En matemáticas, el programa de Erlangen es un método para caracterizar geometrías basado en la teoría de grupos y la geometría proyectiva . Fue publicado por Felix Klein en 1872 como Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Lleva el nombre de la Universidad Erlangen-Nürnberg , donde trabajaba Klein.
En 1872, ya habían surgido geometrías no euclidianas , pero sin una manera de determinar su jerarquía y relaciones. El método de Klein fue fundamentalmente innovador en tres aspectos:
Más tarde, Élie Cartan generalizó los espacios modelo homogéneos de Klein a conexiones de Cartan en ciertos fibrados principales , lo que generalizó la geometría de Riemann .
Desde Euclides , la geometría había significado la geometría del espacio euclidiano de dos dimensiones ( geometría plana ) o de tres dimensiones ( geometría sólida ). En la primera mitad del siglo XIX hubo varios desarrollos que complicaron el panorama. Las aplicaciones matemáticas requerían geometría de cuatro o más dimensiones ; el escrutinio minucioso de los fundamentos de la geometría euclidiana tradicional había revelado la independencia del postulado de las paralelas de los otros, y había nacido la geometría no euclidiana . Klein propuso la idea de que todas estas nuevas geometrías son simplemente casos especiales de la geometría proyectiva , como ya habían desarrollado Poncelet , Möbius , Cayley y otros. Klein también sugirió enfáticamente a los físicos matemáticos que incluso un cultivo moderado del ámbito proyectivo podría traerles beneficios sustanciales.
Klein asoció a cada geometría un grupo subyacente de simetrías . La jerarquía de las geometrías se representa matemáticamente como una jerarquía de estos grupos y una jerarquía de sus invariantes . Por ejemplo, las longitudes, los ángulos y las áreas se conservan con respecto al grupo euclidiano de simetrías, mientras que solo la estructura de incidencia y la razón cruzada se conservan bajo las transformaciones proyectivas más generales . Un concepto de paralelismo , que se conserva en la geometría afín , no tiene sentido en la geometría proyectiva . Entonces, al abstraer los grupos subyacentes de simetrías de las geometrías, las relaciones entre ellos se pueden restablecer a nivel de grupo. Dado que el grupo de la geometría afín es un subgrupo del grupo de la geometría proyectiva, cualquier noción invariante en la geometría proyectiva es a priori significativa en la geometría afín; pero no al revés. Si elimina las simetrías requeridas, tiene una teoría más poderosa pero menos conceptos y teoremas (que serán más profundos y más generales).
En otras palabras, los "espacios tradicionales" son espacios homogéneos ; pero no para un grupo determinado de forma única. Al cambiar el grupo, cambia el lenguaje geométrico apropiado.
En el lenguaje actual, los grupos que intervienen en la geometría clásica se conocen como grupos de Lie : los grupos clásicos . Las relaciones específicas se describen de forma bastante sencilla, utilizando un lenguaje técnico.
Por ejemplo, el grupo de geometría proyectiva en n dimensiones de valores reales es el grupo de simetría del espacio proyectivo real n -dimensional (el grupo lineal general de grado n + 1 , cociente de matrices escalares ). El grupo afín será el subgrupo que respeta (se mapea a sí mismo, no se fija puntualmente) el hiperplano elegido en el infinito . Este subgrupo tiene una estructura conocida ( producto semidirecto del grupo lineal general de grado n con el subgrupo de traslaciones ). Esta descripción nos dice entonces qué propiedades son 'afines'. En términos de geometría del plano euclidiano, ser un paralelogramo es afín ya que las transformaciones afines siempre llevan un paralelogramo a otro. Ser un círculo no es afín ya que una cizalladura afín llevará un círculo a una elipse.
Para explicar con precisión la relación entre la geometría afín y la geometría euclidiana, ahora necesitamos precisar el grupo de la geometría euclidiana dentro del grupo afín. El grupo euclidiano es, de hecho (utilizando la descripción anterior del grupo afín) el producto semidirecto del grupo ortogonal (rotación y reflexión) con las traslaciones. (Véase la geometría de Klein para más detalles.)
Los efectos a largo plazo del programa de Erlangen se pueden ver en toda la matemática pura (véase el uso tácito en congruencia (geometría) , por ejemplo); y la idea de transformaciones y de síntesis utilizando grupos de simetría se ha vuelto estándar en física .
