En matemáticas, un espacio vectorial prehomogéneo (EVP) es un espacio vectorial de dimensión finita V junto con un subgrupo G del grupo lineal general GL( V ) tal que G tiene una órbita densa abierta en V . El término espacio vectorial prehomogéneo fue introducido por Mikio Sato en 1970. Estos espacios tienen muchas aplicaciones en geometría , teoría de números y análisis , así como teoría de la representación . Los EVP irreducibles fueron clasificados primero por Vinberg en su tesis de 1960 en el caso especial cuando G es simple y más tarde por Sato y Tatsuo Kimura en 1977 en el caso general mediante una transformación conocida como "enroque". Se subdividen en dos tipos, según si la parte semisimple de G actúa de forma prehomogénea o no. Si no lo hace entonces hay un polinomio homogéneo en V que es invariante bajo la parte semisimple de G .
En el contexto de Sato, G es un grupo algebraico y V es una representación racional de G que tiene una órbita abierta (no vacía) en la topología de Zariski . Sin embargo, PVS también se puede estudiar desde el punto de vista de la teoría de Lie: por ejemplo, en Knapp (2002), G es un grupo de Lie complejo y V es una representación holomorfa de G con una órbita densa abierta. Los dos enfoques son esencialmente los mismos, y la teoría tiene validez sobre los números reales. Suponemos, para simplificar la notación, que la acción de G sobre V es una representación fiel . Podemos entonces identificar G con su imagen en GL( V ), aunque en la práctica a veces es conveniente dejar que G sea un grupo de recubrimiento .
Aunque los espacios vectoriales prehomogéneos no necesariamente se descomponen en sumas directas de irreducibles, es natural estudiar los PVS irreducibles (es decir, cuando V es una representación irreducible de G ). En este caso, un teorema de Élie Cartan muestra que
es un grupo reductivo , con un centro que es como máximo unidimensional. Esto, junto con la obvia restricción dimensional
es el ingrediente clave en la clasificación de Sato-Kimura.
La clasificación de PVS se complica por el siguiente hecho. Supongamos que m > n > 0 y V es una representación m -dimensional de G sobre un campo F. Entonces:
La prueba es observar que ambas condiciones son equivalentes a que haya una órbita densa abierta de la acción de G sobre el Grassmanniano de n -planos en V , porque éste es isomorfo al Grassmanniano de ( m − n ) -planos en V * .
(En el caso de que G sea reductivo, el par ( G , V ) es equivalente al par ( G , V * ) por un automorfismo de G .)
Esta transformación de PVS se denomina enroque . Dado un PVS V , se puede obtener un nuevo PVS tensando V con F y enroque. Al repetir este proceso y reagrupar los productos tensoriales, se pueden obtener muchos ejemplos nuevos, que se dice que son "equivalentes al enroque". Por lo tanto, los PVS se pueden agrupar en clases de equivalencia de enroque. Sato y Kimura muestran que en cada una de esas clases, hay esencialmente un PVS de dimensión mínima, al que llaman "reducido", y clasifican los PVS irreducibles reducidos.
La clasificación de los PVS reducidos irreducibles ( G , V ) se divide en dos casos: aquellos para los que G es semisimple, y aquellos para los que es reductivo con centro unidimensional. Si G es semisimple, es (quizás una cobertura de) un subgrupo de SL( V ), y por lo tanto G × GL(1) actúa prehomogéneamente sobre V , con centro unidimensional. Excluimos tales extensiones triviales de PVS semisimples de los PVS con centro unidimensional. En otras palabras, en el caso de que G tenga centro unidimensional, asumimos que la parte semisimple no actúa prehomogéneamente; se sigue que hay un invariante relativo , es decir, una función invariante bajo la parte semisimple de G , que es homogénea de un cierto grado d .
Esto permite restringir la atención a G ≤ SL( V ) semisimple y dividir la clasificación de la siguiente manera:
Sin embargo, resulta que la clasificación es mucho más corta, si se permiten no sólo productos con GL(1), sino también con SL( n ) y GL( n ). Esto es bastante natural en términos de la transformación de enroque discutida previamente. Por lo tanto, deseamos clasificar PVS reducidos irreducibles en términos de semisimple G ≤ SL( V ) y n ≥ 1 tales que:
En el último caso, existe un polinomio homogéneo que separa las órbitas G × GL( n ) en órbitas G × SL( n ) .
