teoría invariante

La teoría de invariantes es una rama del álgebra abstracta que se ocupa de las acciones de grupos sobre variedades algebraicas , como los espacios vectoriales, desde el punto de vista de su efecto sobre funciones. Clásicamente, la teoría abordaba la cuestión de la descripción explícita de funciones polinomiales que no cambian, o son invariantes , bajo las transformaciones de un grupo lineal dado . Por ejemplo, si consideramos la acción del grupo lineal especial SL _n sobre el espacio de matrices n por n mediante multiplicación por la izquierda, entonces el determinante es un invariante de esta acción porque el determinante de AX es igual al determinante de X , cuando A es en SL _n .

Introducción

Sea un grupo y un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo (que en la teoría invariante clásica generalmente se suponía que eran los números complejos ). Una representación de in es un homomorfismo de grupo , que induce una acción grupal de on . Si es el espacio de funciones polinómicas on , entonces la acción grupal de on produce una acción on mediante la siguiente fórmula: $G$ $V$ $k$ $G$ $V$ $\pi :G\a GL(V)$ $G$ $V$ $k[V]$ $V$ $G$ $V$ $k[V]$

(g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].

Con esta acción es natural considerar el subespacio de todas las funciones polinómicas que son invariantes bajo esta acción grupal, es decir, el conjunto de polinomios tales que para todos . Este espacio de polinomios invariantes se denota . $g\cdot f=f$ $g\en G$ $k[V]^{G}$

Primer problema de la teoría invariante : ^[1] ¿ Se acabó un álgebra generada finitamente ? $k[V]^{G}$ $k$

Por ejemplo, si y el espacio de matrices cuadradas, y la acción de on está dada por la multiplicación por la izquierda, entonces es isomorfo a un álgebra polinómica en una variable, generada por el determinante. En otras palabras, en este caso, todo polinomio invariante es una combinación lineal de potencias del polinomio determinante. Entonces, en este caso, se genera de forma finita . $G=SL_{n}$ $V=M_{n}$ $G$ $V$ $k[V]^{G}$ $k[V]^{G}$ $k$

Si la respuesta es sí, entonces la siguiente pregunta es encontrar una base mínima y preguntar si el módulo de relaciones polinómicas entre los elementos de la base (conocido como sicigias ) se genera de forma finita . $k[V]$

La teoría invariante de grupos finitos tiene conexiones íntimas con la teoría de Galois . Uno de los primeros resultados importantes fue el teorema principal sobre las funciones simétricas que describía las invariantes del grupo simétrico que actúan sobre el anillo polinómico ] mediante permutaciones de las variables. De manera más general, el teorema de Chevalley-Shephard-Todd caracteriza grupos finitos cuyo álgebra de invariantes es un anillo polinomial. La investigación moderna en teoría invariante de grupos finitos enfatiza los resultados "eficaces", como los límites explícitos de los grados de los generadores. El caso de la característica positiva , ideológicamente cercano a la teoría de la representación modular , es un área de estudio activo, con vínculos con la topología algebraica . ${\ Displaystyle S_ {n}}$ $R[x_{1},\ldots,x_{n}$

La teoría invariante de grupos infinitos está indisolublemente ligada al desarrollo del álgebra lineal , especialmente, a las teorías de formas cuadráticas y determinantes . Otro tema con fuerte influencia mutua fue la geometría proyectiva , donde se esperaba que la teoría invariante desempeñara un papel importante en la organización del material. Uno de los aspectos más destacados de esta relación es el método simbólico . La teoría de la representación de grupos de Lie semisimples tiene sus raíces en la teoría invariante.

