Hermann Klaus Hugo Weyl , ForMemRS [1] ( alemán: [vaɪl] ; 9 de noviembre de 1885 – 8 de diciembre de 1955) fue un matemático , físico teórico , lógico y filósofo alemán . Aunque gran parte de su vida laboral la pasó en Zürich , Suiza , y luego en Princeton, Nueva Jersey , está asociado con la tradición matemática de la Universidad de Göttingen , representada por Carl Friedrich Gauss , David Hilbert y Hermann Minkowski .
Su investigación ha tenido gran importancia para la física teórica así como para disciplinas puramente matemáticas como la teoría de números . Fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX y un miembro importante del Instituto de Estudios Avanzados durante sus primeros años. [4] [5]
Weyl contribuyó a una gama excepcionalmente amplia de campos matemáticos, incluidos trabajos sobre el espacio , el tiempo , la materia , la filosofía , la lógica , la simetría y la historia de las matemáticas . Fue uno de los primeros en concebir la combinación de la relatividad general con las leyes del electromagnetismo . Freeman Dyson escribió que sólo Weyl podía compararse con los "últimos grandes matemáticos universales del siglo XIX", Poincaré y Hilbert . [6] Michael Atiyah , en particular, ha comentado que cada vez que examinaba un tema matemático, encontraba que Weyl lo había precedido. [7]
Hermann Weyl nació en Elmshorn , un pequeño pueblo cerca de Hamburgo , en Alemania , y asistió al Gymnasium Christianeum en Altona . [8] Su padre, Ludwig Weyl, era banquero; mientras que su madre, Anna Weyl (de soltera Dieck), provenía de una familia adinerada. [9]
De 1904 a 1908 estudió matemáticas y física tanto en Gotinga como en Múnich . Su doctorado lo obtuvo en la Universidad de Göttingen bajo la supervisión de David Hilbert , a quien admiraba mucho.
En septiembre de 1913, en Göttingen, Weyl se casó con Friederike Bertha Helene Joseph (30 de marzo de 1893 [10] - 5 de septiembre de 1948 [11] ), quien se llamaba Helene (apodo "Hella"). Helene era hija del Dr. Bruno Joseph (13 de diciembre de 1861 - 10 de junio de 1934), un médico que ocupaba el cargo de Sanitätsrat en Ribnitz-Damgarten , Alemania. Helene fue filósofa (fue discípula del fenomenólogo Edmund Husserl ) y traductora de la literatura española al alemán y al inglés (especialmente las obras del filósofo español José Ortega y Gasset ). [12] Fue a través de la estrecha conexión de Helene con Husserl que Hermann se familiarizó con (y estuvo muy influenciado por) el pensamiento de Husserl. Hermann y Helene tuvieron dos hijos, Fritz Joachim Weyl (19 de febrero de 1915 - 20 de julio de 1977) y Michael Weyl (15 de septiembre de 1917 - 19 de marzo de 2011), [13] ambos nacieron en Zürich, Suiza. Helene murió en Princeton, Nueva Jersey, el 5 de septiembre de 1948. El 9 de septiembre de 1948 se celebró en Princeton un servicio conmemorativo en su honor. Entre los oradores del funeral se encontraban su hijo Fritz Joachim Weyl y los matemáticos Oswald Veblen y Richard Courant . [14] En 1950, Hermann se casó con la escultora Ellen Bär (de soltera Lohnstein) (17 de abril de 1902 - 14 de julio de 1988), [15] quien era la viuda del profesor Richard Josef Bär (11 de septiembre de 1892 - 15 de diciembre de 1940). [16] de Zúrich.
Después de ocupar un puesto docente durante algunos años, Weyl dejó Göttingen en 1913 para ir a Zurich para ocupar la cátedra de matemáticas [17] en la ETH Zürich , donde era colega de Albert Einstein , quien estaba trabajando en los detalles de la teoría de relatividad general . Einstein tuvo una influencia duradera en Weyl, quien quedó fascinado por la física matemática. En 1921, Weyl conoció a Erwin Schrödinger , un físico teórico que en ese momento era profesor en la Universidad de Zúrich . Se convertirían en amigos cercanos con el tiempo. Weyl tuvo una especie de relación amorosa sin hijos con la esposa de Schrödinger, Annemarie (Anny) Schrödinger (de soltera Bertel), mientras que al mismo tiempo Anny ayudaba a criar a una hija ilegítima de Erwin llamada Ruth Georgie Erica March, que nació en 1934 en Oxford , Inglaterra. . [18] [19]
Weyl fue orador plenario del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en 1928 en Bolonia [20] y orador invitado del ICM en 1936 en Oslo . Fue elegido miembro de la Sociedad Estadounidense de Física en 1928, [21] miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 1929, [22] miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1935, [23] y miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1940. [24] Durante el año académico 1928-1929, fue profesor invitado en la Universidad de Princeton , [25] donde escribió un artículo, "Sobre un problema en la teoría de grupos que surge en los fundamentos de geometría infinitesimal", con Howard P. Robertson . [26]
Weyl dejó Zúrich en 1930 para convertirse en el sucesor de Hilbert en Göttingen, y se fue cuando los nazis asumieron el poder en 1933, sobre todo porque su esposa era judía. Le habían ofrecido uno de los primeros puestos docentes en el nuevo Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey , pero lo rechazó porque no deseaba abandonar su tierra natal. A medida que la situación política en Alemania empeoraba, cambió de opinión y aceptó cuando se le ofreció nuevamente el puesto. Permaneció allí hasta su jubilación en 1951. Junto con su segunda esposa, Ellen, pasó su tiempo en Princeton y Zúrich, y murió de un ataque al corazón el 8 de diciembre de 1955, mientras vivía en Zúrich.
