En matemáticas , el signo de un número real es su propiedad de ser positivo, negativo o .
En algunos contextos, tiene sentido considerar un cero con signo (como las representaciones de punto flotante de números reales dentro de las computadoras). Dependiendo de las convenciones locales, el cero puede considerarse ni positivo ni negativo (sin signo o con un tercer signo único), o puede considerarse positivo y negativo (teniendo ambos signos). Siempre que no se mencione específicamente, este artículo se adhiere a la primera convención (el cero tiene signo indefinido).
En matemáticas y física, la frase "cambio de signo" se asocia con la generación del inverso aditivo (negación o multiplicación por −1 ) de cualquier objeto que permita esta construcción, y no se limita a números reales. Se aplica, entre otros objetos, a vectores, matrices y números complejos, que no están prescritos para que sean sólo positivos, negativos o cero.
La palabra "signo" también se usa a menudo para indicar otros aspectos binarios de objetos matemáticos que se asemejan a la positividad y la negatividad, como pares e impares ( signo de una permutación ), sentido de orientación o rotación ( cw/ccw ), límites unilaterales , y otros conceptos descritos en § Otros significados a continuación.
Los números de varios sistemas numéricos, como enteros , racionales , números complejos , cuaterniones , octoniones , ... pueden tener múltiples atributos que fijan ciertas propiedades de un número. Un sistema numérico que tiene la estructura de un anillo ordenado contiene un número único que, cuando se suma a cualquier número, deja a este último sin cambios. Este número único se conoce como elemento de identidad aditivo del sistema . Por ejemplo, los números enteros tienen la estructura de un anillo ordenado. Este número generalmente se indica como 0. Debido al orden total en este anillo, hay números mayores que cero, llamados números positivos . Otra propiedad requerida para ordenar un anillo es que, para cada número positivo, existe un número correspondiente único menor que 0 cuya suma con el número positivo original es 0. Estos números menores que 0 se llaman números negativos . Los números en cada uno de esos pares son sus respectivos inversos aditivos . Este atributo de un número, que es exclusivamente cero (0) , positivo (+) o negativo (-) , se llama signo y a menudo se codifica en los números reales 0 , 1 y −1 , respectivamente (similar a la forma en que se define la función de signo ). [1] Dado que los números racionales y reales también son anillos ordenados (de hecho, campos ordenados ), el atributo de signo también se aplica a estos sistemas numéricos.
Cuando se usa un signo menos entre dos números, representa la operación binaria de resta. Cuando se escribe un signo menos antes de un solo número, representa la operación unaria de obtener el inverso aditivo (a veces llamado negación ) del operando. Entonces, de manera abstracta, la diferencia de dos números es la suma del minuendo con el inverso aditivo del sustraendo. Mientras que 0 es su propio inverso aditivo ( −0 = 0 ), el inverso aditivo de un número positivo es negativo y el inverso aditivo de un número negativo es positivo. Una doble aplicación de esta operación se escribe como −(−3) = 3 . El signo más se utiliza predominantemente en álgebra para denotar la operación binaria de la suma, y sólo en raras ocasiones para enfatizar la positividad de una expresión.
En la notación numérica común (utilizada en aritmética y en otros campos), el signo de un número a menudo se hace explícito colocando un signo más o menos antes del número. Por ejemplo, +3 denota "tres positivos" y −3 denota "tres negativos" (algebraicamente: el inverso aditivo de 3 ). Sin un contexto específico (o cuando no se da ningún signo explícito), un número se interpreta por defecto como positivo. Esta notación establece una fuerte asociación del signo menos " - " con números negativos y el signo más "+" con números positivos.
Dentro de la convención de que el cero no es ni positivo ni negativo, se puede asignar un valor de signo específico 0 al valor numérico 0 . Esto se explota en la función , tal como se define para los números reales. [1] En aritmética, +0 y −0 denotan el mismo número 0 . Generalmente no existe peligro de confundir el valor con su signo, aunque la convención de asignar ambos signos a 0 no permite inmediatamente esta discriminación.
