Grupo de isometría

Grupo de automorfismos de un espacio métrico o pseudo-euclidiano

En matemáticas , el grupo de isometrías de un espacio métrico es el conjunto de todas las isometrías biyectivas (es decir, mapas biyectivos que preservan la distancia ) del espacio métrico sobre sí mismo, con la composición de funciones como operación de grupo . ^[1] Su elemento identidad es la función identidad . ^[2] Los elementos del grupo de isometrías a veces se denominan movimientos del espacio.

Cada grupo de isometrías de un espacio métrico es un subgrupo de isometrías. Representa en la mayoría de los casos un conjunto posible de simetrías de objetos/figuras en el espacio, o funciones definidas en el espacio. Véase grupo de simetría .

Un grupo de isometría discreto es un grupo de isometría tal que para cada punto del espacio el conjunto de imágenes del punto bajo las isometrías es un conjunto discreto .

En el espacio pseudo-euclidiano la métrica se reemplaza por una forma cuadrática isótropa ; las transformaciones que preservan esta forma a veces se denominan "isometrías", y se dice entonces que su conjunto forma un grupo de isometrías del espacio pseudo-euclidiano.

Ejemplos

• El grupo de isometría del subespacio de un espacio métrico formado por los puntos de un triángulo escaleno es el grupo trivial . Un espacio similar para un triángulo isósceles es el grupo cíclico de orden dos, C ₂ . Un espacio similar para un triángulo equilátero es D ₃ , el grupo diedro de orden 6 .
• El grupo de isometría de una esfera bidimensional es el grupo ortogonal O(3). ^[3]

• El grupo de isometría del espacio euclidiano n -dimensional es el grupo euclidiano E( n ). ^[4]
• El grupo de isometría del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico es el grupo unitario especial proyectivo PSU(1,1) .
• El grupo de isometría del modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico es PSL(2,R) .
• El grupo de isometría del espacio de Minkowski es el grupo de Poincaré . ^[5]

• Los espacios simétricos de Riemann son casos importantes donde el grupo de isometría es un grupo de Lie .

Véase también

• Grupo de puntos
• Grupos de puntos en dos dimensiones
• Grupos de puntos en tres dimensiones
• Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano

Referencias

1. Roman, Steven (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, pág. 271, ISBN 978-0-387-72828-5.
2. Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001), Un curso de geometría métrica, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 33, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 75, ISBN 0-8218-2129-6, Sr.  1835418.
3. Berger, Marcel (1987), Geometría. II, Universitext, Berlín: Springer-Verlag, pág. 281, doi :10.1007/978-3-540-93816-3, ISBN 3-540-17015-4, Sr.  0882916.
4. Olver, Peter J. (1999), Teoría de invariantes clásicos, Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 44, Cambridge: Cambridge University Press, pág. 53, doi :10.1017/CBO9780511623660, ISBN 0-521-55821-2, Sr.  1694364.
5. Müller-Kirsten, Harald JW; Wiedemann, Armin (2010), Introducción a la supersimetría, World Scientific Lecture Notes in Physics, vol. 80 (2.ª ed.), Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., pág. 22, doi : 10.1142/7594, ISBN 978-981-4293-42-6, Sr.  2681020.