Weyl fue incinerado en Zúrich el 12 de diciembre de 1955. [27] Sus cenizas permanecieron en manos privadas [ ¿fuente poco confiable? ] hasta 1999, momento en el que fueron enterrados en una bóveda columbario al aire libre en el cementerio de Princeton . [28] Los restos del hijo de Hermann, Michael Weyl (1917-2011), están enterrados justo al lado de las cenizas de Hermann en la misma bóveda del columbario.
Weyl era panteísta . [29]
En 1911 Weyl publicó Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte ( Sobre la distribución asintótica de los valores propios ) en el que demostró que los valores propios del laplaciano en el dominio compacto se distribuyen según la llamada ley de Weyl . En 1912 sugirió una nueva prueba, basada en principios variacionales. Weyl volvió a este tema varias veces, consideró el sistema de elasticidad y formuló la conjetura de Weyl . Estos trabajos iniciaron un dominio importante ( la distribución asintótica de valores propios) del análisis moderno.
En 1913, Weyl publicó Die Idee der Riemannschen Fläche ( El concepto de una superficie de Riemann ), que daba un tratamiento unificado de las superficies de Riemann . En él, Weyl utilizó la topología de conjuntos de puntos para hacer más rigurosa la teoría de superficies de Riemann, un modelo seguido en trabajos posteriores sobre variedades . Para este propósito absorbió los primeros trabajos de LEJ Brouwer en topología.
Weyl, como figura importante de la escuela de Göttingen, estuvo plenamente informado del trabajo de Einstein desde sus primeros días. Siguió el desarrollo de la física de la relatividad en su Raum, Zeit, Materie ( Espacio, Tiempo, Materia ) de 1918, alcanzando una cuarta edición en 1922. En 1918, introdujo la noción de calibre y dio el primer ejemplo de lo que ahora es conocida como teoría de calibre . La teoría de calibre de Weyl fue un intento fallido de modelar el campo electromagnético y el campo gravitacional como propiedades geométricas del espacio-tiempo . El tensor de Weyl en la geometría de Riemann es de gran importancia para comprender la naturaleza de la geometría conforme. En 1929, Weyl introdujo el concepto de vierbein en la relatividad general. [30]
Su enfoque general en física se basó en la filosofía fenomenológica de Edmund Husserl , específicamente en Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie de Husserl de 1913 . Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie (Ideas de una fenomenología pura y de una filosofía fenomenológica. Primer libro: Introducción general). Husserl había reaccionado fuertemente a las críticas de Gottlob Frege a su primer trabajo sobre la filosofía de la aritmética y estaba investigando el sentido de las estructuras matemáticas y de otro tipo, que Frege había distinguido de la referencia empírica. [ cita necesaria ]
De 1923 a 1938, Weyl desarrolló la teoría de los grupos compactos , en términos de representaciones matriciales . En el caso del grupo compacto de Lie demostró una fórmula de carácter fundamental .
Estos resultados son fundamentales para comprender la estructura de simetría de la mecánica cuántica , que puso sobre una base de teoría de grupos. Esto incluía espinores . Junto con la formulación matemática de la mecánica cuántica , en gran medida debida a John von Neumann , esto dio como resultado el tratamiento familiar desde aproximadamente 1930. Los grupos no compactos y sus representaciones, particularmente el grupo de Heisenberg , también se simplificaron en ese contexto específico, en su 1927 Cuantización de Weyl , el mejor puente existente entre la física clásica y la cuántica hasta la fecha. A partir de ese momento, y ciertamente con la ayuda de las exposiciones de Weyl, los grupos de Lie y las álgebras de Lie se convirtieron en una parte principal tanto de las matemáticas puras como de la física teórica .
Su libro Los grupos clásicos reconsideró la teoría invariante . Cubrió grupos simétricos , grupos lineales generales , grupos ortogonales y grupos simplécticos y resultados sobre sus invariantes y representaciones .
Weyl también mostró cómo utilizar sumas exponenciales en la aproximación diofántica , con su criterio de distribución uniforme mod 1 , que fue un paso fundamental en la teoría analítica de números . Este trabajo se aplicó a la función zeta de Riemann , así como a la teoría de números aditivos . Fue desarrollado por muchos otros.
En The Continuum Weyl desarrolló la lógica del análisis predicativo utilizando los niveles inferiores de la teoría ramificada de tipos de Bertrand Russell . Pudo desarrollar la mayor parte del cálculo clásico , sin utilizar ni el axioma de elección ni la prueba por contradicción , y evitando los conjuntos infinitos de Georg Cantor . Weyl apeló [ se necesita aclaración ] en este período al constructivismo radical del romántico y subjetivo idealista alemán Fichte .
Poco después de publicar The Continuum, Weyl cambió brevemente su posición hacia el intuicionismo de Brouwer. En The Continuum , los puntos construibles existen como entidades discretas. Weyl quería un continuo que no fuera una suma de puntos. Escribió un artículo controvertido proclamando, para él y para LEJ Brouwer, una "revolución". [31] Este artículo fue mucho más influyente en la propagación de puntos de vista intuicionistas que los trabajos originales del propio Brouwer.
George Pólya y Weyl, durante una reunión de matemáticos en Zurich (9 de febrero de 1918), hicieron una apuesta sobre la dirección futura de las matemáticas. Weyl predijo que en los siguientes 20 años, los matemáticos llegarían a darse cuenta de la total vaguedad de nociones como números reales , conjuntos y contabilidad y, además, que preguntar sobre la verdad o falsedad de la propiedad del límite superior mínimo de los números reales era tan significativo como preguntar sobre la verdad de las afirmaciones básicas de Hegel sobre la filosofía de la naturaleza. [32] Cualquier respuesta a tal pregunta sería inverificable, no estaría relacionada con la experiencia y, por lo tanto, carecería de sentido.
Sin embargo, al cabo de unos años, Weyl decidió que el intuicionismo de Brouwer imponía restricciones demasiado grandes a las matemáticas, como siempre habían dicho los críticos. El artículo "Crisis" había perturbado al maestro formalista de Weyl , Hilbert, pero más tarde, en la década de 1920, Weyl reconcilió parcialmente su posición con la de Hilbert.
Aproximadamente después de 1928, Weyl aparentemente había decidido que el intuicionismo matemático no era compatible con su entusiasmo por la filosofía fenomenológica de Husserl , como aparentemente había pensado antes. En las últimas décadas de su vida, Weyl enfatizó las matemáticas como "construcción simbólica" y pasó a una posición más cercana no sólo a Hilbert sino también a la de Ernst Cassirer . Sin embargo, Weyl rara vez se refiere a Cassirer y solo escribió breves artículos y pasajes que articulan esta posición.
En 1949, Weyl estaba completamente desilusionado con el valor último del intuicionismo y escribió: "Las matemáticas con Brouwer alcanzan su mayor claridad intuitiva. Él logra desarrollar los principios del análisis de una manera natural, preservando todo el tiempo el contacto con la intuición mucho más". más de cerca que lo que se había hecho antes. No se puede negar, sin embargo, que al avanzar hacia teorías más elevadas y más generales, la inaplicabilidad de las leyes simples de la lógica clásica eventualmente resulta en una incomodidad casi insoportable. Y el matemático observa con dolor la mayor parte de Su imponente edificio, que creía que estaba construido con bloques de hormigón, se disuelve en niebla ante sus ojos". Como dice John L Bell: "Me parece una gran lástima que Weyl no viviera para ver el surgimiento en los años 1970 del suave análisis infinitesimal, un marco matemático dentro del cual su visión de un verdadero continuo, no "sintetizado" a partir de datos discretos, elementos, se realiza. Aunque la lógica subyacente del análisis infinitesimal suave es intuicionista (la ley del tercero excluido no es generalmente afirmable), las matemáticas desarrolladas en él evitan la “incomodidad insoportable” a la que Weyl se refiere anteriormente.
En 1929, Weyl propuso una ecuación, conocida como ecuación de Weyl , para usarla en reemplazo de la ecuación de Dirac . Esta ecuación describe fermiones sin masa . Un fermión de Dirac normal podría dividirse en dos fermiones de Weyl o formarse a partir de dos fermiones de Weyl. Alguna vez se pensó que los neutrinos eran fermiones de Weyl, pero ahora se sabe que tienen masa. Los fermiones de Weyl son buscados para aplicaciones electrónicas. Cuasipartículas que se comportan como fermiones de Weyl fueron descubiertas en 2015, en forma de cristales conocidos como semimetales de Weyl , un tipo de material topológico. [33] [34] [35]
Sólo él podría compararse con los últimos grandes matemáticos universales del siglo XIX, Hilbert y Poincaré. ... Ahora está muerto, el contacto se ha roto y nuestras esperanzas de comprender el universo físico mediante el uso directo de la imaginación matemática creativa se han acabado por el momento.
Para usar la acertada frase de su hijo Michael, 'El mundo abierto' (1932) contiene "los diálogos de Hermann con Dios" porque aquí el matemático confronta sus preocupaciones fundamentales. Estos no caen dentro de las tradiciones religiosas tradicionales, pero están mucho más cerca en espíritu del análisis racional de Spinoza de lo que llamó "Dios o la naturaleza", tan importante también para Einstein. ...Al final, Weyl concluye que este Dios "no puede ni será comprendido" por la mente humana, aunque "la mente es libertad dentro de las limitaciones de la existencia; está abierta hacia el infinito". Sin embargo, "ni Dios puede penetrar en el hombre por revelación, ni el hombre puede penetrar en él por percepción mística".
