Función simétrica

Función que es invariante bajo todas las permutaciones de sus variables.

En matemáticas , una función de variables es simétrica si su valor es el mismo sin importar el orden de sus argumentos . Por ejemplo, una función de dos argumentos es una función simétrica si y sólo si para todos y tales que y están en el dominio de Las funciones simétricas más comunes son funciones polinómicas , que están dadas por los polinomios simétricos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f.}$

Una noción relacionada es la de polinomios alternos , que cambian de signo bajo un intercambio de variables. Aparte de las funciones polinomiales, los tensores que actúan como funciones de varios vectores pueden ser simétricos y, de hecho, el espacio de tensores simétricos en un espacio vectorial es isomorfo al espacio de polinomios homogéneos de grado en funciones simétricas. No deben confundirse con pares y funciones impares , que tienen un tipo diferente de simetría. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$

Simetrización

Dada cualquier función en variables con valores en un grupo abeliano , se puede construir una función simétrica sumando los valores de todas las permutaciones de los argumentos. De manera similar, se puede construir una función antisimétrica sumando permutaciones pares y restando la suma de permutaciones impares . Por supuesto, estas operaciones no son invertibles y bien podrían dar como resultado una función que sea idénticamente cero para funciones no triviales. El único caso general en el que se puede recuperar si se conocen tanto su simetrización como su antisimetrización es cuando y el grupo abeliano admite una división por 2 ( inversa de duplicar); entonces es igual a la mitad de la suma de su simetrización y su antisimetrización. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

• Considere la función real
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$
  Por definición, una función simétrica con variables tiene la propiedad de que ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$
  En general, la función sigue siendo la misma para cada permutación de sus variables. Esto significa que, en este caso,
  $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$
  y así sucesivamente, para todas las permutaciones de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$
• Considere la función
  $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$
  Si y se intercambian la función se convierte en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
  $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$
  que produce exactamente los mismos resultados que el original ${\displaystyle f(x,y).}$
• Consideremos ahora la función
  $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$
  Si y se intercambian, la función se convierte en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
  $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$
  Esta función no es la misma que la original, lo que la hace no simétrica. ${\displaystyle a\neq b,}$

Aplicaciones

estadística U

En estadística , una estadística de muestra (una función en variables) que se obtiene mediante la simetrización inicial de una estadística de muestra, lo que produce una función simétrica en variables, se llama estadística U. Los ejemplos incluyen la media muestral y la varianza muestral . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• Polinomio alterno
• Polinomio simétrico elemental  : polinomio simétrico homogéneo en el que cada monomio posible ocurre exactamente una vez con coeficiente 1Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Funciones pares e impares  : funciones tales que f(–x) es igual a f(x) o –f(x)
• Variables aleatorias intercambiables  – Concepto en estadística
• Función cuasisimétrica
• Anillo de funciones simétricas.
• Simetrización  : proceso que convierte cualquier función en n variables en una función simétrica en n variablesPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Polinomio de Vandermonde  - determinante de la matriz de VandermondePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• FN David , MG Kendall y DE Barton (1966) Función simétrica y tablas afines , Cambridge University Press .
• Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota y Catherine H. Yan (2009) Combinatoria: The Rota Way , §5.1 Funciones simétricas, págs. 222–5, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-73794-4 .