El trabajo de David Hilbert sobre la cuestión de la generación finita del álgebra de invariantes (1890) dio como resultado la creación de una nueva disciplina matemática, el álgebra abstracta. Un artículo posterior de Hilbert (1893) abordó las mismas cuestiones de manera más constructiva y geométrica, pero permaneció prácticamente desconocido hasta que David Mumford resucitó estas ideas en la década de 1960, en una forma considerablemente más general y moderna, en su invariante geométrica. teoría . En gran medida debido a la influencia de Mumford, se considera que el tema de la teoría invariante abarca la teoría de las acciones de grupos algebraicos lineales sobre variedades afines y proyectivas . Gian-Carlo Rota y su escuela han desarrollado una corriente distinta de teoría invariante, que se remonta a los métodos constructivos y combinatorios clásicos del siglo XIX . Un ejemplo destacado de este círculo de ideas lo ofrece la teoría de los monomios estándar .

Ejemplos

Ejemplos simples de teoría invariante provienen del cálculo de los monomios invariantes de una acción grupal. Por ejemplo, considere la acción -al enviar $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {C} [x,y]$

{\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}

Entonces, como los monomios de menor grado son invariantes, tenemos que $x^{2},xy,y^{2}$

\mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}] \cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}

Este ejemplo constituye la base para realizar muchos cálculos.

Los orígenes del siglo XIX

La teoría de las invariantes nació a mediados del siglo XIX, algo así como Minerva : una virgen adulta, envuelta en la brillante armadura del álgebra, surgió de la cabeza joviana de Cayley .

Weyl (1939b, p.489)

Cayley estableció por primera vez la teoría invariante en su "Sobre la teoría de las transformaciones lineales (1845)". En la apertura de su artículo, Cayley da crédito a un artículo de 1841 de George Boole : "un artículo muy elegante sobre el mismo tema... del Sr. Boole me sugirió investigaciones". ^{(El artículo de Boole fue Exposición} de una teoría general de transformaciones lineales, Cambridge Mathematical Journal).

Clásicamente, el término "teoría invariante" se refiere al estudio de formas algebraicas invariantes (equivalentemente, tensores simétricos ) para la acción de transformaciones lineales . Este fue un campo de estudio importante en la última parte del siglo XIX. Las teorías actuales relacionadas con el grupo simétrico y las funciones simétricas , el álgebra conmutativa , los espacios de módulos y las representaciones de grupos de Lie tienen sus raíces en esta área.

Con mayor detalle, dado un espacio vectorial de dimensión finita V de dimensión n podemos considerar el álgebra simétrica S ( S ^r ( V ) ) de los polinomios de grado r sobre V , y la acción sobre ella de GL( V ). En realidad, es más exacto considerar las invariantes relativas de GL( V ), o representaciones de SL( V ), si vamos a hablar de invariantes : esto se debe a que un múltiplo escalar de la identidad actuará sobre un tensor de rango r. en S( V ) a través de la r -ésima potencia 'peso' del escalar. El punto es entonces definir la subálgebra de invariantes I ( S ^r ( V )) para la acción. En lenguaje clásico, estamos analizando invariantes de n -arios r -ics, donde n es la dimensión de V . (Esto no es lo mismo que encontrar invariantes de GL( V ) en S( V ); este es un problema poco interesante ya que las únicas invariantes de este tipo son las constantes). El caso que más se estudió fue el de las invariantes de formas binarias donde n = 2.

Otro trabajo incluyó el de Felix Klein en el cálculo de los anillos invariantes de acciones de grupos finitos (los grupos poliédricos binarios , clasificados según la clasificación ADE ); estos son los anillos de coordenadas de las singularidades de du Val . $\mathbf {C} ^{2}$

Como el fénix árabe que resurge de sus cenizas, la teoría de las invariantes, declarada muerta a principios de siglo, vuelve a estar a la vanguardia de las matemáticas.

Kung y Rota (1984, p.27)

El trabajo de David Hilbert , que demostró que I ( V ) se presentaba de forma finita en muchos casos, casi puso fin a la teoría invariante clásica durante varias décadas, aunque la época clásica en el tema continuó hasta las últimas publicaciones de Alfred Young , más de 50 años. años después. En los tiempos modernos se conocen cálculos explícitos para propósitos particulares (por ejemplo, Shioda, con las octavicas binarias).

teoremas de hilbert

Hilbert (1890) demostró que si V es una representación de dimensión finita del grupo algebraico complejo G = SL _n ( C ) entonces el anillo de invariantes de G que actúa sobre el anillo de polinomios R = S ( V ) se genera de forma finita. Su prueba utilizó el operador de Reynolds ρ de R a R ^G con las propiedades

ρ (1) = 1
ρ ( una + segundo ) = ρ ( una ) + ρ ( segundo )
ρ ( ab ) = a ρ ( b ) siempre que a sea un invariante.