Esto tiene una interpretación en términos del Grassmanniano Gr n ( V ) de n -planos en V (al menos para n ≤ dim V ). En ambos casos G actúa sobre Gr n ( V ) con una órbita abierta densa U . En el primer caso el complemento Gr n ( V ) ∖ U tiene codimensión ≥ 2; en el segundo caso es un divisor de algún grado d , y el invariante relativo es un polinomio homogéneo de grado nd .
A continuación se presentará la lista de clasificación de los números complejos.
* Estrictamente hablando, debemos restringir a n ≤ (dim V )/2 para obtener un ejemplo reducido.
Tipo 1
Tipo 2
Ambos ejemplos son PVS solo para n = 1 .
Los ejemplos restantes son todos de tipo 2. Para evitar discutir los grupos finitos que aparecen, las listas presentan el álgebra de Lie del grupo de isotropía en lugar del grupo de isotropía en sí.
Aquí Λ3
0C 6 ≅ C 14 denota el espacio de 3-formas cuya contracción con la forma simpléctica dada es cero.
Sato y Kimura establecen esta clasificación elaborando una lista de posibles prehomogéneos irreducibles ( G , V ) , utilizando el hecho de que G es reductivo y la restricción dimensional. Luego comprueban si cada miembro de esta lista es prehomogéneo o no.
Sin embargo, hay una explicación general de por qué la mayoría de los pares ( G , V ) en la clasificación son prehomogéneos, en términos de representaciones de isotropía de variedades de bandera generalizadas . De hecho, en 1974, Richardson observó que si H es un grupo de Lie semisimple con un subgrupo parabólico P , entonces la acción de P sobre el nilradical ⊥ de su álgebra de Lie tiene una órbita abierta densa. Esto muestra en particular (y fue observado independientemente por Vinberg en 1975) que el factor de Levi G de P actúa prehomogéneamente sobre V := ⊥ /[ ⊥ , ⊥ ] . Casi todos los ejemplos en la clasificación se pueden obtener aplicando esta construcción con P un subgrupo parabólico maximalista de un grupo de Lie simple H : estos se clasifican por diagramas de Dynkin conexos con un nodo distinguido.
Una razón por la que los PVS son interesantes es que clasifican objetos genéricos que surgen en situaciones G -invariantes. Por ejemplo, si G = GL(7) , entonces las tablas anteriores muestran que existen 3-formas genéricas bajo la acción de G , y el estabilizador de dicha 3-forma es isomorfo al grupo de Lie excepcional G 2 .
Otro ejemplo se refiere a los espacios vectoriales prehomogéneos con un invariante relativo cúbico. Según la clasificación de Sato-Kimura, existen esencialmente cuatro ejemplos de este tipo, y todos ellos provienen de representaciones de isotropía complejas de espacios simétricos hermíticos para un grupo mayor H (es decir, G es la parte semisimple del estabilizador de un punto y V es la representación de la tangente correspondiente ).
En cada caso, un punto genérico en V lo identifica con la complejización de un álgebra de Jordan de matrices hermíticas de 3 × 3 (sobre las álgebras de división R , C , H y O respectivamente) y el invariante relativo cúbico se identifica con un determinante adecuado. El álgebra de isotropía de dicho punto genérico, el álgebra de Lie de G y el álgebra de Lie de H dan las complejizaciones de las primeras tres filas del cuadrado mágico de Freudenthal .
Otros espacios simétricos hermíticos producen espacios vectoriales prehomogéneos cuyos puntos genéricos definen las álgebras de Jordan de manera similar.
El álgebra de Jordan J ( m − 1) en la última fila es el factor de espín (que es el espacio vectorial R m −1 ⊕ R , con una estructura de álgebra de Jordan definida usando el producto interno en R m −1 ). Se reduce a J 2 ( R ), J 2 ( C ), J 2 ( H ), J 2 ( O ) para m = 3 , 4, 6 y 10 respectivamente.
La relación entre los espacios simétricos hermíticos y las álgebras de Jordan se puede explicar utilizando sistemas triples de Jordan .
