Función de signo

Función matemática que devuelve -1, 0 o 1

Función signum ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

En matemáticas , la función signo o función signum (del latín signum , "signo") es una función que tiene el valor −1 , +1 o 0 según si el signo de un número real dado es positivo o negativo, o si el número dado es cero. En notación matemática, la función signo se representa a menudo como o . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Definición

La función signo de un número real es una función por partes que se define de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

La ley de la tricotomía establece que todo número real debe ser positivo, negativo o cero. La función signum indica en qué categoría única se encuentra un número al asignarle uno de los valores −1 , +1 o 0, que luego se pueden utilizar en expresiones matemáticas o cálculos posteriores.

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}}$$

Propiedades básicas

Cualquier número real puede expresarse como el producto de su valor absoluto por su función signo: $${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x\,.}$$

De ello se deduce que siempre que no sea igual a 0 tenemos ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}$$

De manera similar, para cualquier número real , también podemos estar seguros de que: y entonces ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.}$$

Algunas identidades algebraicas

El signum también se puede escribir utilizando la notación de corchetes de Iverson : $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}$$

El signo también se puede escribir utilizando las funciones de valor absoluto y de piso : Si se acepta que es igual a 1, el signo también se puede escribir para todos los números reales como $${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.}$$ ${\displaystyle 0^{0}}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.}$$

Propiedades en el análisis matemático

Discontinuidad en cero

La función de signo no es continua en . ${\displaystyle x=0}$

Aunque la función de signo toma el valor −1 cuando es negativo, el punto anillado (0, −1) en el gráfico de indica que este no es el caso cuando . En cambio, el valor salta abruptamente al punto sólido en (0, 0) donde . Luego hay un salto similar a cuando es positivo. Cualquier salto demuestra visualmente que la función de signo es discontinua en cero, aunque es continua en cualquier punto donde es positivo o negativo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x}$

Estas observaciones se confirman con cualquiera de las diversas definiciones formales equivalentes de continuidad en el análisis matemático . Una función , como es continua en un punto si el valor puede aproximarse de forma arbitrariamente cercana mediante la secuencia de valores donde la forman cualquier secuencia infinita que se acerque arbitrariamente a cuando se vuelve suficientemente grande. En la notación de límites matemáticos , la continuidad de en requiere que como para cualquier secuencia para la que El símbolo de flecha puede leerse como que se acerca o tiende a , y se aplica a la secuencia en su totalidad. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x),}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a_{n})\to f(a)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{n}\to a.}$

Este criterio falla para la función de signo en . Por ejemplo, podemos elegir que sea la secuencia que tiende a cero a medida que aumenta hacia el infinito. En este caso, como se requiere, pero y para cada uno de modo que . Este contraejemplo confirma de manera más formal la discontinuidad de en cero que es visible en el gráfico. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$

A pesar de que la función signo tiene una forma muy simple, el cambio de paso en cero causa dificultades para las técnicas de cálculo tradicionales , que son bastante estrictas en sus requisitos. La continuidad es una restricción frecuente. Una solución puede ser aproximar la función signo mediante una función continua suave; otras pueden implicar enfoques menos estrictos que se basen en métodos clásicos para dar cabida a clases más grandes de funciones.

Aproximaciones y límites suaves

La función signum coincide con los límites y además, $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.}$$Aquí, está la tangente hiperbólica y el superíndice de -1, encima de ella, es la notación abreviada para la función inversa de la función trigonométrica , tangente. ${\displaystyle \tanh(x)}$

Para , una aproximación suave de la función signo es Otra aproximación es que se vuelve más nítida a medida que ; observe que esta es la derivada de . Esto se inspira en el hecho de que lo anterior es exactamente igual para todos los distintos de cero si , y tiene la ventaja de una generalización simple a análogos de dimensiones superiores de la función signo (por ejemplo, las derivadas parciales de ). ${\displaystyle k>1}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.}$$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Véase Función escalonada de Heaviside § Aproximaciones analíticas .

Diferenciación e integración

La función signo es diferenciable en todas partes excepto cuando Su derivada es cero cuando es distinto de cero: ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Esto se desprende de la diferenciabilidad de cualquier función constante , para la cual la derivada es siempre cero en su dominio de definición. El signo actúa como una función constante cuando está restringida a la región abierta negativa donde es igual a -1 . De manera similar, puede considerarse como una función constante dentro de la región abierta positiva donde la constante correspondiente es +1. Aunque se trata de dos funciones constantes diferentes, su derivada es igual a cero en cada caso. ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x<0,}$ ${\displaystyle x>0,}$

No es posible definir una derivada clásica en , porque existe una discontinuidad allí. Sin embargo, la función signum tiene una integral definida entre cualquier par de valores finitos a y b , incluso cuando el intervalo de integración incluye cero. La integral resultante para a y b es entonces igual a la diferencia entre sus valores absolutos: ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}$$

