Polinomio simétrico elemental

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , los polinomios simétricos elementales son un tipo de bloque de construcción básico para los polinomios simétricos , en el sentido de que cualquier polinomio simétrico puede expresarse como un polinomio en polinomios simétricos elementales. Es decir, cualquier polinomio simétrico $P$ está dado por una expresión que involucra solo sumas y multiplicaciones de constantes y polinomios simétricos elementales. Hay un polinomio simétrico elemental de grado $d$ en $n$ variables para cada entero positivo $d \leq n$ , y se forma sumando todos los productos distintos de $d$ variables distintas.

Definición

Los polinomios simétricos elementales en $n$ variables $X 1, ..., X n$ , escritos $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ , se definen por

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}

y así sucesivamente, terminando con

e_{n}(X_{1},X_{2},\puntos ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

En general, para $k \geq 0$ definimos

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}},

de modo que $e k (X 1, ..., X n) = 0$ si $k > n$ . (A veces, $1 = e 0 (X 1, ..., X n)$ se incluye entre los polinomios simétricos elementales, pero excluirlo permite una formulación generalmente más simple de resultados y propiedades).

Así, para cada entero positivo $k$ menor o igual a $n$ existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grado $k$ en $n$ variables. Para formar el que tiene grado $k$ , tomamos la suma de todos los productos de $k$ -subconjuntos de las $n$ variables. (Por el contrario, si uno realiza la misma operación utilizando multiconjuntos de variables, es decir, tomando variables con repetición, se llega a los polinomios simétricos homogéneos completos .)

Dada una partición entera (es decir, una secuencia finita no creciente de números enteros positivos) $λ = (λ 1, ..., λ m)$ , se define el polinomio simétrico $e λ (X 1, ..., X n)$ , también llamado polinomio simétrico elemental, por

e_{\lambda}(X_{1},\puntos ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\puntos ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\puntos ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\puntos ,X_{n})

A veces se utiliza la notación $σ k$ $en lugar de e k$ .

Ejemplos

A continuación se enumeran los $n$ polinomios simétricos elementales para los primeros cuatro valores positivos de $n$ .

Para $n = 1$ :

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

Para $n = 2$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

Para $n = 3$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

Para $n = 4$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4}, \\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{alineado}}

Propiedades

Los polinomios simétricos elementales aparecen cuando desarrollamos una factorización lineal de un polinomio mónico : tenemos la identidad

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Es decir, cuando sustituimos valores numéricos por las variables $X 1, X 2, ..., X n$ , obtenemos el polinomio univariante mónico (con variable $λ$ ) cuyas raíces son los valores sustituidos por $X 1, X 2, ..., X n$ y cuyos coeficientes son –hasta su signo– los polinomios simétricos elementales. Estas relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio se denominan fórmulas de Vieta .

El polinomio característico de una matriz cuadrada es un ejemplo de aplicación de las fórmulas de Vieta. Las raíces de este polinomio son los valores propios de la matriz . Cuando sustituimos estos valores propios en los polinomios simétricos elementales, obtenemos, hasta su signo, los coeficientes del polinomio característico, que son invariantes de la matriz. En particular, la traza (la suma de los elementos de la diagonal) es el valor de $e 1$ , y por tanto la suma de los valores propios. De manera similar, el determinante es, hasta el signo, el término constante del polinomio característico, es decir, el valor de $e n$ . Por tanto, el determinante de una matriz cuadrada es el producto de los valores propios.

El conjunto de polinomios simétricos elementales en $n$ variables genera el anillo de polinomios simétricos en $n$ variables. Más específicamente, el anillo de polinomios simétricos con coeficientes enteros es igual al anillo de polinomios enteros $[$ $e$ $1$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $), ...,$ $e$ $n$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)]$ . (Véase más abajo para una afirmación y demostración más generales .) Este hecho es uno de los fundamentos de la teoría de invariantes . Para otro sistema de polinomios simétricos con la misma propiedad, véase Polinomios simétricos homogéneos completos , y para un sistema con una propiedad similar, pero ligeramente más débil, véase Polinomio simétrico de suma de potencias . $\mathbb {Z}$

Teorema fundamental de los polinomios simétricos

Para cualquier anillo conmutativo $A$ , denotemos el anillo de polinomios simétricos en las variables $X 1, ..., X n$ con coeficientes en $A$ por $A [X 1, ..., X n] S n$ . Este es un anillo de polinomios en los n polinomios simétricos elementales $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ .

Esto significa que cada polinomio simétrico $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n$ tiene una representación única

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

para algún polinomio $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ . Otra forma de decir lo mismo es que el homomorfismo de anillo que envía $Y k$ a $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ define un isomorfismo entre $A [Y 1, ..., Y n]$ y $A [X 1, ..., X n] S n$ .

Boceto de prueba

El teorema puede demostrarse para polinomios homogéneos simétricos mediante una doble inducción con respecto al número de variables $n$ y, para $n$ fijo , con respecto al grado del polinomio homogéneo. El caso general se obtiene descomponiendo un polinomio simétrico arbitrario en sus componentes homogéneos (que también son simétricos).

En el caso $n = 1$ el resultado es trivial porque cada polinomio en una variable es automáticamente simétrico.

Supongamos ahora que el teorema ha sido demostrado para todos los polinomios para $m < n$ variables y todos los polinomios simétricos en $n$ variables con grado $< d$ . Todo polinomio simétrico homogéneo $P$ en $A [X 1, ..., X n] S n$ puede descomponerse como una suma de polinomios simétricos homogéneos

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunaria}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Aquí la "parte lacunaria" $P lacunaria$ se define como la suma de todos los monomios en $P$ que contienen sólo un subconjunto propio de las $n$ variables $X 1, ..., X n$ , es decir, donde falta al menos una variable $X j .$

Como $P$ es simétrico, la parte lacunar está determinada por sus términos que contienen sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ , es decir, que no contienen $a X n$ . Más precisamente: si $A$ y $B$ son dos polinomios simétricos homogéneos en $X 1, ..., X n$ que tienen el mismo grado, y si el coeficiente de $A$ antes de cada monomio que contiene sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ es igual al coeficiente correspondiente de $B$ , entonces $A$ y $B$ tienen partes lacunares iguales. (Esto se debe a que todo monomio que puede aparecer en una parte lacunar debe carecer de al menos una variable, y por lo tanto puede transformarse por una permutación de las variables en un monomio que contiene sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ .)

Pero los términos de $P$ que contienen sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ son precisamente los términos que sobreviven a la operación de fijar $X n$ a 0, por lo que su suma es igual a $P (X 1, ..., X n - 1, 0)$ , que es un polinomio simétrico en las variables $X 1, ..., X n - 1$ que denotaremos por $P̃ (X 1, ..., X n - 1)$ . Por la hipótesis inductiva, este polinomio puede escribirse como

{\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})

para algún $Q̃$ . Aquí los $σ j doblemente indexados , n - 1$ denotan los polinomios simétricos elementales en $n - 1$ variables.

Consideremos ahora el polinomio

R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).

Entonces $R (X 1, ..., X n)$ es un polinomio simétrico en $X 1, ..., X n$ , del mismo grado que $P lacunario$ , que satisface

R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)

(la primera igualdad se cumple porque al fijar $X n$ en 0 en $σ j, n$ se obtiene $σ j, n - 1$ , para todo $j < n$ ). En otras palabras, el coeficiente de $R$ antes de cada monomio que contiene sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ es igual al coeficiente correspondiente de $P$ . Como sabemos, esto demuestra que la parte lacunaria de $R$ coincide con la del polinomio original $P$ . Por tanto, la diferencia $P - R$ no tiene parte lacunaria, y por tanto es divisible por el producto $X 1 \cdot\cdot\cdot X n$ de todas las variables, que es igual al polinomio simétrico elemental $σ n, n$ . Escribiendo entonces $P - R = σ n, n Q$ , el cociente $Q$ es un polinomio simétrico homogéneo de grado menor que $d$ (de hecho, de grado como máximo $d - n$ ) que, por la hipótesis inductiva, puede expresarse como un polinomio en las funciones simétricas elementales. Combinando las representaciones para $P - R$ y $R$ se encuentra una representación polinómica para $P$ .

