En matemáticas , un espacio simétrico es una variedad de Riemann (o, de manera más general, una variedad pseudo-riemanniana ) cuyo grupo de isometrías contiene una simetría de inversión respecto de cada punto. Esto se puede estudiar con las herramientas de la geometría de Riemann , lo que lleva a consecuencias en la teoría de la holonomía ; o algebraicamente a través de la teoría de Lie , que permitió a Cartan dar una clasificación completa. Los espacios simétricos ocurren comúnmente en la geometría diferencial , la teoría de la representación y el análisis armónico .
En términos geométricos, una variedad de Riemann completa, simplemente conexa, es un espacio simétrico si y solo si su tensor de curvatura es invariante bajo transporte paralelo. De manera más general, se dice que una variedad de Riemann ( M , g ) es simétrica si y solo si, para cada punto p de M , existe una isometría de M que fija p y actúa sobre el espacio tangente como menos la identidad (todo espacio simétrico es completo , ya que cualquier geodésica puede extenderse indefinidamente mediante simetrías sobre los puntos finales). Ambas descripciones también pueden extenderse naturalmente al contexto de variedades pseudo-riemannianas .
Desde el punto de vista de la teoría de Lie, un espacio simétrico es el cociente G / H de un grupo de Lie conexo G por un subgrupo de Lie H que es (un componente conexo de) el grupo invariante de una involución de G. Esta definición incluye más que la definición de Riemann, y se reduce a ella cuando H es compacto.
Los espacios simétricos de Riemann surgen en una amplia variedad de situaciones tanto en matemáticas como en física. Su papel central en la teoría de la holonomía fue descubierto por Marcel Berger . Son objetos de estudio importantes en la teoría de la representación y el análisis armónico, así como en la geometría diferencial.
Sea M una variedad riemanniana conexa y p un punto de M . Se dice que un difeomorfismo f de un entorno de p es una simetría geodésica si fija el punto p e invierte las geodésicas que pasan por ese punto, es decir, si γ es una geodésica con entonces Se sigue que la derivada de la función f en p es menos la función identidad en el espacio tangente de p . En una variedad riemanniana general, f no necesita ser isométrica, ni puede extenderse, en general, desde un entorno de p a todo M .
Se dice que M es simétrico localmente riemanniano si sus simetrías geodésicas son, de hecho, isométricas. Esto es equivalente a la desaparición de la derivada covariante del tensor de curvatura. Se dice que un espacio localmente simétrico es un espacio (globalmente) simétrico si , además, sus simetrías geodésicas pueden extenderse a isometrías en todo M.
El teorema de Cartan-Ambrose-Hicks implica que M es localmente riemanniano simétrico si y sólo si su tensor de curvatura es covariantemente constante , y además que todo espacio localmente riemanniano simétrico , completo y simplemente conexo es en realidad riemanniano simétrico.
Todo espacio simétrico de Riemann M es completo y homogéneo de Riemann (es decir, el grupo de isometría de M actúa transitivamente sobre M ). De hecho, ya el componente identidad del grupo de isometría actúa transitivamente sobre M (porque M es conexo).
Los espacios simétricos localmente riemannianos que no son simétricos riemannianos pueden construirse como cocientes de espacios simétricos riemannianos por grupos discretos de isometrías sin puntos fijos, y como subconjuntos abiertos de espacios simétricos (localmente) riemannianos.
Ejemplos básicos de espacios simétricos de Riemann son el espacio euclidiano , las esferas , los espacios proyectivos y los espacios hiperbólicos , cada uno con su métrica de Riemann estándar. Los grupos de Lie compactos y semisimples, equipados con una métrica de Riemann biinvariante, ofrecen más ejemplos.
Toda superficie de Riemann compacta de género mayor que 1 (con su métrica habitual de curvatura constante −1) es un espacio localmente simétrico pero no un espacio simétrico.
Todo espacio de lentes es localmente simétrico pero no simétrico, con excepción de , que es simétrico. Los espacios de lentes son cocientes de la 3-esfera por una isometría discreta que no tiene puntos fijos.
