grupo lorentz

En física y matemáticas , el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski , el escenario clásico y cuántico de todos los fenómenos físicos (no gravitacionales) . El grupo Lorentz lleva el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz .

Por ejemplo, las siguientes leyes, ecuaciones y teorías respetan la simetría de Lorentz:

Las leyes cinemáticas de la relatividad especial.
Las ecuaciones de campo de Maxwell en la teoría del electromagnetismo.
La ecuación de Dirac en la teoría del electrón.
El modelo estándar de la física de partículas

El grupo de Lorentz expresa la simetría fundamental del espacio y el tiempo de todas las leyes fundamentales conocidas de la naturaleza . En regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo donde las variaciones gravitacionales son insignificantes, las leyes físicas son invariantes de Lorentz de la misma manera que la relatividad especial.

Propiedades básicas

El grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo de Poincaré , el grupo de todas las isometrías del espaciotiempo de Minkowski . Las transformaciones de Lorentz son, precisamente, isometrías que dejan fijo el origen. Así, el grupo de Lorentz es el subgrupo de isotropía con respecto al origen del grupo de isometría del espaciotiempo de Minkowski. Por esta razón, al grupo de Lorentz a veces se le llama grupo de Lorentz homogéneo mientras que al grupo de Poincaré a veces se le llama grupo de Lorentz no homogéneo . Las transformaciones de Lorentz son ejemplos de transformaciones lineales ; Las isometrías generales del espacio-tiempo de Minkowski son transformaciones afines .

Definición de física

Supongamos dos sistemas de referencia inerciales $(t, x, y, z)$ y $(t', x', y', z' )$ y dos puntos $P 1$ , $P 2$ , el grupo de Lorentz es el conjunto de todas las transformaciones entre los dos sistemas de referencia que preservan la velocidad de la luz que se propaga entre los dos puntos:

c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}

En forma matricial estas son todas las transformaciones lineales $Λ$ tales que:

\Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)

Estas se denominan entonces transformaciones de Lorentz.

Definición matemática

Matemáticamente, el grupo de Lorentz puede describirse como el grupo ortogonal indefinido $O(1, 3)$ , el grupo de Lie matricial que conserva la forma cuadrática.

(t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

en $R 4$ (el espacio vectorial equipado con esta forma cuadrática a veces se escribe $R 1,3$ ). Esta forma cuadrática, cuando se pone en forma matricial (ver grupo ortogonal clásico ), se interpreta en física como el tensor métrico del espacio-tiempo de Minkowski.

Propiedades matemáticas

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie real no abeliano, no compacto, de seis dimensiones y no conexo . Los cuatro componentes conectados no están simplemente conectados . ^[1] El componente de identidad (es decir, el componente que contiene el elemento de identidad) del grupo de Lorentz es en sí mismo un grupo, y a menudo se le llama grupo de Lorentz restringido , y se denota $SO$ $+$ $(1, 3)$ . El grupo restringido de Lorentz consta de aquellas transformaciones de Lorentz que preservan tanto la orientación del espacio como la dirección del tiempo. Su grupo fundamental tiene orden 2, y su cobertura universal, el grupo de espín indefinido $Spin(1, 3)$ , es isomorfo tanto al grupo lineal especial $SL(2,$ $C$ $)$ como al grupo simpléctico $Sp(2,$ $C$ $)$ . Estos isomorfismos permiten que el grupo de Lorentz actúe sobre una gran cantidad de estructuras matemáticas importantes para la física, sobre todo los espinores . Así, en la mecánica cuántica relativista y en la teoría cuántica de campos , es muy común llamar $a SL(2,$ $C$ $)$ grupo de Lorentz, en el entendido de que $SO$ $+$ $(1, 3)$ es una representación específica (la representación vectorial) del mismo. .

Una representación recurrente de la acción del grupo de Lorentz en el espacio de Minkowski utiliza bicuaterniones , que forman un álgebra de composición . La propiedad de isometría de las transformaciones de Lorentz se cumple según la propiedad de composición . $|pq|=|p|\times |q|$

Otra propiedad del grupo de Lorentz es la conformidad o preservación de los ángulos. Los impulsos de Lorentz actúan mediante la rotación hiperbólica de un plano espacio-temporal, y tales "rotaciones" preservan el ángulo hiperbólico , la medida de rapidez utilizada en la relatividad. Por tanto el grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo conforme del espaciotiempo .

Tenga en cuenta que este artículo se refiere a $O(1, 3)$ como el "grupo de Lorentz", $a SO(1, 3)$ como el "grupo de Lorentz adecuado" y $a SO + (1, 3)$ como el "grupo de Lorentz restringido". Muchos autores (especialmente en física) usan el nombre "grupo de Lorentz" para $SO(1, 3)$ (o a veces incluso $SO + (1, 3)$ ) en lugar de $O(1, 3)$ . Al leer estos autores es importante tener claro exactamente a qué se refieren.

Componentes conectados

Debido a que es un grupo de Lie , el grupo de Lorentz $O(1, 3)$ es un grupo y también tiene una descripción topológica como una variedad suave . Como colector tiene cuatro componentes conectados. Intuitivamente, esto significa que consta de cuatro piezas topológicamente separadas.

Los cuatro componentes conectados se pueden clasificar según dos propiedades de transformación que tienen sus elementos:

Algunos elementos se invierten mediante transformaciones de Lorentz que invierten el tiempo; por ejemplo, un vector temporal que apunta al futuro se invertiría en un vector que apunta al pasado.
Algunos elementos tienen la orientación invertida por transformaciones de Lorentz inadecuadas , por ejemplo, ciertos vierbein (tétradas)

Las transformaciones de Lorentz que preservan la dirección del tiempo se llamanortocrónico . El subgrupo de transformaciones ortocrónicas a menudo se denomina $O + (1, 3)$ . Las que conservan la orientación se llamanpropias, y como transformaciones lineales tienen determinante $+1$ . (Las transformaciones de Lorentz impropias tienen determinante $-1$ ). El subgrupo de transformaciones de Lorentz adecuadas se denota $SO(1, 3)$ .

El subgrupo de todas las transformaciones de Lorentz que conservan tanto la orientación como la dirección del tiempo se denomina grupo de Lorentz ortocrónico propio o grupo de Lorentz restringido , y se denota por $SO + (1, 3)$ . ^[a]

Al conjunto de los cuatro componentes conectados se le puede dar una estructura de grupo como el grupo cociente $O(1, 3) / SO + (1, 3)$ , que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein . Cada elemento en $O (1, 3)$ se puede escribir como el producto semidirecto de una transformación ortocrónica propia y un elemento del grupo discreto.

{1, P, T, PT}

donde P y T son los operadores de paridad y de inversión de tiempo :

P = diag(1, -1, -1, -1)

T = diagnóstico(-1, 1, 1, 1)

Por lo tanto, una transformación de Lorentz arbitraria se puede especificar como una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada junto con otros dos bits de información, que seleccionan uno de los cuatro componentes conectados. Este patrón es típico de grupos de Lie de dimensión finita.

Grupo Lorentz restringido

El grupo de Lorentz restringido $SO + (1, 3)$ es el componente de identidad del grupo de Lorentz, lo que significa que consta de todas las transformaciones de Lorentz que pueden conectarse a la identidad mediante una curva continua que se encuentra en el grupo. El grupo de Lorentz restringido es un subgrupo normal conectado del grupo de Lorentz completo con la misma dimensión, en este caso con dimensión seis.

El grupo de Lorentz restringido se genera mediante rotaciones espaciales ordinarias y impulsos de Lorentz (que son rotaciones en un espacio hiperbólico que incluye una dirección similar al tiempo ^[2] ). Dado que cada transformación de Lorentz ortocrónica adecuada se puede escribir como un producto de una rotación (especificada por 3 parámetros reales ) y un impulso (también especificado por 3 parámetros reales), se necesitan 6 parámetros reales para especificar una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada arbitraria. Ésta es una forma de entender por qué el grupo restringido de Lorentz es de seis dimensiones. (Ver también el álgebra de Lie del grupo de Lorentz).

El conjunto de todas las rotaciones forma un subgrupo de Lie isomorfo al grupo de rotación ordinario $SO(3)$ . El conjunto de todos los impulsos, sin embargo, no forma un subgrupo, ya que componer dos impulsos, en general, no da como resultado otro impulso. (Más bien, un par de impulsos no colineales equivale a un impulso y una rotación, y esto se relaciona con la rotación de Thomas ). Un impulso en alguna dirección, o una rotación alrededor de algún eje, genera un subgrupo de un parámetro .

Superficies de transitividad

Si un grupo $G$ actúa sobre un espacio $V$ , entonces una superficie $S \subset V$ es una superficie de transitividad si $S$ es invariante bajo $G$ (es decir, $\forall g \in G, \forall s \in S : gs \in S$ ) y para dos puntos cualesquiera $s 1, s 2 \in S$ hay un $g \in G$ tal que $gs 1 = s 2$ . Por definición del grupo de Lorentz, conserva la forma cuadrática

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.

Las superficies de transitividad del grupo ortocrónico de Lorentz $O + (1, 3)$ , $Q (x) = const.$ que actúan sobre el espaciotiempo plano $R 1,3$ son los siguientes: ^[3]

$Q (x) > 0, x 0 > 0$ es la rama superior de un hiperboloide de dos láminas. Los puntos de esta hoja están separados del origen por un vector similar al tiempo futuro .
$Q (x) > 0, x 0 < 0$ es la rama inferior de este hiperboloide. Los puntos en esta hoja son los vectores similares al tiempo pasado .
$Q (x) = 0, x 0 > 0$ es la rama superior del cono de luz , el futuro cono de luz.
$Q (x) = 0, x 0 < 0$ es la rama inferior del cono de luz, el cono de luz pasado.
$Q (x) < 0$ es un hiperboloide de una hoja. Los puntos de esta hoja estánseparados del origen como si fueran espacios .
El origen $x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0$ .

Estas superficies son tridimensionales $,$ por lo que las imágenes no son fieles, pero sí lo son para los datos correspondientes sobre $O + (1, 2)$ . Para el grupo de Lorentz completo, las superficies de transitividad son sólo cuatro ya que la transformación $T$ lleva una rama superior de un hiperboloide (cono) a una inferior y viceversa.

Como espacios simétricos

Una forma equivalente de formular las superficies de transitividad anteriores es como un espacio simétrico en el sentido de la teoría de Lie. Por ejemplo, la hoja superior del hiperboloide se puede escribir como el espacio cociente $SO + (1, 3)/SO(3)$ , debido al teorema del estabilizador de órbita . Además, esta hoja superior también proporciona un modelo para el espacio hiperbólico tridimensional .

Representaciones del grupo Lorentz

Estas observaciones constituyen un buen punto de partida para encontrar todas las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz, de hecho, del grupo de Poincaré, utilizando el método de las representaciones inducidas . ^[4] Se comienza con un "vector estándar", uno para cada superficie de transitividad, y luego se pregunta qué subgrupo conserva estos vectores. Los físicos llaman a estos subgrupos pequeños grupos . El problema se reduce entonces esencialmente al problema más fácil de encontrar representaciones de los pequeños grupos. Por ejemplo, un vector estándar en una de las hipérbolas de dos hojas podría elegirse adecuadamente como $(m, 0, 0, 0)$ . Por cada $m \neq 0$ , el vector atraviesa exactamente una hoja. En este caso, el pequeño grupo es $SO(3)$ , el grupo de rotación , cuyas representaciones son conocidas. La representación unitaria precisa de dimensión infinita bajo la cual se transforma una partícula es parte de su clasificación. No todas las representaciones pueden corresponder a partículas físicas (hasta donde se sabe). Los vectores estándar en las hipérbolas de una sola hoja corresponderían a taquiones . Las partículas en el cono de luz son fotones y, más hipotéticamente, gravitones . La "partícula" correspondiente al origen es el vacío.

Homomorfismos e isomorfismos.

Varios otros grupos son homomórficos o isomorfos al grupo restringido de Lorentz $SO + (1, 3)$ . Estos homomorfismos juegan un papel clave en la explicación de diversos fenómenos en física.

El grupo lineal especial $SL(2, C)$ es una doble cobertura del grupo restringido de Lorentz. Esta relación se utiliza ampliamente para expresar la invariancia de Lorentz de la ecuación de Dirac y la covarianza de los espinores . En otras palabras, el grupo de Lorentz (restringido) es isomorfo a $SL(2, C) / Z 2$
El grupo simpléctico $Sp(2, C)$ es isomorfo a $SL(2, C)$ ; se utiliza para construir espinores de Weyl , así como para explicar cómo los espinores pueden tener masa.
El grupo de espín $Spin(1, 3)$ es isomorfo a $SL(2, C)$ ; se utiliza para explicar el espín y los espinores en términos del álgebra de Clifford , dejando así claro cómo generalizar el grupo de Lorentz a escenarios generales en la geometría de Riemann , incluidas las teorías de la supergravedad y la teoría de cuerdas .
El grupo restringido de Lorentz es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo $PSL(2, C)$ que es, a su vez, isomorfo al grupo de Möbius , el grupo de simetría de la geometría conforme en la esfera de Riemann . Esta relación es fundamental para la clasificación de los subgrupos del grupo de Lorentz según un esquema de clasificación anterior desarrollado para el grupo de Möbius.

representación de weyl

La representación de Weyl o mapa de espinor es un par de homomorfismos sobreyectivos de $SL(2,$ $C$ $)$ a $SO$ $+$ $(1, 3)$ . Forman un par emparejado bajo transformaciones de paridad , correspondientes a espinores quirales izquierdo y derecho.

Se puede definir una acción de $SL(2, C)$ sobre el espacio-tiempo de Minkowski escribiendo un punto del espacio-tiempo como una matriz hermitiana de dos por dos en la forma

{\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}

en términos de matrices de Pauli .

Esta presentación, la presentación de Weyl, satisface

\det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Por tanto, se ha identificado el espacio de las matrices hermitianas (que es de cuatro dimensiones, como un espacio vectorial real ) con el espaciotiempo de Minkowski, de tal forma que el determinante de una matriz hermitiana es la longitud al cuadrado del vector correspondiente en el espaciotiempo de Minkowski. Un elemento $S \in SL(2, C)$ actúa sobre el espacio de matrices hermitianas vía

{\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,

¿ Dónde está la transpuesta hermitiana de $S$ ? Esta acción preserva el determinante y así $SL(2,$ $C$ $)$ actúa sobre el espacio-tiempo de Minkowski mediante isometrías (lineales). La forma invertida de paridad de lo anterior es $S^{\dagger }$

X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}

que se transforma como

X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}

Que esta es la transformación correcta se deduce al observar que

{\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1

permanece invariante bajo el par de transformaciones anteriores.

Estos mapas son sobreyectivos y el núcleo de cada mapa es el subgrupo de dos elementos $\pm I.$ Según el primer teorema de isomorfismo , el grupo cociente $PSL(2, C) = SL(2, C) / {\pm I}$ es isomorfo a $SO + (1, 3)$ .

El mapa de paridad intercambia estas dos coberturas. Corresponde a que la conjugación hermitiana es un automorfismo de $SL(2, C)$ . Estas dos cubiertas distintas corresponden a las dos acciones quirales distintas del grupo de Lorentz sobre los espinores . La forma no subrayada corresponde a espinores diestros que se transforman como , mientras que la forma superpuesta corresponde a espinores zurdos que se transforman como . ^[b] $\psi _{R}\mapsto S\psi _{R}$ $\psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}$

Es importante observar que este par de coberturas no sobrevive a la cuantización; cuando se cuantifica, esto conduce al peculiar fenómeno de la anomalía quiral . Las simetrías clásicas (es decir, no cuantificadas) del grupo de Lorentz se rompen mediante la cuantificación; este es el contenido del teorema del índice Atiyah-Singer .

Convenciones de notación

En física, es convencional denotar una transformación de Lorentz $Λ \in SO + (1, 3)$ como , mostrando así la matriz con índices de espacio-tiempo $μ$ $,$ $ν$ $= 0, 1, 2, 3$ . Se puede crear un cuatro vectores a partir de las matrices de Pauli de dos maneras diferentes: como y como . Las dos formas están relacionadas por una transformación de paridad . Tenga en cuenta que . ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }$ $\sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})$ ${\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)$ ${\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }$

Dada una transformación de Lorentz , la doble cobertura del grupo ortocrónico de Lorentz por $S$ $\in SL(2,$ $C$ $)$ dada anteriormente se puede escribir como $x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }$

x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }

Dejar caer esto toma la forma $x^{\mu }$

{\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }

La forma conjugada de paridad es

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

Prueba

Que lo anterior sea la forma correcta para la notación indexada no es inmediatamente obvio, en parte porque, cuando se trabaja en notación indexada, es bastante fácil confundir accidentalmente una transformada de Lorentz con su inversa o su transpuesta. Esta confusión surge debido a que la identidad es difícil de reconocer cuando se escribe en forma indexada. ¡Las transformadas de Lorentz no son tensores bajo las transformaciones de Lorentz! Por tanto, una prueba directa de esta identidad es útil para establecer su exactitud. Se puede demostrar comenzando con la identidad. $\eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}$

\omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{*}

donde , de modo que lo anterior son solo las matrices de Pauli habituales, y es la matriz transpuesta, y es una conjugación compleja. La matriz es $k=1,2,3$ $(\cdot )^{\textsf {T}}$ $(\cdot )^{*}$ $\omega$

\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

Escrita como cuatro vectores, la relación es

\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}

Esto se transforma como

{\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\right)^{*}\end{aligned}}

Tomando una transposición más, se obtiene

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

grupo simpléctico

El grupo simpléctico $Sp(2, C)$ es isomorfo a $SL(2, C)$ . Este isomorfismo se construye para preservar una forma bilineal simpléctica en $C 2$ , es decir, dejar la forma invariante bajo transformaciones de Lorentz. Esto puede articularse de la siguiente manera. El grupo simpléctico se define como

\operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}

dónde

\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

Otras notaciones comunes son para este elemento; a veces se utiliza $J$ , pero esto invita a confundir con la idea de estructuras casi complejas , que no son iguales, pues se transforman de manera diferente. $\omega =\epsilon$

Dado un par de espinores de Weyl (espinores de dos componentes)

u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}

la forma bilineal invariante se escribe convencionalmente como

\langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v

Esta forma es invariante bajo el grupo de Lorentz, de modo que para $S \in SL(2, C)$ se tiene

\langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle

Esto define una especie de "producto escalar" de espinores y se usa comúnmente para definir un término de masa invariante de Lorentz en lagrangianos . Hay varias propiedades notables que son importantes para la física. uno es ese y asi $\omega ^{2}=-1$ $\omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega$

La relación definitoria se puede escribir como

\omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}

que se parece mucho a la relación que define al grupo de Lorentz

\eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}

donde está el tensor métrico para el espacio de Minkowski y por supuesto, como antes. $\eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)$ $\Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)$

Grupos de cobertura

Dado que $SL(2, C)$ es simplemente conexo, es el grupo de cobertura universal del grupo restringido de Lorentz $SO + (1, 3)$ . Por restricción, existe un homomorfismo $SU(2) \to SO(3)$ . Aquí, el grupo unitario especial SU(2), que es isomorfo al grupo de cuaterniones norma unitarios , también está simplemente conexo, por lo que es el grupo de cobertura del grupo de rotación $SO(3)$ . Cada uno de estos mapas de cobertura son coberturas dobles en el sentido de que precisamente dos elementos del grupo de cobertura se asignan a cada elemento del cociente. Se suele decir que el grupo restringido de Lorentz y el grupo de rotación están doblemente conectados . Esto significa que el grupo fundamental de cada grupo es isomorfo al grupo cíclico de dos elementos $Z$ $2$ .

Las cubiertas dobles son características de los grupos de espín . En efecto, además de los dobles revestimientos

Girar + (1, 3) = SL(2, C) \to SO + (1, 3)

Girar(3) = SU(2) \to SO(3)

tenemos los revestimientos dobles

Pasador(1, 3) \to O(1, 3)

Girar (1, 3) \to SO (1, 3)

Girar + (1, 2) = SU(1, 1) \to SO(1, 2)

Estas dobles cubiertas espinoriales se construyen a partir de álgebras de Clifford .

Topología

Los grupos izquierdo y derecho en la doble cobertura.

SU(2) \to SO(3)

son retracciones de deformación de los grupos izquierdo y derecho, respectivamente, en la doble cobertura

SL(2, C) \to SO + (1, 3)

Pero el espacio homogéneo $SO + (1, 3) / SO(3)$ $es$ homeomorfo al espacio 3 hiperbólico $H3$ , por lo que hemos exhibido el grupo restringido de Lorentz como un haz de fibras principal con fibras $SO(3)$ y base $H3 .$ Dado que este último es homeomorfo a $R 3$ , mientras que $SO$ $(3)$ es homeomorfo al espacio proyectivo real tridimensional $RP 3$ , vemos que el grupo restringido de Lorentz es localmente homeomorfo al producto de $RP 3$ con $R$ $3$ $.$ Dado que el espacio base es contráctil, esto puede extenderse a un homeomorfismo global. ^{[ se necesita aclaración ]}

Clases de conjugación

Debido a que el grupo restringido de Lorentz $SO + (1, 3)$ es isomorfo al grupo de Möbius $PSL(2, C)$ , sus clases de conjugación también se dividen en cinco clases:

Transformaciones elípticas
Transformaciones hiperbólicas
Transformaciones loxodrómicas
Transformaciones parabólicas
La trivial transformación de la identidad

En el artículo sobre las transformaciones de Möbius , se explica cómo surge esta clasificación al considerar los puntos fijos de las transformaciones de Möbius en su acción sobre la esfera de Riemann, que corresponde aquí a espacios propios nulos de transformaciones de Lorentz restringidas en su acción sobre el espaciotiempo de Minkowski.

En las subsecciones siguientes se ofrece un ejemplo de cada tipo, junto con el efecto del subgrupo de un parámetro que genera (por ejemplo, en la apariencia del cielo nocturno).

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones conformes de la esfera de Riemann (o esfera celeste). Luego, conjugando con un elemento arbitrario de $SL(2, C)$ se obtienen los siguientes ejemplos de transformaciones de Lorentz elípticas, hiperbólicas, loxodrómicas y parabólicas (restringidas) arbitrarias, respectivamente. El efecto sobre las líneas de flujo de los correspondientes subgrupos de un parámetro es transformar el patrón visto en los ejemplos mediante alguna transformación conforme. Por ejemplo, una transformación elíptica de Lorentz puede tener dos puntos fijos distintos en la esfera celeste, pero los puntos aún fluyen a lo largo de arcos circulares desde un punto fijo hacia el otro. Los otros casos son similares.

Elíptico

Un elemento elíptico de $SL(2, C)$ es

P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}

y tiene puntos fijos $ξ$ = 0, ∞. Al escribir la acción como $X \mapsto P 1 X P 1 †$ y recopilar los términos, el mapa de espinor convierte esto a la transformación de Lorentz (restringida)

Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.

Esta transformación representa entonces una rotación alrededor del eje $z$ , exp( $iθJ z$ ). El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando $θ$ como una variable real, el ángulo de rotación, en lugar de una constante.

Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos dos puntos fijos, los polos norte y sur. Las transformaciones mueven todos los demás puntos alrededor de círculos de latitud de modo que este grupo produzca una rotación continua en sentido antihorario alrededor del eje $z a medida que$ $θ$ aumenta. La duplicación del ángulo evidente en el mapa de espinores es un rasgo característico de las dobles cubiertas espinoriales .

Hiperbólico

Un elemento hiperbólico de $SL(2, C)$ es

P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}

y tiene puntos fijos $ξ$ = 0, ∞. Bajo proyección estereográfica desde la esfera de Riemann al plano euclidiano, el efecto de esta transformación de Möbius es una dilatación desde el origen.

El mapa de espinor convierte esto a la transformación de Lorentz.

Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.

Esta transformación representa un impulso a lo largo del eje $z$ con rapidez $η$ . El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando $η$ como una variable real, en lugar de una constante. Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos puntos fijos (los polos norte y sur), y mueven todos los demás puntos a lo largo de longitudes alejándose del polo sur y hacia el polo norte.

loxodrómico

Un elemento loxodrómico de $SL(2, C)$ es

P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}

y tiene puntos fijos $ξ$ = 0, ∞. El mapa de espinor convierte esto a la transformación de Lorentz.

Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.

El subgrupo de un parámetro que esto genera se obtiene reemplazando $η + i θ$ con cualquier múltiplo real de esta constante compleja. (Si $η$ , $θ$ varían independientemente, entonces se obtiene un subgrupo abeliano bidimensional , que consta de rotaciones simultáneas alrededor del eje $z$ e impulsos a lo largo del eje $z$ ; en contraste, el subgrupo unidimensional discutido aquí consta de aquellos elementos de este subgrupo bidimensional tal que la rapidez del impulso y el ángulo de rotación tengan una relación fija ).

Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos dos puntos fijos (los polos norte y sur). Alejan todos los demás puntos del polo Sur y los acercan al polo Norte (o viceversa), a lo largo de una familia de curvas llamadas loxódromos . Cada loxódromo gira en espiral infinitamente alrededor de cada polo.

Parabólico

Un elemento parabólico de $SL(2, C)$ es

P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}

y tiene el único punto fijo $ξ$ = ∞ en la esfera de Riemann. Bajo proyección estereográfica, aparece como una traslación ordinaria a lo largo del eje real .

El mapa de espinor convierte esto en matriz (que representa una transformación de Lorentz)

{\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}

Esto genera un subgrupo abeliano de dos parámetros, que se obtiene considerando $α$ una variable compleja en lugar de una constante. Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la transformación de identidad) mueven puntos a lo largo de una familia de círculos que son todos tangentes en el polo Norte a un determinado gran círculo . Todos los puntos, excepto el propio polo Norte, se mueven a lo largo de estos círculos.

Las transformaciones parabólicas de Lorentz suelen denominarse rotaciones nulas . Dado que es probable que estas sean las menos familiares de los cuatro tipos de transformaciones de Lorentz sin identidad (elíptica, hiperbólica, loxodrómica, parabólica), aquí se ilustra cómo determinar el efecto de un ejemplo de una transformación parabólica de Lorentz en el espacio-tiempo de Minkowski.

La matriz dada arriba produce la transformación

{\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.

Ahora, sin pérdida de generalidad, elija $Im(α) = 0$ . Diferenciar esta transformación con respecto al parámetro de grupo ahora real $α$ y evaluar en $α = 0$ produce el campo vectorial correspondiente (operador diferencial parcial lineal de primer orden),

x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.

Aplique esto a una función $f (t, x, y, z)$ y exija que permanezca invariante; es decir, es aniquilado por esta transformación. La solución de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden resultante se puede expresar en la forma

f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),

donde $F$ es una función suave arbitraria . Los argumentos de $F$ dan tres invariantes racionales que describen cómo los puntos (eventos) se mueven bajo esta transformación parabólica, ya que ellos mismos no se mueven.

y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.

La elección de valores reales para las constantes en el lado derecho produce tres condiciones y, por lo tanto, especifica una curva en el espacio-tiempo de Minkowski. Esta curva es una órbita de la transformación.

La forma de los invariantes racionales muestra que estas líneas de flujo (órbitas) tienen una descripción simple: suprimiendo la coordenada no esencial $y$ , cada órbita es la intersección de un plano nulo , $t$ $=$ $z + c$ $2$ , con un hiperboloide , $t$ $2$ $- x$ $2$ $- z$ $2$ $=$ $c$ $3$ . En el caso $c$ ₃ = 0, el hiperboloide degenera en un cono de luz y las órbitas se convierten en parábolas que se encuentran en los correspondientes planos nulos.

Una línea nula particular situada sobre el cono de luz se deja invariante ; esto corresponde al único (doble) punto fijo en la esfera de Riemann mencionado anteriormente. Las otras líneas nulas que pasan por el origen "giran alrededor del cono" mediante la transformación. Seguir el movimiento de una de esas líneas nulas a medida que $α$ aumenta corresponde a seguir el movimiento de un punto a lo largo de una de las líneas de flujo circular en la esfera celeste, como se describió anteriormente.

En cambio, una elección $Re(α) = 0$ produce órbitas similares, ahora con los roles de $x$ e $y$ intercambiados.

Las transformaciones parabólicas conducen a la simetría de calibre de partículas sin masa (como los fotones ) con helicidad | $h$ | ≥ 1. En el ejemplo explícito anterior, una partícula sin masa que se mueve en la dirección $z$ , por lo que con 4 momentos $P = (p, 0, 0, p)$ , no se ve afectada en absoluto por la combinación de impulso $x$ y rotación $y .$ $K x - J y$ definido a continuación, en el "pequeño grupo" de su movimiento. Esto es evidente a partir de la ley de transformación explícita analizada: como cualquier vector similar a la luz, el propio P ahora es invariante; es decir, todos los rastros o efectos de $α$ han desaparecido. $c 1 = c 2 = c 3 = 0$ , en el caso especial discutido. (El otro generador similar, $K y + J x$ , así como él y $J z,$ comprenden en conjunto el pequeño grupo del vector similar a la luz, isomorfo a $E (2)$ .)

Aspecto del cielo nocturno

Este isomorfismo tiene la consecuencia de que las transformaciones de Möbius de la esfera de Riemann representan la forma en que las transformaciones de Lorentz cambian la apariencia del cielo nocturno, tal como lo ve un observador que maniobra a velocidades relativistas relativas a las "estrellas fijas".

Supongamos que las "estrellas fijas" viven en el espacio-tiempo de Minkowski y están modeladas por puntos de la esfera celeste. Entonces, un punto dado de la esfera celeste puede asociarse con $ξ = u + iv$ , un número complejo que corresponde al punto de la esfera de Riemann , y puede identificarse con un vector nulo (un vector similar a la luz ) en el espacio de Minkowski.

{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}

o, en la representación de Weyl (el mapa de espinor), la matriz hermitiana

N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.

El conjunto de múltiplos escalares reales de este vector nulo, llamado línea nula que pasa por el origen, representa una línea de visión desde un observador en un lugar y tiempo particular (un evento arbitrario que podemos identificar con el origen del espacio-tiempo de Minkowski) hacia varios lugares distantes. objetos, como las estrellas. Entonces los puntos de la esfera celeste (equivalentemente, líneas de visión) se identifican con ciertas matrices hermitianas.

Geometría proyectiva y diferentes vistas de las 2 esferas.

Esta imagen emerge claramente en el lenguaje de la geometría proyectiva. El grupo de Lorentz (restringido) actúa sobre la esfera celeste proyectiva . Este es el espacio de vectores nulos distintos de cero con el cociente dado para espacios proyectivos: if for . Esto se conoce como esfera celeste, ya que nos permite reescalar la coordenada de tiempo a 1 después de actuar usando una transformación de Lorentz, asegurando que la parte espacial se asiente en la esfera unitaria. $t>0$ $(t,x,y,z)\sim (t',x',y',z')$ $(t',x',y',z')=(\lambda t,\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ $\lambda >0$ $t$

Desde el lado de Möbius, $SL(2, C)$ actúa sobre el espacio proyectivo complejo $CP 1$ $, que puede demostrarse que es difeomorfo a las 2 esferas; esto a$ veces se denomina esfera de Riemann . El cociente en el espacio proyectivo conduce a un cociente en el grupo $SL(2, C)$ .

Finalmente, estos dos pueden vincularse utilizando el vector proyectivo complejo para construir un vector nulo. Si es un vector proyectivo $C$ $P$ $1$ , se puede tensar con su conjugado hermitiano para producir una matriz hermitiana. Por otra parte de este artículo sabemos que este espacio de matrices puede verse como 4 vectores. El espacio de matrices que resulta de convertir cada vector proyectivo de la esfera de Riemann en una matriz se conoce como esfera de Bloch . $\xi$ $2\times 2$

álgebra de mentiras

Como ocurre con cualquier grupo de Lie, una forma útil de estudiar muchos aspectos del grupo de Lorentz es mediante su álgebra de Lie . Dado que el grupo de Lorentz $SO (1, 3)$ es un grupo de Lie matricial , su álgebra de Lie correspondiente es un álgebra de Lie matricial, que puede calcularse como ^[5] ${\mathfrak {so}}(1,3)$

{\mathfrak {so}}(1,3)=\left\{4\times 4\,\,\,\mathbf {R} {\text{-valued matrices}}\,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}

Si es la matriz diagonal con entradas diagonales $(1, -1, -1, -1)$ , entonces el álgebra de Lie consta de matrices tales que ^[6] $\eta$ ${\mathfrak {o}}(1,3)$ $4\times 4$ $X$

\eta X\eta =-X^{\textsf {T}}

Explícitamente, consta de matrices de la forma ${\mathfrak {so}}(1,3)$ $4\times 4$

{\begin{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\end{pmatrix}}

donde están los números reales arbitrarios. Este álgebra de Lie es de seis dimensiones. La subálgebra que consta de elementos en los que , y igual a cero es isomorfa a . $a,b,c,d,e,f$ ${\mathfrak {so}}(1,3)$ $a$ $b$ $c$ ${\mathfrak {so}}(3)$

El grupo de Lorentz completo $O(1, 3)$ , el grupo de Lorentz adecuado $SO(1, 3)$ y el grupo de Lorentz ortocrónico adecuado $SO + (1, 3)$ (el componente conectado a la identidad) tienen todos el mismo álgebra de Lie, que normalmente se denota . ${\mathfrak {so}}(1,3)$

Dado que el componente de identidad del grupo de Lorentz es isomorfo a un cociente finito de $SL(2, C)$ (ver la sección anterior sobre la conexión del grupo de Lorentz con el grupo de Möbius), el álgebra de Lie del grupo de Lorentz es isomorfo al Álgebra de mentiras . Como álgebra de Lie compleja es tridimensional, pero es hexadimensional cuando se ve como un álgebra de Lie real. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )$

Relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz

Las matrices de base estándar se pueden indexar como donde se toman valores en ${0, 1, 2, 3}$ . Estos surgen de tomar sólo uno de como uno y otros cero, a su vez. Los componentes se pueden escribir como $M^{\mu \nu }$ $\mu ,\nu$ $a,b,\cdots ,f$

(M^{\mu \nu })_{\rho \sigma }=\delta ^{\mu }{}_{\rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\delta ^{\nu }{}_{\rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }

Las relaciones de conmutación son

[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.

Hay diferentes opciones posibles de convención en uso. En física, es común incluir un factor de con los elementos base, lo que da un factor de en las relaciones de conmutación. $i$ $i$

Luego genera impulsos y genera rotaciones. $M^{0i}$ $M^{ij}$

Las constantes estructurales del álgebra de Lorentz se pueden leer a partir de las relaciones de conmutación. Cualquier conjunto de elementos básicos que satisfagan estas relaciones forma una representación del álgebra de Lorentz.

Generadores de impulsos y rotaciones.

El grupo de Lorentz puede considerarse como un subgrupo del grupo de difeomorfismo de $R 4$ y, por lo tanto, su álgebra de Lie puede identificarse con campos vectoriales en $R 4$ . En particular, los vectores que generan isometrías en un espacio son sus vectores Killing , que proporcionan una alternativa conveniente al campo vectorial invariante por la izquierda para calcular el álgebra de Lie. Podemos escribir un conjunto de seis generadores :

Campos vectoriales en $R 4$ que generan tres rotaciones $i J$ ,
$-y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;$
Campos vectoriales en $R 4$ que generan tres impulsos $i K$ ,
$x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.$

El factor de $i$ parece asegurar que los generadores de rotaciones sean hermitianos.

Puede resultar útil recordar aquí brevemente cómo obtener un grupo de un parámetro a partir de un campo vectorial , escrito en forma de operador diferencial parcial lineal de primer orden , como

{\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.

El problema de valor inicial correspondiente (considere una función de un escalar y resuelva con algunas condiciones iniciales) es $r=(x,y)$ $\lambda$ $\partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r$

{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.

La solución se puede escribir.

x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )

{\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}

donde reconocemos fácilmente el grupo matricial de rotaciones de un parámetro $exp(iλJ z)$ alrededor del eje z.

Derivando con respecto al parámetro de grupo $λ$ y poniéndolo en $λ = 0$ en ese resultado, recuperamos la matriz estándar,

iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,

que corresponde al campo vectorial con el que comenzamos. Esto ilustra cómo pasar entre representaciones matriciales y de campos vectoriales de elementos del álgebra de Lie. El mapa exponencial desempeña este papel especial no sólo para el grupo de Lorentz sino para los grupos de Lie en general.

Invirtiendo el procedimiento de la sección anterior, vemos que las transformaciones de Möbius que corresponden a nuestros seis generadores surgen de exponenciar respectivamente $η /2$ (para los tres impulsos) o $iθ /2$ (para las tres rotaciones) por las tres matrices de Pauli.

\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.

Generadores del grupo Möbius

Otro conjunto generador surge a través del isomorfismo del grupo de Möbius. La siguiente tabla enumera los seis generadores, en los cuales

La primera columna proporciona un generador del flujo bajo la acción de Möbius (después de una proyección estereográfica desde la esfera de Riemann) como un campo vectorial real en el plano euclidiano.
La segunda columna proporciona el correspondiente subgrupo de un parámetro de transformaciones de Möbius.
La tercera columna proporciona el subgrupo de un parámetro correspondiente de transformaciones de Lorentz (la imagen debajo de nuestro homomorfismo del subgrupo de un parámetro anterior).
La cuarta columna muestra el correspondiente generador del flujo bajo la acción de Lorentz como un campo vectorial real en el espacio-tiempo de Minkowski.

Observe que los generadores constan de

Dos parabólicas (rotaciones nulas)
Un hiperbólico (impulso en la dirección) $\partial _{z}$
Tres elípticas (rotaciones sobre los ejes x , y , z , respectivamente)

Ejemplo resuelto: rotación sobre el eje y

Empezar con

\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.

Exponenciar:

\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.

Este elemento de $SL(2, C)$ representa el subgrupo de un parámetro de transformaciones de Möbius (elípticas):

\xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.

Próximo,

\left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.

El campo vectorial correspondiente en $C$ (considerado como la imagen de $S 2$ bajo proyección estereográfica) es

-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.

Escribiendo , esto se convierte en el campo vectorial en $R$ $2$ $\xi =u+iv$

-{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.

Volviendo a nuestro elemento de $SL(2, C)$ , escribiendo la acción y recopilando términos, encontramos que la imagen bajo el mapa de espinor es el elemento de $SO$ $+$ $(1, 3)$ $X\mapsto PXP^{\dagger }$

{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.

Derivando con respecto a $θ$ en $θ = 0$ , se obtiene el campo vectorial correspondiente en $R 1,3$ ,

z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!

Evidentemente, este es el generador de rotación en sentido antihorario alrededor del eje $y$ .

Subgrupos del grupo de Lorentz

Se pueden enumerar las subálgebras del álgebra de Lie del grupo de Lorentz, hasta la conjugación, a partir de las cuales se pueden enumerar los subgrupos cerrados del grupo restringido de Lorentz, hasta la conjugación. (Consulte el libro de Hall citado a continuación para obtener más detalles). Estos se pueden expresar fácilmente en términos de los generadores que figuran en la tabla anterior. $X_{n}$

Las subálgebras unidimensionales, por supuesto, corresponden a las cuatro clases de conjugación de elementos del grupo de Lorentz:

$X_{1}$ genera una subálgebra de un parámetro de parabólicas $SO(0, 1)$ ,
$X_{3}$ genera una subálgebra de un parámetro de impulsos $SO(1, 1)$ ,
$X_{4}$ genera un parámetro de rotaciones $SO(2)$ ,
$X_{3}+aX_{4}$ (para cualquiera ) genera una subálgebra de un parámetro de transformaciones loxodrómicas. $a\neq 0$

(Estrictamente hablando, la última corresponde a infinitas clases, ya que distintas dan clases diferentes.) Las subálgebras bidimensionales son: $a$

$X_{1},X_{2}$ generar una subálgebra abeliana que consta enteramente de parabólicas,
$X_{1},X_{3}$ generar una subálgebra nobeliana isomorfa al álgebra de Lie del grupo afín $Aff(1)$ ,
$X_{3},X_{4}$ generar una subálgebra abeliana que consta de impulsos, rotaciones y loxodrómicas, todos compartiendo el mismo par de puntos fijos.

Las subálgebras tridimensionales utilizan el esquema de clasificación de Bianchi :

$X_{1},X_{2},X_{3}$ generar una subálgebra de Bianchi V , isomorfa al álgebra de Lie de $Hom(2)$ , el grupo de homotecias euclidianas ,
$X_{1},X_{2},X_{4}$ generar una subálgebra de Bianchi VII ₀ , isomorfa al álgebra de Lie de $E (2)$ , el grupo euclidiano ,
$X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}$ , donde genera un Bianchi VII _una subálgebra, $a\neq 0$
$X_{1},X_{3},X_{5}$ generar una subálgebra de Bianchi VIII , isomorfa al álgebra de Lie de $SL(2, R)$ , el grupo de isometrías del plano hiperbólico ,
$X_{4},X_{5},X_{6}$ generar una subálgebra de Bianchi IX , isomorfa al álgebra de Lie de $SO(3)$ , el grupo de rotación.

Los tipos de Bianchi hacen referencia a la clasificación de álgebras de Lie tridimensionales realizada por el matemático italiano Luigi Bianchi .

Las subálgebras de cuatro dimensiones están todas conjugadas a

$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$ generar una subálgebra isomorfa al álgebra de Lie de $Sim(2)$ , el grupo de similitudes euclidianas .

Las subálgebras forman una red (ver la figura), y cada subálgebra genera por exponenciación un subgrupo cerrado del grupo de Lie restringido. A partir de estos, todos los subgrupos del grupo de Lorentz se pueden construir, hasta la conjugación, multiplicando por uno de los elementos del grupo de cuatro de Klein.

Como ocurre con cualquier grupo de Lie conectado, los espacios laterales de los subgrupos cerrados del grupo restringido de Lorentz, o espacios homogéneos , tienen un interés matemático considerable. Algunas breves descripciones:

El grupo $Sim(2)$ es el estabilizador de una línea nula ; es decir, de un punto en la esfera de Riemann; por lo tanto, el espacio homogéneo $SO + (1, 3) / Sim(2)$ es la geometría kleiniana que representa la geometría conforme en la esfera $S 2$ .
El (componente de identidad del) grupo euclidiano $SE(2)$ es el estabilizador de un vector nulo , por lo que el espacio homogéneo $SO + (1, 3) / SE(2)$ es el espacio de momento de una partícula sin masa; Geométricamente, esta geometría kleiniana representa la geometría degenerada del cono de luz en el espacio-tiempo de Minkowski.
El grupo de rotación $SO(3)$ es el estabilizador de un vector temporal , por lo que el espacio homogéneo $SO + (1, 3) / SO(3)$ es el espacio de impulso de una partícula masiva; Geométricamente, este espacio no es otro que el espacio hiperbólico tridimensional $H 3$ .

Generalización a dimensiones superiores.

El concepto de grupo de Lorentz tiene una generalización natural al espacio-tiempo de cualquier número de dimensiones. Matemáticamente, el grupo de Lorentz del espacio de Minkowski ( n + 1)-dimensional es el grupo ortogonal indefinido $O(n, 1)$ de transformaciones lineales de $R n +1$ que conserva la forma cuadrática.

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.

El grupo $O(1, n)$ conserva la forma cuadrática

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}

$O(1, n)$ es isomorfo a $O(n, 1)$ y ambas presentaciones del grupo de Lorentz se utilizan en la comunidad de física teórica. El primero es más común en la literatura relacionada con la gravedad, mientras que el segundo es más común en la literatura sobre física de partículas.

Una notación común para el espacio vectorial $R n +1$ , equipado con esta elección de forma cuadrática, es $R 1, n$ .

Muchas de las propiedades del grupo de Lorentz en cuatro dimensiones (donde n = 3 ) se generalizan directamente a $n$ arbitrario . Por ejemplo, el grupo de Lorentz $O (n, 1)$ tiene cuatro componentes conectados y actúa mediante transformaciones conformes en la esfera celeste $(n - 1)$ en el espacio de Minkowski $(n + 1)$ -dimensional. El componente de identidad $SO + (n, 1)$ es un paquete $SO (n)$ sobre el espacio $n hiperbólico$ $H n$ .

Los casos de baja dimensión $n = 1$ y $n = 2$ suelen ser útiles como "modelos de juguete" para el caso físico $n = 3$ , mientras que los grupos de Lorentz de mayor dimensión se utilizan en teorías físicas como la teoría de cuerdas que postulan la existencia de dimensiones ocultas. . El grupo de Lorentz $O(n, 1)$ es también el grupo de isometría del espacio de Sitter $n$ -dimensional $dS$ $n$ , que puede realizarse como el espacio homogéneo $O($ $n$ $, 1) / O($ $n$ $- 1, 1)$ . En particular, $O(4, 1)$ es el grupo de isometría del universo de Sitter $dS$ $4$ , un modelo cosmológico.

Ver también

Notas

^ Tenga en cuenta que algunos autores se refieren a $SO(1, 3)$ o incluso $a O(1, 3)$ cuando quieren decir $SO + (1, 3)$ .
^ Consulte el artículo Ecuación de Weyl para obtener derivaciones explícitas.

Referencias

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^ Wigner 1939
^ Salón 2015 Definición 3.18
^ Propuesta 3.25 del Salón 2015

Leyendo lista

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