En algunos contextos, especialmente en informática , es útil considerar versiones de cero con signo, donde los ceros con signo se refieren a diferentes representaciones de números discretos (consulte representaciones de números con signo para obtener más información).
Los símbolos +0 y −0 rara vez aparecen como sustitutos de 0 + y 0 − , utilizados en cálculo y análisis matemático para límites unilaterales (límite del lado derecho y límite del lado izquierdo, respectivamente). Esta notación se refiere al comportamiento de una función cuando su variable de entrada real se acerca a 0 a lo largo de valores positivos (o negativos); los dos límites no tienen por qué existir o coincidir.
Cuando se dice que 0 no es ni positivo ni negativo, las siguientes frases pueden referirse al signo de un número:
Cuando se dice que 0 es tanto positivo como negativo [ cita necesaria ] , se utilizan frases modificadas para referirse al signo de un número:
Por ejemplo, el valor absoluto de un número real siempre es "no negativo", pero no necesariamente "positivo" en la primera interpretación, mientras que en la segunda interpretación se llama "positivo", aunque no necesariamente "estrictamente positivo". .
A veces se utiliza la misma terminología para funciones que producen valores reales u otros valores con signo. Por ejemplo, una función se llamaría función positiva si sus valores son positivos para todos los argumentos de su dominio, o función no negativa si todos sus valores no son negativos.
Los números complejos son imposibles de ordenar, por lo que no pueden tener la estructura de un anillo ordenado y, en consecuencia, no pueden dividirse en números complejos positivos y negativos. Sin embargo, comparten un atributo con los reales, que se llama valor absoluto o magnitud . Las magnitudes son siempre números reales no negativos, y a cualquier número distinto de cero pertenece un número real positivo, su valor absoluto .
Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3 . Esto está escrito en símbolos como | −3 | = 3 y | 3 | = 3 .
En general, cualquier valor real arbitrario puede especificarse por su magnitud y su signo. Usando la codificación estándar, cualquier valor real viene dado por el producto de la magnitud y el signo en la codificación estándar. Esta relación se puede generalizar para definir un signo para números complejos.
Dado que los números reales y complejos forman un campo y contienen los reales positivos, también contienen los recíprocos de las magnitudes de todos los números distintos de cero. Esto significa que cualquier número distinto de cero se puede multiplicar por el recíproco de su magnitud, es decir, dividir por su magnitud. Es inmediato que el cociente de cualquier número real distinto de cero por su magnitud produce exactamente su signo. Por analogía, el signo de un número complejo z se puede definir como el cociente de z y su magnitud | z | . El signo de un número complejo es el exponencial del producto de su argumento con la unidad imaginaria. representa en cierto sentido su complejo argumento. Esto debe compararse con el signo de los números reales, excepto para la definición de una función de signo compleja. consulte § Función de signo complejo a continuación.
Cuando se trata de números, suele ser conveniente tener su signo disponible como número. Esto se logra mediante funciones que extraen el signo de cualquier número y lo asignan a un valor predefinido antes de ponerlo a disposición para más cálculos. Por ejemplo, podría resultar ventajoso formular un algoritmo complejo sólo para valores positivos y ocuparse del signo sólo después.
La función signo o función signum extrae el signo de un número real, mapeando el conjunto de números reales al conjunto de los tres reales. Se puede definir de la siguiente manera: [1]
Mientras que un número real tiene una dirección unidimensional, un número complejo tiene una dirección bidimensional. La función de signo compleja requiere la magnitud de su argumento z = x + iy , que se puede calcular como
De manera análoga a lo anterior, la función de signo complejo extrae el signo complejo de un número complejo asignando el conjunto de números complejos distintos de cero al conjunto de números complejos unimodulares, y 0 a 0 : se puede definir de la siguiente manera:
Sea z también expresado por su magnitud y uno de sus argumentos φ como z = | z |⋅ e iφ , entonces [2]
Esta definición también puede reconocerse como un vector normalizado, es decir, un vector cuya dirección no cambia y cuya longitud se fija en la unidad . Si el valor original era R,θ en forma polar, entonces el signo(R, θ) es 1 θ. La extensión de sign() o signum() a cualquier número de dimensiones es obvia, pero esto ya se ha definido como normalizar un vector.
