Espacio twistor

En matemáticas y física teórica (especialmente teoría de twistores ), el espacio de twistores es el espacio vectorial complejo de soluciones de la ecuación de twistores . Fue descrito en la década de 1960 por Roger Penrose y Malcolm MacCallum. ^[1] Según Andrew Hodges , el espacio de twistores es útil para conceptualizar la forma en que los fotones viajan a través del espacio, utilizando cuatro números complejos . También postula que el espacio de twistores puede ayudar a comprender la asimetría de la fuerza nuclear débil . ^[2] ${\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0}$

Motivación informal

En palabras (traducidas) de Jacques Hadamard : "el camino más corto entre dos verdades en el dominio real pasa por el dominio complejo". Por lo tanto, al estudiar el espacio de cuatro dimensiones, podría ser valioso identificarlo con Sin embargo, dado que no hay una forma canónica de hacerlo, en su lugar se consideran todos los isomorfismos que respetan la orientación y la métrica entre los dos. Resulta que el espacio tridimensional proyectivo complejo parametriza tales isomorfismos junto con coordenadas complejas. Por lo tanto, una coordenada compleja describe la identificación y las otras dos describen un punto en . Resulta que los fibrados vectoriales con conexiones autoduales en ( instantones ) corresponden biyectivamente a fibrados vectoriales holomorfos en el espacio tridimensional proyectivo complejo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Definición formal

Para el espacio de Minkowski , denotado , las soluciones de la ecuación del twistor son de la forma ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}$

donde y son dos espinores de Weyl constantes y es un punto en el espacio de Minkowski. Las son las matrices de Pauli , con los índices en las matrices. Este espacio twistor es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones, cuyos puntos se denotan por , y con una forma hermítica ${\displaystyle \omega ^{A}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$ ${\displaystyle x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ ${\displaystyle A,A^{\prime }=1,2}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})}$

${\displaystyle \Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}}$

que es invariante bajo el grupo SU(2,2) , que es una cubierta cuádruple del grupo conforme C(1,3) del espaciotiempo de Minkowski compactificado.

Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con subespacios del espacio twistor a través de la relación de incidencia.

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Esta relación de incidencia se conserva bajo un reescalamiento general del twistor, por lo que generalmente se trabaja en un espacio twistor proyectivo, denotado , que es isomorfo como una variedad compleja a . ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Dado un punto, se relaciona con una línea en el espacio twistor proyectivo donde podemos ver la relación de incidencia como la que da la incrustación lineal de un parametrizado por . ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$

La relación geométrica entre el espacio twistor proyectivo y el espacio de Minkowski compactificado y complejizado es la misma que la relación entre líneas y dos planos en el espacio twistor; más precisamente, el espacio twistor es

${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}$

Tiene asociada la doble fibración de variedades bandera donde está el espacio twistor proyectivo ${\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}$

y es el espacio de Minkowski compactificado y complejizado ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}$

y el espacio de correspondencia entre y es ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}$

En lo anterior, representa un espacio proyectivo , un Grassmanniano y una variedad bandera . La doble fibración da lugar a dos correspondencias (véase también la transformada de Penrose ), y ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}}$ ${\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}$

El espacio de Minkowski compactificado y complejizado está incrustado mediante la incrustación de Plücker ; la imagen es la cuádrica de Klein . ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}$

Referencias

1. Penrose, R.; MacCallum, MAH (febrero de 1973). "Teoría de Twistor: Una aproximación a la cuantificación de campos y espacio-tiempo" . Physics Reports . 6 (4): 241–315. doi :10.1016/0370-1573(73)90008-2.
2. Hodges, Andrew (2010). Del uno al nueve: la vida interior de los números. Doubleday Canada. pág. 142. ISBN 978-0-385-67266-5.

• Ward, RS; Wells, RO (1991). Geometría de twistores y teoría de campos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42268-X.
• Huggett, SA; Tod, KP (1994). Una introducción a la teoría de los twistores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45689-0.