En el maravilloso y terrible libro de Weyl, Los grupos clásicos [ W ], se pueden discernir dos temas principales: primero, el estudio de los invariantes polinomiales para un número arbitrario de variables (contravariantes o covariantes) para una acción de grupo clásico estándar; segundo, la descomposición isotípica del álgebra tensorial completa para tal acción.
1 La mayoría de las personas que conocen el libro opinan que el material que contiene es maravilloso. Muchos también opinan que la presentación es pésima (el autor no se encuentra entre estos últimos).
Howe (1989, pág. 539)
Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones es un libro de matemáticas de Hermann Weyl (1939), que describe la teoría clásica de invariantes en términos de teoría de representaciones . Es en gran medida responsable del resurgimiento del interés por la teoría de invariantes, que casi había desaparecido con lasolución de David Hilbert a sus principales problemas en la década de 1890.
Weyl (1939a) dio una charla informal sobre el tema de su libro. Hubo una segunda edición en 1946.
El capítulo I define invariantes y otras ideas básicas y describe la relación con el programa de Erlangen de Felix Klein en geometría.
El capítulo II describe los invariantes del grupo lineal especial y general de un espacio vectorial V sobre los polinomios sobre una suma de copias de V y su dual . Utiliza la identidad de Capelli para encontrar un conjunto explícito de generadores para los invariantes.
El capítulo III estudia el anillo de grupo de un grupo finito y su descomposición en una suma de álgebras matriciales .
El capítulo IV analiza la dualidad de Schur-Weyl entre representaciones de los grupos lineales simétricos y generales.
Los capítulos V y VI extienden la discusión de los invariantes del grupo lineal general del capítulo II a los grupos ortogonales y simplécticos , mostrando que el anillo de invariantes es generado por los obvios.
El capítulo VII describe la fórmula de caracteres de Weyl para los caracteres de las representaciones de los grupos clásicos .
El capítulo VIII sobre la teoría de invariantes demuestra el teorema de Hilbert según el cual los invariantes del grupo lineal especial se generan finitamente.
Los capítulos IX y X aportan algunos complementos a los capítulos anteriores.