En situaciones en las que hay exactamente dos posibilidades en igualdad de condiciones para un atributo, éstas suelen etiquetarse por convención como más y menos , respectivamente. En algunos contextos, la elección de esta asignación (es decir, qué rango de valores se considera positivo y cuál negativo) es natural, mientras que en otros contextos, la elección es arbitraria, lo que hace necesaria una convención de signos explícita, siendo el único requisito el uso consistente de la Convención.
En muchos contextos, es común asociar un signo con la medida de un ángulo , particularmente un ángulo orientado o un ángulo de rotación . En tal situación, el signo indica si el ángulo está en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj. Aunque se pueden usar diferentes convenciones, es común en matemáticas que los ángulos en el sentido contrario a las agujas del reloj cuenten como positivos y los ángulos en el sentido de las agujas del reloj se consideren negativos. [3]
También es posible asociar un signo a un ángulo de rotación en tres dimensiones, suponiendo que el eje de rotación haya sido orientado. Específicamente, una rotación hacia la derecha alrededor de un eje orientado generalmente cuenta como positiva, mientras que una rotación hacia la izquierda cuenta como negativa.
Un ángulo que es negativo de un ángulo dado tiene un arco igual, pero el eje opuesto . [4]
Cuando una cantidad x cambia con el tiempo, el cambio en el valor de x generalmente se define mediante la ecuación
Usando esta convención, un aumento en x cuenta como cambio positivo, mientras que una disminución de x cuenta como cambio negativo. En cálculo , esta misma convención se utiliza en la definición de la derivada . Como resultado, cualquier función creciente tiene derivada positiva, mientras que cualquier función decreciente tiene derivada negativa.
Al estudiar desplazamientos y movimientos unidimensionales en geometría y física analíticas , es común etiquetar las dos direcciones posibles como positivas y negativas. Debido a que la recta numérica generalmente se dibuja con números positivos a la derecha y números negativos a la izquierda, una convención común es dar un signo positivo a los movimientos hacia la derecha y un signo negativo a los movimientos hacia la izquierda.
En el plano cartesiano , las direcciones hacia la derecha y hacia arriba generalmente se consideran positivas, siendo la derecha la dirección x positiva y hacia arriba la dirección y positiva . Si un vector de desplazamiento se separa en sus componentes vectoriales , entonces la parte horizontal será positiva para el movimiento hacia la derecha y negativa para el movimiento hacia la izquierda, mientras que la parte vertical será positiva para el movimiento hacia arriba y negativa para el movimiento hacia abajo.
Asimismo, una velocidad negativa (tasa de cambio de desplazamiento) implica una velocidad en dirección opuesta , es decir, retrocediendo en lugar de avanzar; un caso especial es la velocidad radial .
En el espacio 3D , las nociones relacionadas con el signo se pueden encontrar en las dos orientaciones normales y en la orientabilidad en general.
En informática , un valor entero puede tener signo o no, dependiendo de si la computadora realiza un seguimiento del signo del número. Al restringir una variable entera a valores no negativos únicamente, se puede usar un bit más para almacenar el valor de un número. Debido a la forma en que se realiza la aritmética de enteros en las computadoras, las representaciones de números con signo generalmente no almacenan el signo como un único bit independiente, sino que utilizan, por ejemplo, el complemento a dos .
Por el contrario, los números reales se almacenan y manipulan como valores de punto flotante . Los valores de coma flotante se representan mediante tres valores separados: mantisa, exponente y signo. Dado este bit de signo separado, es posible representar cero positivo y negativo. La mayoría de los lenguajes de programación normalmente tratan el cero positivo y el cero negativo como valores equivalentes, aunque proporcionan medios mediante los cuales se puede detectar la distinción.
Además del signo de un número real, la palabra signo también se utiliza de diversas formas relacionadas en las matemáticas y otras ciencias:
