La fórmula de Molien

En matemáticas , la fórmula de Molien calcula la función generadora asociada a una representación lineal de un grupo G en un espacio vectorial de dimensión finita , que cuenta los polinomios homogéneos de un grado total dado que son invariantes para G. Lleva el nombre de Theodor Molien .

Precisamente, dice: dada una representación compleja de dimensión finita V de G y , el espacio de funciones polinómicas homogéneas en V de grado n (los polinomios homogéneos de grado uno son precisamente funcionales lineales), si G es un grupo finito, la serie (llamada serie de Molien ) se puede calcular como: ^[1] ${\displaystyle R_{n}=\mathbb {C} [V]_{n}=\operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\dim(R_{n}^{G})t^{n}=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}\det(1-tg|V^{*})^{-1}.}$

Aquí, es el subespacio de que consta de todos los vectores fijados por todos los elementos de G ; es decir, formas invariantes de grado n . Por lo tanto, la dimensión de es el número de invariantes de grado n . Si G es un grupo compacto, la fórmula similar se cumple en términos de la medida de Haar. ${\displaystyle R_{n}^{G}}$ ${\displaystyle R_{n}}$

Derivación

Denotemos los caracteres irreducibles de un grupo finito G y V , R como se indica arriba. Entonces el carácter de puede escribirse como: ${\displaystyle \chi _{1},\dots ,\chi _{r}}$ ${\displaystyle \chi _{R_{n}}}$ ${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle \chi _{R_{n}}=\sum _{i=1}^{r}a_{i,n}\chi _{i}.}$

Aquí, cada uno viene dado por el producto interno: ${\displaystyle a_{i,n}}$

${\displaystyle a_{i,n}=\langle \chi _{R_{n}},\chi _{i}\rangle =(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\chi _{R_{n}}(g)=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{|\alpha |=n}\lambda (g)^{\alpha }}$

donde y son los posibles valores propios repetidos de . Ahora, calculamos la serie: ${\textstyle \lambda (g)^{\alpha }=\prod _{i=1}^{m}\lambda _{i}(g)^{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(g),\dots ,\lambda _{m}(g)}$ ${\displaystyle g:V^{*}\to V^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{i,n}t^{n}&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{\alpha }(\lambda _{1}(g)t)^{\alpha _{1}}\cdots (\lambda _{m}(g)t)^{\alpha _{m}}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)(1-\lambda _{1}(g)t)^{-1}\cdots (1-\lambda _{m}(g)t)^{-1}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\det(1-tg|V^{*})^{-1}.\end{aligned}}}$

Tomando como personaje trivial se obtiene la fórmula de Molien. ${\displaystyle \chi _{i}}$

Ejemplo

Consideremos el grupo simétrico que actúa sobre R ³ permutando las coordenadas. Sumamos la suma por elementos del grupo, de la siguiente manera. Comenzando con la identidad, tenemos ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1-t&0&0\\0&1-t&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)^{3}}$.

Existe una clase de conjugación de tres elementos de , que consiste en intercambios de dos coordenadas. Esto da tres términos de la forma ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\-t&1&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)(1-t^{2}).}$

Existe una clase de conjugación de dos elementos de permutaciones cíclicas, que produce dos términos de la forma

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&1&-t\\-t&0&1\end{pmatrix}}=\left(1-t^{3}\right).}$

Nótese que diferentes elementos de la misma clase de conjugación dan como resultado el mismo determinante. Por lo tanto, la serie de Molien es

${\displaystyle M(t)={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{(1-t)^{3}}}+{\frac {3}{(1-t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t^{2})(1-t^{3})}}.}$

Por otro lado, podemos expandir la serie geométrica y multiplicarla para obtener

${\displaystyle M(t)=(1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots )(1+t^{2}+t^{4}+\cdots )(1+t^{3}+t^{6}+\cdots )=1+t+2t^{2}+3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+7t^{6}+8t^{7}+10t^{8}+12t^{9}+\cdots }$

Los coeficientes de la serie nos indican el número de polinomios homogéneos linealmente independientes en tres variables que son invariantes ante permutaciones de las tres variables, es decir, el número de polinomios simétricos independientes en tres variables. De hecho, si consideramos los polinomios simétricos elementales

${\displaystyle \sigma _{1}=x+y+z}$

${\displaystyle \sigma _{2}=xy+xz+yz}$

${\displaystyle \sigma _{3}=xyz}$

podemos ver por ejemplo que en el grado 5 hay una base que consiste en , , , y . ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{3}\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{5}}$

(De hecho, si multiplicas la serie a mano, puedes ver que el término proviene de combinaciones de , , y que corresponden exactamente a combinaciones de , , y , que también corresponden a particiones de con , , y como partes. Ver también Partición (teoría de números) y Teoría de la representación del grupo simétrico .) ${\displaystyle t^{k}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle t^{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$

Referencias

1. La fórmula también es verdadera sobre un campo algebraicamente cerrado de característica que no divide el orden de G.

• David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea (2005), Uso de la geometría algebraica , págs. 295-8
• Molien, Th. (1897). "Uber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen". Sitzungber. Kónig. Preuss. Akád. Wiss. (J. Berl. Ber.) . 52 : 1152-1156. JFM  28.0115.01.
• Mukai, S. (2002). Introducción a los invariantes y módulos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
• Stanley, Richard P. (1979). "Invariantes de grupos finitos y sus aplicaciones a la combinatoria". Bull. Amer. Math. Soc . Nuevas Series. 1 : 475–511. doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14597-X . MR  0526968.

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r