Hilbert construyó el operador de Reynolds explícitamente usando el proceso omega de Cayley Ω, aunque ahora es más común construir ρ indirectamente de la siguiente manera: para grupos compactos G , el operador de Reynolds viene dado tomando el promedio sobre G , y los grupos reductivos no compactos pueden ser reducido al caso de grupos compactos que utilizan el truco unitario de Weyl .

Dado el operador de Reynolds, el teorema de Hilbert se demuestra de la siguiente manera. El anillo R es un anillo polinómico, por lo que se clasifica por grados, y el ideal I se define como el ideal generado por las invariantes homogéneas de grados positivos. Según el teorema de la base de Hilbert, el ideal I se genera de forma finita (como ideal). Por lo tanto, I es generado de manera finita por un número finito de invariantes de G (porque si se nos da cualquier subconjunto S , posiblemente infinito, que genere un ideal I generado de manera finita , entonces I ya está generado por algún subconjunto finito de S ). Sea i ₁ ,..., i _n un conjunto finito de invariantes de G que generan I (como ideal). La idea clave es mostrar que estos generan el anillo R ^G de invariantes. Supongamos que x es algún invariante homogéneo de grado d > 0. Entonces

x = un ₁yo ₁ + ... + un _norteyo _n

para algunos a _j en el anillo R porque x está en el ideal I . Podemos suponer que a _j es homogénea de grado d − grados i _j para cada j (de lo contrario, reemplazamos a _j por su componente homogénea de grado d − grados i _j ; si hacemos esto para cada j , la ecuación x = a ₁i ₁ + ... + a _n i _n seguirán siendo válidos). Ahora, aplicando el operador de Reynolds a x = a ₁i ₁ + ... + a _n i _n se obtiene

x = ρ( una ₁ ) yo ₁ + ... + ρ ( una _n ) yo _n

Ahora vamos a demostrar que x se encuentra en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n .

Primero, hagamos esto en el caso en que todos los elementos ρ( a _k ) tengan un grado menor que d . En este caso, todos están en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n (según nuestra suposición de inducción). Por lo tanto, x también está en esta R -álgebra (ya que x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n ).

En el caso general, no podemos estar seguros de que todos los elementos ρ( a _k ) tengan un grado menor que d . Pero podemos reemplazar cada ρ( a _k ) por su componente homogénea de grado d − grados i _j . Como resultado, estos ρ( a _k ) modificados siguen siendo G -invariantes (porque cada componente homogéneo de un G -invariante es un G -invariante) y tienen un grado menor que d (ya que grados i _k > 0). La ecuación x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n todavía es válida para nuestra ρ( a _k ) modificada, por lo que podemos concluir nuevamente que x se encuentra en el álgebra R generada por i ₁ en .

Por lo tanto, por inducción en el grado, todos los elementos de R ^G están en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n .

Teoría invariante geométrica

La formulación moderna de la teoría del invariante geométrico se debe a David Mumford , y enfatiza la construcción de un cociente por la acción grupal que debe captar información invariante a través de su anillo de coordenadas. Es una teoría sutil, en el sentido de que el éxito se obtiene excluyendo algunas órbitas "malas" e identificando otras con órbitas "buenas". En un desarrollo separado se ha rehabilitado el método simbólico de la teoría invariante , una notación combinatoria aparentemente heurística.

Una motivación fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con la geometría simpléctica y la topología equivariante, y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .

Ver también

Referencias

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enlaces externos

H. Kraft, C. Procesi, Teoría clásica invariante, introducción
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