Las fórmulas de Vieta

Relacionar coeficientes y raíces de un polinomio

François Viète

En matemáticas, las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces . ^[1] Su nombre se debe a François Viète (más comúnmente conocido por la forma latinizada de su nombre, "Franciscus Vieta").

Fórmulas básicas

Cualquier polinomio general de grado n (cuyos coeficientes sean números reales o complejos y a _n ≠ 0 ) tiene n raíces complejas (no necesariamente distintas) r ₁ , r ₂ , ..., r _n según el teorema fundamental del álgebra . Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes polinómicos con las sumas con signo de los productos de las raíces r ₁ , r ₂ , ..., r _n de la siguiente manera: $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$

Las fórmulas de Vieta se pueden escribir de manera equivalente como para k = 1, 2, ..., n (los índices i x _k se ordenan en orden creciente para garantizar que cada producto de k raíces se use exactamente una vez). $${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$$

Los lados izquierdos de las fórmulas de Vieta son los polinomios simétricos elementales de las raíces.

El sistema de Vieta (*) puede resolverse mediante el método de Newton a través de una fórmula iterativa explícita simple, el método de Durand-Kerner .

Generalización a anillos

Las fórmulas de Vieta se utilizan frecuentemente con polinomios con coeficientes en cualquier dominio integral R . Entonces, los cocientes pertenecen al campo de fracciones de R (y posiblemente están en R mismo si resulta ser invertible en R ) y las raíces se toman en una extensión algebraicamente cerrada . Típicamente, R es el anillo de los números enteros , el campo de fracciones es el campo de los números racionales y el campo algebraicamente cerrado es el campo de los números complejos . ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Las fórmulas de Vieta son entonces útiles porque proporcionan relaciones entre las raíces sin tener que calcularlas.

Para polinomios sobre un anillo conmutativo que no es un dominio integral, las fórmulas de Vieta solo son válidas cuando no es un divisor de cero y se factoriza como . Por ejemplo, en el anillo de los enteros módulo 8, el polinomio cuadrático tiene cuatro raíces: 1, 3, 5 y 7. Las fórmulas de Vieta no son verdaderas si, por ejemplo, y , porque . Sin embargo, sí se factoriza como y también como , y las fórmulas de Vieta son válidas si establecemos y o y . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$ ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=3}$ ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x-1)(x-7)}$ ${\displaystyle (x-3)(x-5)}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=7}$ ${\displaystyle r_{1}=3}$ ${\displaystyle r_{2}=5}$

Ejemplo

Fórmulas de Vieta aplicadas a polinomios cuadráticos y cúbicos :

Las raíces del polinomio cuadrático satisfacen ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

La primera de estas ecuaciones se puede utilizar para encontrar el mínimo (o máximo) de P ; ver Ecuación cuadrática § Fórmulas de Vieta .

Las raíces del polinomio cúbico satisfacen ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

Prueba

Prueba directa

Las fórmulas de Vieta se pueden demostrar desarrollando la igualdad (lo cual es cierto ya que son todas las raíces de este polinomio), multiplicando los factores del lado derecho e identificando los coeficientes de cada potencia de $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle x.}$

Formalmente, si uno desarrolla los términos son precisamente donde es 0 o 1, según si está incluido en el producto o no, y k es el número de que están incluidos, por lo que el número total de factores en el producto es n (contando con multiplicidad k ) – como hay n opciones binarias (incluir o x ), hay términos – geométricamente, estos pueden entenderse como los vértices de un hipercubo. Agrupando estos términos por grado se obtienen los polinomios simétricos elementales en – para x ^k , todos los productos k -fold distintos de ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}$ ${\displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}.}$

Como ejemplo, considere la ecuación cuadrática $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

Comparando potencias idénticas de , encontramos , y , con las que podemos, por ejemplo, identificar y , que son las fórmulas de Vieta para . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Demostración por inducción matemática

Las fórmulas de Vieta también se pueden probar por inducción como se muestra a continuación.

Hipótesis inductiva:

Sea un polinomio de grado , con raíces complejas y coeficientes complejos donde . Entonces la hipótesis inductiva es que ${\displaystyle {P(x)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}},{\dots },{r_{n}}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {a_{n}}\neq 0}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$

Caso base, (cuadrático): ${\displaystyle n=2}$

Sean los coeficientes de la ecuación cuadrática y el término constante. De manera similar, sean las raíces de la ecuación cuadrática: Desarrolle el lado derecho usando la propiedad distributiva : Agrupe los términos semejantes : Aplique la propiedad distributiva nuevamente: La hipótesis inductiva ahora se ha demostrado verdadera para . ${\displaystyle {a_{2}},{a_{1}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}}}$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}}$$ ${\displaystyle n=2}$

Paso de inducción:

Suponiendo que la hipótesis inductiva es válida para todos , debe ser válida para todos . Por el teorema del factor , se puede factorizar de dejando un resto 0. Nótese que las raíces del polinomio entre corchetes son : Factoriza , el coeficiente principal , del polinomio entre corchetes: Para simplificar, permita que los coeficientes y la constante del polinomio se denoten como : Usando la hipótesis inductiva, el polinomio entre corchetes se puede reescribir como: Usando la propiedad distributiva: Después de expandir y agrupar términos iguales: La hipótesis inductiva es válida para , por lo tanto, debe ser verdadera ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}$$ ${\displaystyle {(x-r_{n+1})}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}$ $${\displaystyle {P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle P(x)}$ $${\displaystyle {P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{\zeta _{n-1}x^{n-1}}+{\cdots }+{\zeta _{0}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]})}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$

Conclusión: Al dividir ambos lados por , se demuestra que las fórmulas de Vieta son verdaderas. $${\displaystyle {a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

Historia

Como lo refleja el nombre, las fórmulas fueron descubiertas por el matemático francés del siglo XVI François Viète , para el caso de raíces positivas.

En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton , citado por Funkhouser, ^[2] el principio general (no restringido a raíces reales positivas) fue comprendido por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard :

...[Girard fue] la primera persona que comprendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero que descubrió las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Contenido (álgebra)
• La regla de los signos de Descartes
• Las identidades de Newton
• Teorema de Gauss-Lucas
• Propiedades de las raíces polinómicas
• Teorema de la raíz racional
• Polinomio simétrico y polinomio simétrico elemental

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (22 de junio de 2024). "Fórmulas de Vieta". MathWorld--Un recurso web de Wolfram .
2. (Funkhouser 1930)

• "Teorema de Viète", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Una breve descripción de la historia de las funciones simétricas de las raíces de las ecuaciones", American Mathematical Monthly , 37 (7), Mathematical Association of America: 357–365, doi :10.2307/2299273, JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Un curso de álgebra , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4
• Djukić, Dušan; et al. (2006), El compendio de la OMI: una colección de problemas sugeridos para las Olimpíadas Internacionales de Matemáticas, 1959-2004 , Springer, Nueva York, NY, ISBN 0-387-24299-6