grupo afín

Grupo de todas las transformaciones afines de un espacio afín.

En matemáticas , el grupo afín o grupo afín general de cualquier espacio afín es el grupo de todas las transformaciones afines invertibles del espacio en sí mismo. En el caso de un espacio euclidiano (donde el campo asociado de escalares son los números reales ), el grupo afín consta de aquellas funciones del espacio a sí mismo de modo que la imagen de cada línea es una línea.

En cualquier campo, el grupo afín puede verse como un grupo matricial de forma natural. Si el campo asociado de escalares es el campo real o complejo, entonces el grupo afín es un grupo de Lie .

Relación con el grupo lineal general.

Construcción a partir de grupo lineal general.

Concretamente, dado un espacio vectorial V , tiene un espacio afín subyacente A obtenido "olvidando" el origen, con V actuando por traslaciones, y el grupo afín de A puede describirse concretamente como el producto semidirecto de V por GL( V ) , el grupo lineal general de V :

${\displaystyle \operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)}$

La acción de GL( V ) sobre V es la natural (las transformaciones lineales son automorfismos), por lo que esto define un producto semidirecto .

En términos de matrices, se escribe:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)}$

donde aquí la acción natural de GL( n , K ) sobre K ⁿ es la multiplicación matricial de un vector.

Estabilizador de un punto

Dado el grupo afín de un espacio afín A , el estabilizador de un punto p es isomorfo al grupo lineal general de la misma dimensión (por lo que el estabilizador de un punto en Aff(2, R ) es isomorfo a GL(2, R ) ); formalmente, es el grupo lineal general del espacio vectorial ( A , p ) : recordemos que si se fija un punto, un espacio afín se convierte en un espacio vectorial.

Todos estos subgrupos son conjugados, donde la conjugación se da mediante la traducción de p a q (que está definido de forma única); sin embargo, ningún subgrupo en particular es una elección natural, ya que ningún punto es especial; esto corresponde a las múltiples opciones de subgrupo transversal, o división de la secuencia corta exacta

${\displaystyle 1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.}$

En el caso de que el grupo afín se construyera comenzando con un espacio vectorial, el subgrupo que estabiliza el origen (del espacio vectorial) es el GL( V ) original .

Representación matricial

Representando el grupo afín como un producto semidirecto de V por GL( V ) , luego por construcción del producto semidirecto , los elementos son pares ( v , M ) , donde v es un vector en V y M es una transformada lineal en GL( V ) , y la multiplicación viene dada por

${\displaystyle (v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.}$

Esto se puede representar como la matriz de bloques ( n + 1) × ( n + 1)

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}$

donde M es una matriz de n × n sobre K , v un vector de columna de n × 1 , 0 es una fila de ceros de 1 × n y 1 es la matriz de bloques de identidad de 1 × 1 .

Formalmente, Aff( V ) es naturalmente isomorfo a un subgrupo de GL( V ⊕ K ) , con V incrustado como plano afín {( v , 1) | v ∈ V } , es decir, el estabilizador de este plano afín; la formulación matricial anterior es la (transposición de) la realización de esto, con los bloques n × n y 1 × 1 ) correspondientes a la descomposición de suma directa V ⊕ K .

Una representación similar es cualquier matriz ( n + 1) × ( n + 1) en la que las entradas de cada columna suman 1. ^[1] La similitud P para pasar del tipo anterior a este tipo es ( n + 1) × ( n + 1) matriz identidad con la fila inferior reemplazada por una fila de todos unos.

Cada una de estas dos clases de matrices está cerrada bajo la multiplicación de matrices.

El paradigma más simple bien puede ser el caso n = 1 , es decir, las matrices triangulares superiores de 2 × 2 que representan el grupo afín en una dimensión. Es un grupo de Lie no abeliano de dos parámetros , por lo que con solo dos generadores (elementos de álgebra de Lie), A y B , tales que [ A , B ] = B , donde

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,}$

de modo que

${\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}$

Tabla de caracteres de Aff( F p )

Aff( F _p ) tiene orden p ( p − 1) . Desde

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

sabemos que Aff( F _p ) tiene p clases de conjugación, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}$

Entonces sabemos que Aff( F _p ) tiene p representaciones irreducibles. Según el párrafo anterior (§ Representación matricial), existen p - 1 representaciones unidimensionales, decididas por el homomorfismo

${\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}}$

para k = 1, 2,… p − 1 , donde

${\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)}$

y i ² = −1 , a = g ^j , g es un generador del grupo F^∗
_p. Luego compare con el orden de F _p , tenemos

${\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,}$

por tanto χ _p = p − 1 es la dimensión de la última representación irreducible. Finalmente usando la ortogonalidad de representaciones irreducibles, podemos completar la tabla de caracteres de Aff( F _p ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}$

Grupo afín planar sobre los reales

Los elementos de pueden tomar una forma simple en un sistema de coordenadas afines bien elegido . Más precisamente, dada una transformación afín de un plano afín sobre los reales , existe un sistema de coordenadas afín en el que tiene una de las siguientes formas, donde a , b y t son números reales (las condiciones dadas aseguran que las transformaciones sean invertibles, pero no para hacer distintas las clases; por ejemplo, la identidad pertenece a todas las clases). ${\displaystyle \operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}}$

El caso 1 corresponde a traducciones .