Un ejemplo de un espacio simétrico no riemanniano es el espacio anti-de Sitter .
Sea G un grupo de Lie conexo . Entonces un espacio simétrico para G es un espacio homogéneo G / H donde el estabilizador H de un punto típico es un subgrupo abierto del conjunto de puntos fijos de una involución σ en Aut( G ). Por lo tanto σ es un automorfismo de G con σ 2 = id G y H es un subgrupo abierto del conjunto invariante
Como H está abierto, es una unión de componentes de G σ (incluido, por supuesto, el componente identidad).
Como automorfismo de G , σ fija el elemento identidad y, por lo tanto, al diferenciar en la identidad, induce un automorfismo del álgebra de Lie de G , también denotado por σ , cuyo cuadrado es la identidad. De ello se deduce que los valores propios de σ son ±1. El espacio propio +1 es el álgebra de Lie de H (ya que esta es el álgebra de Lie de G σ ), y el espacio propio −1 se denotará . Dado que σ es un automorfismo de , esto da una descomposición de suma directa
con
La primera condición es automática para cualquier espacio homogéneo: simplemente dice que el estabilizador infinitesimal es una subálgebra de Lie de . La segunda condición significa que es un complemento -invariante de en . Por lo tanto, cualquier espacio simétrico es un espacio homogéneo reductivo , pero hay muchos espacios homogéneos reductivos que no son espacios simétricos. La característica clave de los espacios simétricos es la tercera condición que encierra en .
Por el contrario, dada cualquier álgebra de Lie con una descomposición en suma directa que satisfaga estas tres condiciones, la aplicación lineal σ , igual a la identidad en y menos la identidad en , es un automorfismo involutivo.
Si M es un espacio simétrico de Riemann, el componente identidad G del grupo de isometría de M es un grupo de Lie que actúa transitivamente sobre M (es decir, M es homogéneo de Riemann). Por lo tanto, si fijamos algún punto p de M , M es difeomorfo al cociente G/K , donde K denota el grupo de isotropía de la acción de G sobre M en p . Al derivar la acción en p obtenemos una acción isométrica de K sobre T p M . Esta acción es fiel (por ejemplo, por un teorema de Kostant, cualquier isometría en el componente identidad está determinada por su 1-jet en cualquier punto) y por lo tanto K es un subgrupo del grupo ortogonal de T p M , por lo tanto compacto. Además, si denotamos por s p : M → M la simetría geodésica de M en p , la función
es un automorfismo de grupo de Lie involutivo tal que el grupo de isotropía K está contenido entre el grupo de punto fijo y su componente identidad (por lo tanto, un subgrupo abierto); consulte la definición y la siguiente proposición en la página 209, capítulo IV, sección 3 en Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos de Helgason para obtener más información.
En resumen, M es un espacio simétrico G / K con un grupo de isotropía compacto K. Por el contrario, los espacios simétricos con un grupo de isotropía compacto son espacios simétricos de Riemann, aunque no necesariamente de forma única. Para obtener una estructura espacial simétrica de Riemann, necesitamos fijar un producto interno K -invariante en el espacio tangente a G / K en la clase lateral identidad eK : tal producto interno siempre existe al promediar, ya que K es compacto, y al actuar con G , obtenemos una métrica riemanniana G -invariante g en G / K .
Para demostrar que G / K es simétrico de Riemann, considere cualquier punto p = hK (un conjunto lateral de K , donde h ∈ G ) y defina
donde σ es la involución de G que fija K . Entonces se puede comprobar que s p es una isometría con (claramente) s p ( p ) = p y (derivando) d s p igual a menos la identidad en T p M . Por lo tanto, s p es una simetría geodésica y, dado que p era arbitrario, M es un espacio simétrico de Riemann.
Si se parte de un espacio simétrico de Riemann M y luego se realizan estas dos construcciones en secuencia, el espacio simétrico de Riemann obtenido es isométrico al original. Esto demuestra que los "datos algebraicos" ( G , K , σ , g ) describen completamente la estructura de M.
