Grupo de pines

En matemáticas , el grupo pin es un subgrupo determinado del álgebra de Clifford asociado a un espacio cuadrático . Se asigna 2 a 1 al grupo ortogonal , de la misma manera que el grupo spin se asigna 2 a 1 al grupo ortogonal especial .

En general, la función del grupo Pin al grupo ortogonal no es sobreyectiva ni un espacio de recubrimiento universal , pero si la forma cuadrática es definida (y la dimensión es mayor que 2), es ambas cosas.

El elemento no trivial del núcleo se denota que no debe confundirse con la transformada ortogonal de reflexión a través del origen , generalmente denotada ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle -I.}$

Definición general

Sea un espacio vectorial con una forma cuadrática no degenerada . El grupo de pines es el subconjunto del álgebra de Clifford que consta de elementos de la forma , donde son vectores tales que . El grupo de espín se define de manera similar, pero con restricción para ser par; es un subgrupo del grupo de pines. ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)}$ ${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle Q(v_{i})=\pm 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q)}$ ${\displaystyle k}$

En este artículo, siempre es un espacio vectorial real. Cuando tiene vectores base que satisfacen y el grupo de pines se denota Pin( p , q ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e_{1},...,e_{p+q}}$ ${\displaystyle e_{1}^{2},...,e_{p}^{2}=1}$ ${\displaystyle e_{p+1}^{2},...,e_{p+q}^{2}=-1,}$

Geométricamente, para vectores con , es la reflexión de un vector a través del hiperplano ortogonal a . De manera más general, un elemento del grupo pin actúa sobre vectores transformándose en , que es la composición de k reflexiones. Dado que cada transformación ortogonal se puede expresar como una composición de reflexiones (el teorema de Cartan-Dieudonné ), se deduce que esta representación del grupo pin es un homomorfismo del grupo pin sobre el grupo ortogonal. Esto a menudo se llama la representación adjunta torcida. Los elementos ±1 del grupo pin son los elementos que se asignan a la identidad , y cada elemento de corresponde exactamente a dos elementos de . ^[2] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Q(v)\neq 0}$ ${\displaystyle -vwv^{-1}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (-1)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}w(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})^{-1}}$ ${\displaystyle I\in O(p,q)}$ ${\displaystyle O(p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (p,q)}$

Forma definida

El grupo de pines de una forma definida se asigna al grupo ortogonal, y cada componente está simplemente conectado (en dimensión 3 y superior): cubre dos veces el grupo ortogonal. Los grupos de pines para una forma cuadrática definida positiva Q y para su − Q negativa no son isomorfos, pero los grupos ortogonales sí lo son. ^{[nota 1]}

En términos de las formas estándar, O( n , 0) = O(0, n ), pero Pin( n , 0) y Pin(0, n ) en general no son isomorfos. Usando la convención del signo "+" para las álgebras de Clifford (donde ), se escribe ${\displaystyle v^{2}=Q(v)\in \mathrm {Cl} (V,Q)}$

${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}(n):={\mbox{Pin}}(n,0)\qquad {\mbox{Pin}}_{-}(n):={\mbox{Pin}}(0,n)}$

y ambos se asignan a O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ).

Por el contrario, tenemos el isomorfismo natural ^{[nota 2]} Spin( n , 0) ≅ Spin(0, n ) y ambos son la doble cobertura no trivial (única) del grupo ortogonal especial SO( n ), que es la cobertura universal (única) para n ≥ 3.

Forma indefinida

Existen hasta ocho recubrimientos dobles diferentes de O( p , q ) , para p , q ≠ 0, que corresponden a las extensiones del centro (que es C ₂ × C ₂ o C ₄ ) por C ₂ . Solo dos de ellos son grupos pin, aquellos que admiten el álgebra de Clifford como representación. Se denominan Pin( p , q ) y Pin( q , p ) respectivamente.