El caso 2 corresponde a escalamientos que pueden diferir en dos direcciones diferentes. Cuando se trabaja con un plano euclidiano estas direcciones no necesitan ser perpendiculares , ya que los ejes coordenados no necesitan ser perpendiculares.

El caso 3 corresponde a una escala en una dirección y una traslación en otra.

El caso 4 corresponde a un mapeo de corte combinado con una dilatación.

El caso 5 corresponde a un mapeo de corte combinado con una dilatación.

El caso 6 corresponde a similitudes cuando los ejes de coordenadas son perpendiculares.

Las transformaciones afines sin ningún punto fijo pertenecen a los casos 1, 3 y 5. Las transformaciones que no conservan la orientación del plano pertenecen a los casos 2 (con ab < 0 ) o 3 (con a < 0 ).

La prueba se puede hacer observando primero que si una transformación afín no tiene un punto fijo, entonces la matriz del mapa lineal asociado tiene un valor propio igual a uno, y luego usando el teorema de la forma normal de Jordan para matrices reales .

Otros grupos y subgrupos afines

Caso general

Dado cualquier subgrupo G < GL( V ) del grupo lineal general , se puede producir un grupo afín, a veces denominado Aff( G ) , de manera análoga a Aff( G ) := V ⋊ G .

De manera más general y abstracta, dado cualquier grupo G y una representación de G en un espacio vectorial V , se obtiene ^{[nota 1]} un grupo afín asociado V ⋊ _ρ G : se puede decir que el grupo afín obtenido es "una extensión de grupo por un representación vectorial", y, como arriba, se tiene la secuencia corta exacta ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V)}$

$${\displaystyle 1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1.}$$

grupo afín especial

El subconjunto de todas las transformaciones afines invertibles que conservan una forma de volumen fija hasta el signo se denomina grupo afín especial . (Las transformaciones mismas a veces se denominan equiafinidades ). Este grupo es el análogo afín del grupo lineal especial . En términos del producto semidirecto, el grupo afín especial consta de todos los pares ( M , v ) con , es decir, las transformaciones afines ${\displaystyle |\det(M)|=1}$

$${\displaystyle x\mapsto Mx+v}$$

Mv^{[2] [3]}

El subgrupo del grupo afín especial que consta de aquellas transformaciones cuya parte lineal tiene el determinante 1 es el grupo de aplicaciones que conservan la orientación y el volumen. Algebraicamente, este grupo es un producto semidirecto del grupo lineal especial de con las traslaciones. Es generado por los mapeos de corte . ${\displaystyle SL(V)\ltimes V}$ ${\displaystyle V}$

Subgrupo proyectivo

Suponiendo que se tenga conocimiento de la proyectividad y del grupo proyectivo de la geometría proyectiva , el grupo afín se puede especificar fácilmente. Por ejemplo, Günter Ewald escribió: ^[4]

El conjunto de todas las colineaciones proyectivas de P ⁿ es un grupo que podemos llamar grupo proyectivo de P ⁿ . Si procedemos de P ⁿ al espacio afín An declarando que un ^hiperplano ω es un ^hiperplano en el infinito , obtenemos el grupo afín de An como el subgrupo que consta de todos los elementos de ese dejar ω fijo. ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}}$

Isometrías del espacio euclidiano

Cuando el espacio afín A es un espacio euclidiano (sobre el campo de números reales), el grupo de mapas que conservan la distancia ( isometrías ) de A es un subgrupo del grupo afín. Algebraicamente, este grupo es un producto semidirecto del grupo ortogonal de con las traslaciones. Geométricamente, es el subgrupo del grupo afín generado por las reflexiones ortogonales. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle O(V)\ltimes V}$ ${\displaystyle V}$

grupo poincaré

El grupo de Poincaré es el grupo afín del grupo de Lorentz O(1,3) :

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)}$

Este ejemplo es muy importante en relatividad .

Ver también

• Grupo afín de Coxeter : ciertos subgrupos discretos del grupo afín en un espacio euclidiano que preservan una red
• holomorfo

Notas

1. Dado que GL( V ) <Aut( V ) . Tenga en cuenta que esta contención es en general adecuada, ya que por "automorfismos" nos referimos a automorfismos de grupo , es decir, conservan la estructura de grupo en V (la suma y el origen), pero no necesariamente la multiplicación escalar, y estos grupos difieren si trabajan sobre R.

Referencias

1. Poole, David G. (noviembre de 1995). "El grupo estocástico". Mensual Matemático Estadounidense . 102 (9): 798–801.
2. Berger, M. (1987). Geometría . vol. 1. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. Sección 2.7.6. ISBN 9780534000349.
3. Ewald, Günter (1971). Geometría: una introducción . Belmont: Wadsworth. Sección 4.12. ISBN 9780534000349.
4. Ewald, Günter (1971). Geometría: una introducción . Belmont: Wadsworth. pag. 241.ISBN​ 9780534000349.

• Lyndon, Roger (1985). "Sección VI.1". Grupos y Geometría . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31694-4.