La unicidad de la representación se puede demostrar inductivamente de manera similar. (Es equivalente al hecho de que los $n$ polinomios $e 1, ..., e n$ son algebraicamente independientes sobre el anillo $A$ .) El hecho de que la representación polinomial sea única implica que $A [X 1, ..., X n] S n$ es isomorfo a $A [Y 1, ..., Y n]$ .

Prueba alternativa

La siguiente demostración también es inductiva, pero no involucra otros polinomios que aquellos simétricos en $X 1, ..., X n$ , y también conduce a un procedimiento bastante directo para escribir efectivamente un polinomio simétrico como un polinomio en los simétricos elementales. Suponga que el polinomio simétrico es homogéneo de grado $d$ ; diferentes componentes homogéneos pueden descomponerse por separado. Ordene los monomios en las variables $X i$ lexicográficamente , donde las variables individuales están ordenadas $X 1 > ... > X n$ , en otras palabras, el término dominante de un polinomio es uno con la potencia más alta de $X 1$ , y entre ellos el que tiene la potencia más alta de $X 2$ , etc. Además parametrice todos los productos de polinomios simétricos elementales que tienen grado $d$ (de hecho son homogéneos) como sigue por particiones de $d$ . Ordene los polinomios simétricos elementales individuales $e i (X 1, ..., X n)$ en el producto de modo que aquellos con índices mayores $i$ vengan primero, luego construya para cada uno de esos factores una columna de $i$ cajas, y ordene esas columnas de izquierda a derecha para formar un diagrama de Young que contenga $d$ cajas en total. La forma de este diagrama es una partición de $d$ , y cada partición $λ$ de $d$ surge para exactamente un producto de polinomios simétricos elementales, que denotaremos por $e λ t (X 1, ..., X n$ ) (la $t$ está presente solo porque tradicionalmente este producto está asociado a la partición transpuesta de $λ$ ). El ingrediente esencial de la prueba es la siguiente propiedad simple, que usa notación de índices múltiples para monomios en las variables $X i$ .

Lema . El término principal de $e λ t (X 1, ..., X n)$ es $X λ$ .

Demostración . El término principal del producto es el producto de los términos principales de cada factor (esto es cierto siempre que se use un orden monomial , como el orden lexicográfico usado aquí), y el término principal del factor

e i (X 1, ..., X n)

es claramente

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

. Para contar las ocurrencias de las variables individuales en el monomio resultante, llene la columna del diagrama de Young correspondiente al factor en cuestión con los números

1, ..., i

de las variables, luego todas las casillas en la primera fila contienen 1, las de la segunda fila 2, y así sucesivamente, lo que significa que el término principal es

X λ

Ahora se prueba por inducción sobre el monomio principal en orden lexicográfico, que cualquier polinomio simétrico homogéneo distinto de cero $P$ de grado $d$ puede escribirse como polinomio en los polinomios simétricos elementales. Como $P$ es simétrico, su monomio principal tiene exponentes débilmente decrecientes, por lo que es algún $X λ$ con $λ$ una partición de $d$ . Sea $c$ el coeficiente de este término , entonces $P - ce λ t (X 1, ..., X n)$ es cero o un polinomio simétrico con un monomio principal estrictamente más pequeño. Escribiendo esta diferencia inductivamente como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, y sumándole $ce λ t (X 1, ..., X n)$ , se obtiene la expresión polinómica buscada para $P$ .

El hecho de que esta expresión sea única, o equivalentemente que todos los productos (monomios) $e λ t (X 1, ..., X n)$ de polinomios simétricos elementales sean linealmente independientes, también se demuestra fácilmente. El lema muestra que todos estos productos tienen diferentes monomios principales, y esto basta: si una combinación lineal no trivial de los $e λ t (X 1, ..., X n)$ fuera cero, uno se centra en la contribución en la combinación lineal con coeficiente distinto de cero y con (como polinomio en las variables $X i$ ) el monomio principal más grande; el término principal de esta contribución no puede ser cancelado por ninguna otra contribución de la combinación lineal, lo que da una contradicción.

Véase también

Referencias

Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de Hall (2.ª ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.
Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa, vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.

Enlaces externos

Trifonov, Martin (5 de marzo de 2024). Preludio a la teoría de Galois: exploración de polinomios simétricos (vídeo). YouTube . Consultado el 26 de marzo de 2024 .