Como grupo topológico

Cada grupo topológico conexo tiene una cobertura universal única como espacio topológico, que tiene una estructura de grupo única como extensión central del grupo fundamental. Para un grupo topológico desconectado, existe una cobertura universal única del componente identidad del grupo, y se puede tomar la misma cobertura como espacios topológicos en los otros componentes (que son espacios homogéneos principales para el componente identidad), pero la estructura de grupo en otros componentes no está determinada de manera única en general.

Los grupos Pin y Spin son grupos topológicos particulares asociados a los grupos ortogonales y ortogonales especiales, provenientes de las álgebras de Clifford: existen otros grupos similares, correspondientes a otros recubrimientos dobles o a otras estructuras de grupo sobre los otros componentes, pero no se denominan grupos Pin o Spin, ni se estudian mucho.

En 2001, Andrzej Trautman ^{[nota 3]} encontró el conjunto de las 32 coberturas dobles no equivalentes de O( p ) x O( q ), el subgrupo compacto máximo de O( p , q ) y una construcción explícita de 8 coberturas dobles del mismo grupo O( p , q ).

Construcción

Los dos grupos de pines corresponden a las dos extensiones centrales

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{\pm }(V)\to \mathrm {O} (V)\to 1.}$

La estructura del grupo en Spin( V ) (el componente conectado del determinante 1) ya está determinada; la estructura del grupo en el otro componente está determinada hasta el centro y, por lo tanto, tiene una ambigüedad de ±1.

Las dos extensiones se distinguen por si la preimagen de una reflexión eleva al cuadrado ±1 ∈ Ker (Spin( V ) → SO( V )), y los dos grupos de pines se nombran en consecuencia. Explícitamente, una reflexión tiene orden 2 en O( V ), r ² = 1, por lo que el cuadrado de la preimagen de una reflexión (que tiene determinante uno) debe estar en el núcleo de Spin _± ( V ) → SO( V ), por lo que , y cualquiera de las opciones determina un grupo de pines (ya que todas las reflexiones son conjugadas por un elemento de SO( V ), que está conectado, todas las reflexiones deben elevar al cuadrado el mismo valor). ${\displaystyle {\tilde {r}}^{2}=\pm 1}$

Concretamente, en Pin ₊ , tiene orden 2, y la preimagen de un subgrupo {1, r } es C ₂ × C ₂ : si se repite dos veces la misma reflexión , se obtiene la identidad. ${\displaystyle {\tilde {r}}}$

En Pin ₋ , tiene orden 4, y la preimagen de un subgrupo {1, r } es C ₄ : si uno repite la misma reflexión dos veces, se obtiene "una rotación de 2π"—el elemento no trivial de Spin( V ) → SO( V ) puede interpretarse como "rotación de 2π" (cada eje produce el mismo elemento). ${\displaystyle {\tilde {r}}}$

Dimensiones reducidas

En una dimensión, los grupos pin son congruentes con los primeros grupos diedros y dicíclicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Pin}}_{+}(1)&\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}={\mbox{Dih}}_{1}\\{\mbox{Pin}}_{-}(1)&\cong \mathrm {C} _{4}={\mbox{Dic}}_{1}.\end{aligned}}}$

En dos dimensiones, la distinción entre Pin ₊ y Pin ₋ refleja la distinción entre el grupo diedro de un 2 n -gono y el grupo dicíclico del grupo cíclico C _{2 n} .

En Pin ₊ , la preimagen del grupo diedro de un n -gono, considerado como un subgrupo Dih _n < O(2), es el grupo diedro de un 2 n -gono, Dih _{2 n} < Pin ₊ (2), mientras que en Pin ₋ , la preimagen del grupo diedro es el grupo dicíclico Dic _n < Pin ₋ (2).

El cuadrado conmutativo resultante de los subgrupos para Spin(2), Pin ₊ (2), SO(2), O(2) – es decir C _{2 n} , Dih _{2 n} , C _n , Dih _n – también se obtiene usando el grupo ortogonal proyectivo (bajando desde O por un cociente doble, en lugar de subir por una cobertura doble) en el cuadrado SO(2), O(2), PSO(2), PO(2), aunque en este caso también se realiza geométricamente, ya que "la proyectivización de un 2 n -gono en el círculo es un n -gono en la línea proyectiva".