Cuando se describe rutinariamente la topología en términos de propiedades invariantes bajo el homeomorfismo , se puede ver la idea subyacente en funcionamiento. Los grupos involucrados serán de dimensión infinita en casi todos los casos -y no grupos de Lie- pero la filosofía es la misma. Por supuesto, esto habla principalmente de la influencia pedagógica de Klein. Libros como los de HSM Coxeter usaban rutinariamente el enfoque del programa de Erlangen para ayudar a "colocar" geometrías. En términos pedagógicos, el programa se convirtió en geometría de transformación , una bendición mixta en el sentido de que se basa en intuiciones más fuertes que el estilo de Euclides , pero es menos fácil convertirlo en un sistema lógico .
En su libro Estructuralismo (1970) Jean Piaget dice: "A los ojos de los matemáticos estructuralistas contemporáneos, como Bourbaki , el programa de Erlangen equivale sólo a una victoria parcial del estructuralismo, ya que quieren subordinar todas las matemáticas, no sólo la geometría, a la idea de estructura ".
En el caso de una geometría y su grupo, un elemento del grupo se denomina a veces movimiento de la geometría. Por ejemplo, se puede aprender sobre el modelo de semiplano de Poincaré de la geometría hiperbólica mediante un desarrollo basado en movimientos hiperbólicos . Un desarrollo de este tipo permite demostrar metódicamente el teorema de los ultraparalelos mediante movimientos sucesivos.
Muy a menudo, parece que hay dos o más geometrías distintas con grupos de automorfismos isomorfos . Surge entonces la cuestión de leer el programa de Erlangen desde el grupo abstracto hasta la geometría.
Un ejemplo: la geometría elíptica orientada (es decir, no se incluyen las reflexiones ) (es decir, la superficie de una n -esfera con puntos opuestos identificados) y la geometría esférica orientada (la misma geometría no euclidiana , pero con puntos opuestos no identificados) tienen un grupo de automorfismos isomorfos , SO( n +1) para n par . Estas pueden parecer distintas. Sin embargo, resulta que las geometrías están muy relacionadas, de una manera que se puede precisar.
Para tomar otro ejemplo, las geometrías elípticas con diferentes radios de curvatura tienen grupos de automorfismos isomorfos. Esto no cuenta como una crítica, ya que todas esas geometrías son isomorfas. La geometría riemanniana general queda fuera de los límites del programa.
Los números complejos , duales y dobles (también conocidos como complejos divididos) aparecen como espacios homogéneos SL(2, R )/H para el grupo SL(2, R ) y sus subgrupos H=A, N, K. [1] El grupo SL(2, R ) actúa sobre estos espacios homogéneos mediante transformaciones fraccionarias lineales y una gran parte de las respectivas geometrías se pueden obtener de manera uniforme a partir del programa de Erlangen.
Otros ejemplos notables han surgido en física.
En primer lugar, la geometría hiperbólica n- dimensional , el espacio de Sitter n -dimensional y la geometría inversa ( n −1)-dimensional tienen todos grupos de automorfismos isomorfos,
el grupo ortócrono de Lorentz , para n ≥ 3. Pero se trata de geometrías aparentemente distintas. Aquí entran en juego algunos resultados interesantes, desde el punto de vista de la física. Se ha demostrado que los modelos físicos en cada una de las tres geometrías son "duales" para algunos modelos.
Nuevamente, el espacio anti-de Sitter n -dimensional y el espacio conforme ( n −1)-dimensional con firma "Lorentziana" (en contraste con el espacio conforme con firma "Euclídea", que es idéntico a la geometría invertida , para tres dimensiones o más) tienen grupos de automorfismos isomorfos, pero son geometrías distintas. Una vez más, hay modelos en física con "dualidades" entre ambos espacios . Ver AdS/CFT para más detalles.
El grupo de recubrimiento de SU(2,2) es isomorfo al grupo de recubrimiento de SO(4,2), que es el grupo de simetría de un espacio de Minkowski conforme 4D y un espacio anti-de Sitter 5D y un espacio twistor complejo de cuatro dimensiones .
El programa de Erlangen puede por tanto considerarse todavía fértil en relación con las dualidades en física.
En el artículo seminal que introdujo las categorías , Saunders Mac Lane y Samuel Eilenberg afirmaron: "Esto puede considerarse como una continuación del Programa de Klein Erlanger, en el sentido de que un espacio geométrico con su grupo de transformaciones se generaliza a una categoría con su álgebra de aplicaciones". [2]
Las relaciones del programa de Erlangen con el trabajo de Charles Ehresmann sobre grupoides en geometría se analizan en el siguiente artículo de Pradines. [3]
En lógica matemática , el programa de Erlangen también sirvió de inspiración a Alfred Tarski en su análisis de nociones lógicas . [4]