Por el contrario, la función signo es la derivada de la función valor absoluto, excepto cuando hay un cambio abrupto en el gradiente antes y después de cero: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Podemos entender esto como antes considerando la definición del valor absoluto en las regiones separadas y Por ejemplo, la función de valor absoluto es idéntica a en la región cuya derivada es el valor constante +1 , que es igual al valor de allí. ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$

Como el valor absoluto es una función convexa , hay al menos una subderivada en cada punto, incluido el origen. En todos los puntos excepto en cero, la subdiferencial resultante consiste en un único valor, igual al valor de la función signo. Por el contrario, hay muchas subderivadas en cero, y solo una de ellas toma el valor . Aquí se produce un valor de subderivada 0 porque la función valor absoluto está en un mínimo. La familia completa de subderivadas válidas en cero constituye el intervalo subdiferencial , que podría considerarse informalmente como "rellenar" el gráfico de la función signo con una línea vertical que pase por el origen, haciéndolo continuo como una curva bidimensional. ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

En la teoría de la integración, la función signum es una derivada débil de la función de valor absoluto. Las derivadas débiles son equivalentes si son iguales casi en todas partes , lo que las hace inmunes a anomalías aisladas en un único punto. Esto incluye el cambio de gradiente de la función de valor absoluto en cero, lo que impide que exista una derivada clásica.

Aunque no es diferenciable en en el sentido ordinario, bajo la noción generalizada de diferenciación en la teoría de la distribución , la derivada de la función signo es dos veces la función delta de Dirac . Esto se puede demostrar utilizando la identidad ^[2] donde es la función escalón de Heaviside utilizando el formalismo estándar . Usando esta identidad, es fácil derivar la derivada distribucional: ^[3] ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función signo es ^[4] donde significa tomar el valor principal de Cauchy . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},}$$ ${\displaystyle PV}$

Generalizaciones

Signo complejo

La función signum se puede generalizar a números complejos como: para cualquier número complejo excepto . El signum de un número complejo dado es el punto en el círculo unitario del plano complejo que está más cerca de . Entonces, para , donde es la función argumento complejo . $${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\neq 0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$ ${\displaystyle \arg }$

Por razones de simetría, y para mantener esta generalización adecuada de la función signo en los números reales, también en el dominio complejo se define usualmente, para : ${\displaystyle z=0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Otra generalización de la función signo para expresiones reales y complejas es , ^[5] que se define como: donde es la parte real de y es la parte imaginaria de . ${\displaystyle {\text{csgn}}}$ $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Entonces tenemos (para ): ${\displaystyle z\neq 0}$ $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Descomposición polar de matrices

Gracias al teorema de descomposición polar , una matriz ( y ) se puede descomponer como un producto donde es una matriz unitaria y es una matriz autoadjunta o hermítica, definida positiva, ambas en . Si es invertible, entonces dicha descomposición es única y desempeña el papel de signum de . Una construcción dual está dada por la descomposición donde es unitaria, pero generalmente diferente de . Esto lleva a que cada matriz invertible tenga un signum izquierdo y un signum derecho únicos . ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

En el caso especial donde y la matriz (invertible) , que se identifica con el número complejo (distinto de cero) , entonces las matrices signum satisfacen y se identifican con el signum complejo de , . En este sentido, la descomposición polar generaliza a matrices la descomposición signum-módulo de números complejos. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$

Signum como función generalizada

En valores reales de , es posible definir una función generalizada –versión de la función signum, tal que en todas partes, incluido el punto , a diferencia de , para el cual . Este signum generalizado permite la construcción del álgebra de funciones generalizadas , pero el precio de tal generalización es la pérdida de conmutatividad . En particular, el signum generalizado anticonmuta con la función delta de Dirac ^[6] además, no puede evaluarse en ; y el nombre especial, es necesario para distinguirlo de la función . ( no está definido, pero .) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$ $${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \varepsilon (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$

Véase también

• Valor absoluto
• Función escalonada de Heaviside
• Número negativo
• Función rectangular
• Función sigmoidea ( sigmoide duro )
• Función escalonada ( función constante por partes )
• Comparación de tres vías
• Cruce por cero
• Descomposición polar

Notas

1. "Función Signum - Maeckes". www.maeckes.nl .
2. Weisstein, Eric W. "Firmar". MundoMatemático .
3. Weisstein, Eric W. "Función escalonada de Heaviside". MathWorld .
4. Burrows, BL; Colwell, DJ (1990). "La transformada de Fourier de la función escalón unitario". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 21 (4): 629–635. doi :10.1080/0020739900210418.
5. Documentación de Maple V. 21 de mayo de 1998
6. Yu.M.Shirokov (1979). "Álgebra de funciones generalizadas unidimensionales". Física teórica y matemática . 39 (3): 471–477. Código Bibliográfico :1979TMP....39..471S. doi :10.1007/BF01017992. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2012.