En matemáticas , un espacio homogéneo es, de manera muy informal, un espacio que parece igual en todas partes, a medida que te mueves a través de él, con movimiento dado por la acción de un grupo . Los espacios homogéneos ocurren en las teorías de grupos de Lie , grupos algebraicos y grupos topológicos . Más precisamente, un espacio homogéneo para un grupo G es una variedad no vacía o espacio topológico X sobre el que G actúa transitivamente . Los elementos de G se denominan simetrías de X. Un caso especial de esto es cuando el grupo G en cuestión es el grupo de automorfismo del espacio X - aquí "grupo de automorfismo" puede significar grupo de isometría , grupo de difeomorfismo o grupo de homeomorfismo . En este caso, X es homogéneo si intuitivamente X parece localmente igual en cada punto, ya sea en el sentido de isometría (geometría rígida), difeomorfismo ( geometría diferencial ) u homeomorfismo ( topología ). Algunos autores insisten en que la acción de G debe ser fiel (los elementos no idénticos actúan de manera no trivial), aunque el presente artículo no lo hace. Por lo tanto, existe una acción grupal de G sobre X que puede considerarse como la que preserva cierta "estructura geométrica" sobre X y convierte a X en una única órbita G.
Sea X un conjunto no vacío y G un grupo. Entonces X se llama G -espacio si está equipado con una acción de G sobre X. [1] Nótese que automáticamente G actúa por automorfismos (biyecciones) sobre el conjunto. Si X además pertenece a alguna categoría , entonces se supone que los elementos de G actúan como automorfismos en la misma categoría. Es decir, las funciones sobre X que provienen de elementos de G conservan la estructura asociada con la categoría (por ejemplo, si X es un objeto en Diff entonces se requiere que la acción sea por difeomorfismos ). Un espacio homogéneo es un G -espacio sobre el cual G actúa transitivamente.
Si X es un objeto de la categoría C , entonces la estructura de un G -espacio es un homomorfismo :
en el grupo de automorfismos del objeto X en la categoría C . El par ( X , ρ ) define un espacio homogéneo siempre que ρ ( G ) sea un grupo transitivo de simetrías del conjunto subyacente de X .
Por ejemplo, si X es un espacio topológico , entonces se supone que los elementos del grupo actúan como homeomorfismos en X. La estructura de un G -espacio es un homomorfismo de grupo ρ : G → Homeo( X ) en el grupo de homeomorfismos de X.
De manera similar, si X es una variedad diferenciable , entonces los elementos del grupo son difeomorfismos . La estructura de un G -espacio es un homomorfismo de grupo ρ : G → Diffeo( X ) en el grupo de difeomorfismos de X.
Los espacios simétricos de Riemann son una clase importante de espacios homogéneos e incluyen muchos de los ejemplos enumerados a continuación.
Algunos ejemplos concretos incluyen:
Desde el punto de vista del programa de Erlangen , se puede entender que "todos los puntos son iguales", en la geometría de X. Esto era cierto para esencialmente todas las geometrías propuestas antes de la geometría de Riemann , a mediados del siglo XIX.
Así, por ejemplo, el espacio euclidiano , el espacio afín y el espacio proyectivo son todos ellos, de manera natural, espacios homogéneos para sus respectivos grupos de simetría . Lo mismo sucede con los modelos encontrados de geometría no euclidiana de curvatura constante , como el espacio hiperbólico .
Otro ejemplo clásico es el espacio de líneas en el espacio proyectivo de tres dimensiones (equivalentemente, el espacio de subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones ). Es una simple álgebra lineal demostrar que GL 4 actúa transitivamente sobre ellos. Podemos parametrizarlos por coordenadas de línea : estos son los menores 2×2 de la matriz 4×2 con columnas dos vectores base para el subespacio. La geometría del espacio homogéneo resultante es la geometría de línea de Julius Plücker .
En general, si X es un espacio homogéneo de G y H o es el estabilizador de algún punto marcado o en X (una elección de origen ), los puntos de X corresponden a las clases laterales izquierdas G / H o y el punto marcado o corresponde a la clase lateral de la identidad. Por el contrario, dado un espacio de clases laterales G / H , es un espacio homogéneo para G con un punto distinguido, a saber, la clase lateral de la identidad. Por lo tanto, un espacio homogéneo puede considerarse como un espacio de clases laterales sin una elección de origen.
Por ejemplo, si H es el subgrupo identidad { e }, entonces X es el G -torsor , lo que explica por qué los G -torsores a menudo se describen intuitivamente como " G con identidad olvidada".
En general, una elección diferente del origen o conducirá a un cociente de G por un subgrupo diferente H o′ que está relacionado con H o por un automorfismo interno de G . Específicamente,
donde g es cualquier elemento de G para el cual go = o ′ . Nótese que el automorfismo interno (1) no depende de cuál de estos g se selecciona; depende solamente de g módulo H o .
Si la acción de G sobre X es continua y X es Hausdorff , entonces H es un subgrupo cerrado de G. En particular, si G es un grupo de Lie , entonces H es un subgrupo de Lie según el teorema de Cartan . Por lo tanto, G / H es una variedad suave y, por lo tanto, X tiene una estructura suave única compatible con la acción del grupo.
Se puede ir más allá y utilizar espacios de doble clase coetánea , en particular las formas de Clifford–Klein Γ\ G / H , donde Γ es un subgrupo discreto (de G ) que actúa de manera propiamente discontinua .
Por ejemplo, en el caso de la geometría lineal, podemos identificar a H como un subgrupo de 12 dimensiones del grupo lineal general de 16 dimensiones , GL(4), definido por condiciones en las entradas de la matriz.
Al buscar el estabilizador del subespacio generado por los dos primeros vectores de base estándar, se demuestra que X tiene dimensión 4.
Como las coordenadas homogéneas dadas por los menores son 6, esto significa que estos últimos no son independientes entre sí. De hecho, existe una única relación cuadrática entre los seis menores, como lo sabían los geómetras del siglo XIX.
Este ejemplo fue el primer ejemplo conocido de un Grassmanniano , distinto de un espacio proyectivo. Existen muchos otros espacios homogéneos de los grupos lineales clásicos de uso común en matemáticas.
La idea de un espacio vectorial prehomogéneo fue introducida por Mikio Sato .
Se trata de un espacio vectorial V de dimensión finita con una acción de grupo de un grupo algebraico G , tal que existe una órbita de G que está abierta para la topología de Zariski (y por tanto, densa). Un ejemplo es GL(1) que actúa sobre un espacio unidimensional.
La definición es más restrictiva de lo que parece inicialmente: tales espacios tienen propiedades notables, y existe una clasificación de los espacios vectoriales prehomogéneos irreducibles, hasta una transformación conocida como "enroque".
Dado el grupo de Poincaré G y su subgrupo el grupo de Lorentz H , el espacio de clases laterales G / H es el espacio de Minkowski . [3] Junto con el espacio de De Sitter y el espacio Anti-de Sitter estos son los espacio-tiempos lorentzianos máximamente simétricos. También hay espacios homogéneos de relevancia en física que no son lorentzianos, por ejemplo los espacio-tiempos galileanos, carrolianos o aristotélicos. [2]
La cosmología física que utiliza la teoría general de la relatividad hace uso del sistema de clasificación de Bianchi . Los espacios homogéneos en relatividad representan la parte espacial de las métricas de fondo para algunos modelos cosmológicos ; por ejemplo, los tres casos de la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker pueden representarse mediante subconjuntos de los tipos Bianchi I (plano), V (abierto), VII (plano o abierto) y IX (cerrado), mientras que el universo Mixmaster representa un ejemplo anisotrópico de una cosmología Bianchi IX. [4]
Un espacio homogéneo de N dimensiones admite un conjunto de 1/2 N ( N + 1) Vectores de Killing . [5] Para tres dimensiones, esto da un total de seis campos vectoriales de Killing linealmente independientes; los 3-espacios homogéneos tienen la propiedad de que se pueden usar combinaciones lineales de estos para encontrar tres campos vectoriales de Killing que no se anulan en todas partes ξ( a )
yo,
donde el objeto C a bc , las "constantes de estructura", forman un tensor constante de orden tres antisimétrico en sus dos índices inferiores (en el lado izquierdo, los corchetes denotan antisimetría y ";" representa el operador diferencial covariante ). En el caso de un universo isótropo plano , una posibilidad es C a bc = 0 (tipo I), pero en el caso de un universo FLRW cerrado, C a bc = ε a bc , donde ε a bc es el símbolo de Levi-Civita .
![{\displaystyle \xi_{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi_{i}^{(b)}\xi_{k}^{(c)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60da26d55ac68935bb528a6463aef3cd09bf777)