En 3 dimensiones la situación es la siguiente. El álgebra de Clifford generada por 3 raíces cuadradas anticonmutativas de +1 es el álgebra de matrices complejas 2×2, y Pin ₊ (3) es isomorfa a . ^[3] El álgebra de Clifford generada por 3 raíces cuadradas anticonmutativas de -1 es el álgebra , y Pin ₋ (3) es isomorfa a SU(2) × C ₂ . Estos grupos no son isomorfos porque el centro de Pin ₊ (3) es C ₄ mientras que el centro de Pin ₋ (3) es C ₂ × C ₂ . ${\displaystyle \{A\in U(2):\det A=\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

Centro

Supongamos que . El centro de es cuando , y cuando . El centro de es cuando , y cuando . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathrm {Pin} _{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle n=0,1\ \mathrm {mod} \ 4}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$ ${\displaystyle n=2,3\ \mathrm {mod} \ 4}$ ${\displaystyle \mathrm {Pin} _{-}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle n=0,3\ \mathrm {mod} \ 4}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$ ${\displaystyle n=2,1\ \mathrm {mod} \ 4}$

Nombre

El nombre fue introducido en (Atiyah, Bott & Shapiro 1964, página 3, línea 17), donde afirman "Este chiste se debe a JP Serre ". Es una formación inversa de Spin: "Pin es a O( n ) como Spin es a SO( n )", por lo tanto, eliminar la "S" de "Spin" da como resultado "Pin".

Notas

1. De hecho, son iguales como subconjuntos de GL( V ), no sólo isomorfos como grupos abstractos: un operador preserva una forma si y sólo si preserva la forma negativa.
2. Se incluyen en diferentes álgebras , pero son iguales como subconjuntos de los espacios vectoriales y llevan la misma estructura de producto, por lo tanto, se identifican naturalmente. ${\displaystyle \mathrm {Cl} (n,0)\not \cong \mathrm {Cl} (0,n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (n,0)=\mathrm {Cl} (0,n)=\Lambda ^{*}\mathbf {R} ^{n}}$
3. A. Trautman (2001). "Coberturas dobles de grupos pseudoortogonales". En F. Brackx; JSR Chisholm; V. Souček (eds.). Análisis de Clifford y sus aplicaciones . Serie de Ciencias de la OTAN. Vol. 25. págs. 377–388. doi :10.1007/978-94-010-0862-4_32. ISBN . 978-0-7923-7045-1.

Referencias

1. Lawson y Michelsohn 1989, pág. 18
2. Lawson y Michelsohn 1989, págs. 16-20
3. Harvey 1990, pág. 302

• Atiyah, MF ; Bott, R .; Shapiro, A. (1964), "Módulos Clifford", Topología , 3, supl. 1: 3–38, doi :10.1016/0040-9383(64)90003-5
• M. Karoubi (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie". Ana. Ciencia. CE. Norma. Súper . 1 (2): 161–270. doi : 10.24033/asens.1163 .
• Dabrowski, L. (1988), Acciones grupales sobre Spinors , Bibliopolis, ISBN 88-7088-205-5
• Carlip, S.; DeWitt-Morette, C. (1988), "Donde el signo de la métrica marca la diferencia", Phys. Rev. Lett. , 60 (16): 1599–1601, Bibcode :1988PhRvL..60.1599C, doi :10.1103/physrevlett.60.1599, PMID  10038088
• Chamblin, A. (1994), "Sobre las obstrucciones a las estructuras de pasador no cliffordianas", Comm. Math. Phys. , 164 (1): 65–85, arXiv : gr-qc/9509039 , Bibcode :1994CMaPh.164...65C, doi :10.1007/bf02108806, S2CID  18305909
• Harvey, F. Reese (1990), Espinores y calibraciones , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Karoubi, Max (2008). Teoría K. Springer. Págs. 212-214. ISBN. 978-3-540-79889-7.