Operador de Reynolds

En dinámica de fluidos y teoría de invariantes , un operador de Reynolds es un operador matemático que se obtiene promediando algo sobre una acción de grupo, satisfaciendo un conjunto de propiedades llamadas reglas de Reynolds. En dinámica de fluidos, los operadores de Reynolds se encuentran a menudo en modelos de flujos turbulentos , particularmente las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , donde el promedio generalmente se toma sobre el flujo de fluido bajo el grupo de traslaciones de tiempo. En teoría de invariantes, el promedio a menudo se toma sobre un grupo compacto o un grupo algebraico reductivo que actúa sobre un álgebra conmutativa, como un anillo de polinomios. Los operadores de Reynolds fueron introducidos en dinámica de fluidos por Osbourne Reynolds  (1895) y nombrados por J. Kampé de Fériet  (1934, 1935, 1949).

Definición

Los operadores de Reynolds se utilizan en dinámica de fluidos, análisis funcional y teoría de invariantes, y la notación y las definiciones en estas áreas difieren ligeramente. Un operador de Reynolds que actúa sobre φ a veces se denota por o . Los operadores de Reynolds suelen ser operadores lineales que actúan sobre algún álgebra de funciones, que satisfacen la identidad ${\displaystyle R(\phi ),P(\phi ),\rho (\phi ),\langle \phi \rangle }$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi }$

y, a veces, algunas otras condiciones, como el desplazamiento con diversas acciones grupales.

Teoría invariante

En la teoría invariante, un operador de Reynolds R suele ser un operador lineal que satisface

${\displaystyle R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi }$

y

${\displaystyle R(1)=1}$

En conjunto, estas condiciones implican que R es idempotente : R ² = R . El operador de Reynolds también conmutará habitualmente con alguna acción de grupo y se proyectará sobre los elementos invariantes de esta acción de grupo.

Análisis funcional

En el análisis funcional, un operador de Reynolds es un operador lineal R que actúa sobre algún álgebra de funciones φ , satisfaciendo la identidad de Reynolds.

${\textstyle R(\phi \psi )=R(\phi )R(\psi )+R\left(\left(\phi -R(\phi )\right)\left(\psi -R(\psi )\right)\right)\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi }$

El operador R se denomina operador de promedio si es lineal y satisface

${\displaystyle R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi }$

Si R ( R ( φ )) = R ( φ ) para todo φ entonces R es un operador de promedio si y solo si es un operador de Reynolds. A veces se agrega la condición R ( R ( φ )) = R ( φ ) a la definición de operadores de Reynolds.

Dinámica de fluidos

Sean y dos variables aleatorias y una constante arbitraria. Entonces, las propiedades que satisfacen los operadores de Reynolds para un operador incluyen la linealidad y la propiedad de promediado: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle \rangle ,}$

${\displaystyle \langle \phi +\psi \rangle =\langle \phi \rangle +\langle \psi \rangle ,\,}$

${\displaystyle \langle a\phi \rangle =a\langle \phi \rangle ,\,}$

${\displaystyle \langle \langle \phi \rangle \psi \rangle =\langle \phi \rangle \langle \psi \rangle ,\,}$Lo que implica ${\displaystyle \langle \langle \phi \rangle \rangle =\langle \phi \rangle .\,}$

Además, a menudo se supone que el operador de Reynolds conmuta con las traslaciones de espacio y tiempo:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}},\qquad \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial x}},}$

${\displaystyle \left\langle \int \phi ({\boldsymbol {x}},t)\,d{\boldsymbol {x}}\,dt\right\rangle =\int \langle \phi ({\boldsymbol {x}},t)\rangle \,d{\boldsymbol {x}}\,dt.}$

Cualquier operador que satisfaga estas propiedades es un operador de Reynolds. ^[1]

Ejemplos

Los operadores de Reynolds a menudo se dan proyectando sobre un subespacio invariante de una acción de grupo.

• El "operador de Reynolds" considerado por Reynolds (1895) era esencialmente la proyección de un flujo de fluido sobre el flujo de fluido "promedio", que puede considerarse como una proyección sobre flujos invariantes en el tiempo. Aquí la acción del grupo está dada por la acción del grupo de traslaciones temporales.
• Supóngase que G es un grupo algebraico reductivo o un grupo compacto , y que V es una representación de dimensión finita de G. Entonces, G también actúa sobre el álgebra simétrica SV de polinomios. El operador de Reynolds R es la proyección G -invariante de SV al subanillo SV ^G de elementos fijados por G.

Referencias

1. Sagaut, Pierre (2006). Simulación de grandes remolinos para flujos incompresibles (tercera edición). Springer. ISBN 3-540-26344-6.

• Kampé de Fériet, J. (1934), "L'état actuel du problème de la turbulence I", La Science Aérienne , 3 : 9–34
• Kampé de Fériet, J. (1935), "L'état actuel du problème de la turbulence II", La Science Aérienne , 4 : 12–52
• Kampé de Fériet, J. (1949), "Sur un problème d'algèbre abstraite posé par la definición de la moyenne dans la théorie de la turbulence", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Série I. Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques , 63 : 165–180, ISSN  0037-959X, SEÑOR  0032718
• Reynolds, O. (1895), "Sobre la teoría dinámica de fluidos viscosos incompresibles y la determinación del criterio", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 186 : 123–164, Bibcode :1895RSPTA.186..123R, doi : 10.1098/rsta.1895.0004 , JSTOR  90643
• Rota, Gian-Carlo (2003), Gian-Carlo Rota sobre análisis y probabilidad , Matemáticos contemporáneos, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4275-4, Sr.  1944526Reimprime varios de los artículos de Rota sobre los operadores de Reynolds, con comentarios.
• Rota, Gian-Carlo (1964), "Operadores de Reynolds", Proc. Sympos. Appl. Math. , vol. XVI, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 70–83, MR  0161140
• Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Textos y monografías en computación simbólica, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-7091-4368-1, ISBN 978-3-211-82445-0, Sr.  1255980