosenos
  • ley de los senos
  • ley de las tangentes
  • Ley de cotangentes
  • La fórmula de Mollweide.
• Lista de integrales de funciones trigonométricas.
• Mnemónicos en trigonometría
• Pentagrama mirificum
• Pruebas de identidades trigonométricas.
• Prostaféresis
• Teorema de pitágoras
• Fórmula de medio ángulo tangente
• número trigonométrico
• Trigonometría
• Usos de la trigonometría
• Versine y Haversine

Referencias

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Bibliografía

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• Nielsen, Kaj L. (1966), Tablas logarítmicas y trigonométricas hasta cinco lugares (2ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• Selby, Samuel M., ed. (1970), Tablas matemáticas estándar (18ª ed.), The Chemical Rubber Co.

enlaces externos

• Valores de sen y cos, expresados ​​en surds, para múltiplos enteros de 3° y de 5+5/8°, y para los mismos ángulos csc y ​​sec y tan
• Lista completa de fórmulas trigonométricas