Polinomio alterno

En álgebra, un polinomio alterno es un polinomio tal que si se intercambian dos de las variables, el polinomio cambia de signo: ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

De manera equivalente, si se permutan las variables, el polinomio cambia de valor según el signo de la permutación :

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

De manera más general, se dice que un polinomio es alterno si cambia de signo si se intercambian dos cualesquiera de los , dejando el fijo. ^[1] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$

Relación con polinomios simétricos

Los productos de polinomios simétricos y alternos (en las mismas variables ) se comportan así: ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

• el producto de dos polinomios simétricos es simétrico,
• el producto de un polinomio simétrico y un polinomio alterno es alterno, y
• El producto de dos polinomios alternados es simétrico.

Esta es exactamente la tabla de adición para la paridad , donde "simétrico" corresponde a "par" y "alterno" corresponde a "impar". Por lo tanto, la suma directa de los espacios de polinomios simétricos y alternos forma una superálgebra ( álgebra graduada a ), donde los polinomios simétricos son la parte par y los polinomios alternados son la parte impar. Esta graduación no está relacionada con la graduación de los polinomios por grado . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

En particular, los polinomios alternados forman un módulo sobre el álgebra de polinomios simétricos (la parte impar de una superálgebra es un módulo sobre la parte par); de hecho es un módulo libre de rango 1, con el polinomio de Vandermonde en n variables como generador.

Si la característica del anillo de coeficientes es 2, no hay diferencia entre los dos conceptos: los polinomios alternados son precisamente los polinomios simétricos.

Polinomio de Vandermonde

El polinomio alterno básico es el polinomio de Vandermonde :

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Esto es claramente alternante, ya que al cambiar dos variables cambia el signo de un término y no cambia los otros. ^[2]

Los polinomios alternados son exactamente el polinomio de Vandermonde multiplicado por un polinomio simétrico: donde es simétrico. Esto se debe a que: ${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle v_{n}}$es un factor de cada polinomio alterno: es un factor de cada polinomio alterno, como si , el polinomio fuera cero (ya que cambiarlos no cambia el polinomio, obtenemos ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

por lo tanto es un factor), y por lo tanto es un factor. ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle v_{n}}$

• Un polinomio alterno multiplicado por un polinomio simétrico es un polinomio alterno; por lo tanto, todos los múltiplos de son polinomios alternos. ${\displaystyle v_{n}}$

Por el contrario, el cociente de dos polinomios alternados es una función simétrica, posiblemente racional (no necesariamente un polinomio), aunque el cociente de un polinomio alternado sobre el polinomio de Vandermonde es un polinomio. Los polinomios de Schur se definen de esta manera, como un polinomio alternado dividido por el polinomio de Vandermonde.

Estructura de anillo

Así, denotando el anillo de polinomios simétricos por Λ _n , el anillo de polinomios simétricos y alternos es , o más precisamente , donde es un polinomio simétrico, el discriminante . ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle }$ ${\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}}$

Es decir, el anillo de polinomios simétricos y alternos es una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos, donde se ha añadido una raíz cuadrada del discriminante.

Alternativamente, es:

${\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .}$

Si 2 no es invertible, la situación es algo diferente y se debe utilizar un polinomio diferente y se obtiene una relación diferente; véase Romagny. ${\displaystyle W_{n}}$

Teoría de la representación

Desde la perspectiva de la teoría de la representación , los polinomios simétricos y alternados son subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico sobre n letras en el anillo de polinomios en n variables. (Formalmente, el grupo simétrico actúa sobre n letras y, por lo tanto, actúa sobre objetos derivados, particularmente objetos libres sobre n letras, como el anillo de polinomios).

El grupo simétrico tiene dos representaciones unidimensionales: la representación trivial y la representación de signo. Los polinomios simétricos son la representación trivial y los polinomios alternados son la representación de signo. Formalmente, el intervalo escalar de cualquier polinomio simétrico (o alternado) es una representación trivial (o de signo) del grupo simétrico, y la multiplicación de los polinomios tensa las representaciones.

En la característica 2, estas no son representaciones distintas y el análisis es más complicado.

Si , también existen otras subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico sobre el anillo de polinomios, como se analiza en la teoría de representaciones del grupo simétrico . ${\displaystyle n>2}$

Inestable

Los polinomios alternados son un fenómeno inestable: el anillo de polinomios simétricos en n variables se puede obtener a partir del anillo de polinomios simétricos en un número arbitrario de variables evaluando todas las variables anteriores a cero: los polinomios simétricos son, por tanto, estables o compatibles. Sin embargo, este no es el caso de los polinomios alternados, en particular el polinomio de Vandermonde . ${\displaystyle x_{n}}$

Véase también

• Polinomio simétrico
• Clase de Euler

Notas

1. Giambruno y Zaicev (2005), pág. 12.
2. Más bien, sólo reordena los otros términos: para , cambia y cambia a , e intercambia con , pero no cambia su signo. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{2})}$

Referencias

• Giambruno, Antonio; Zaicev, Mikhail (2005). Identidades polinómicas y métodos asintóticos. Vol. 122. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3829-7.
• El teorema fundamental de las funciones alternas, por Matthieu Romagny, 15 de septiembre de 2005