La descripción algebraica de los espacios simétricos de Riemann permitió a Élie Cartan obtener una clasificación completa de los mismos en 1926.
Para un espacio simétrico de Riemann dado M, sean ( G , K , σ , g ) los datos algebraicos asociados a él. Para clasificar las posibles clases de isometría de M , primero observe que la cobertura universal de un espacio simétrico de Riemann es nuevamente simétrica de Riemann, y la función de cobertura se describe dividiendo el grupo de isometría conexo G de la cobertura por un subgrupo de su centro. Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que M es simplemente conexo. (Esto implica que K está conexo por la secuencia exacta larga de una fibración , porque G está conexo por suposición).
Se dice que un espacio simétrico de Riemann es irreducible si no es el producto de dos o más espacios simétricos de Riemann. Se puede demostrar entonces que cualquier espacio simétrico de Riemann es un producto de Riemann de espacios irreducibles. Por lo tanto, podemos limitarnos a clasificar los espacios simétricos de Riemann irreducibles y simplemente conexos.
El siguiente paso es demostrar que cualquier espacio riemanniano simétrico irreducible y simplemente conexo M es de uno de los tres tipos siguientes:
Un invariante más refinado es el rango , que es la dimensión máxima de un subespacio del espacio tangente (a cualquier punto) en el que la curvatura es idénticamente cero. El rango es siempre al menos uno, con igualdad si la curvatura seccional es positiva o negativa. Si la curvatura es positiva, el espacio es de tipo compacto, y si es negativa, es de tipo no compacto. Los espacios de tipo euclidiano tienen rango igual a su dimensión y son isométricos a un espacio euclidiano de esa dimensión. Por tanto, queda por clasificar los espacios simétricos riemannianos irreducibles, simplemente conexos, de tipo compacto y no compacto. En ambos casos hay dos clases.
A. G es un grupo de Lie (real) simple;
B. G es el producto de un grupo de Lie simple compacto consigo mismo (tipo compacto), o bien una complejización de dicho grupo de Lie (tipo no compacto).
Los ejemplos de la clase B se describen completamente mediante la clasificación de grupos de Lie simples . Para el tipo compacto, M es un grupo de Lie simple compacto simplemente conexo, G es M × M y K es el subgrupo diagonal. Para el tipo no compacto, G es un grupo de Lie simple complejo simplemente conexo y K es su subgrupo compacto máximo. En ambos casos, el rango es el rango de G.
Los grupos de Lie compactos simplemente conexos son las cubiertas universales de los grupos de Lie clásicos SO( n ), SU( n ), Sp( n ) y los cinco grupos de Lie excepcionales E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 .
Los ejemplos de la clase A se describen completamente mediante la clasificación de grupos de Lie simples reales simplemente conexos no compactos. Para el tipo no compacto, G es un grupo de este tipo y K es su subgrupo compacto máximo. Cada ejemplo de este tipo tiene un ejemplo correspondiente de tipo compacto, al considerar un subgrupo compacto máximo de la complejización de G que contiene a K . Más directamente, los ejemplos de tipo compacto se clasifican mediante automorfismos involutivos de grupos de Lie simples simplemente conexos compactos G (hasta la conjugación). Tales involuciones se extienden a involuciones de la complejización de G , y estas a su vez clasifican las formas reales no compactas de G .
En la clase A y en la clase B existe, pues, una correspondencia entre espacios simétricos de tipo compacto y de tipo no compacto, lo que se conoce como dualidad para los espacios simétricos de Riemann.
Especializándose en los espacios simétricos de Riemann de clase A y tipo compacto, Cartan encontró que existen las siguientes siete series infinitas y doce espacios simétricos de Riemann excepcionales G / K . Aquí se dan en términos de G y K , junto con una interpretación geométrica, si está disponible. El etiquetado de estos espacios es el dado por Cartan.
Una clasificación más moderna (Huang & Leung 2010) clasifica uniformemente los espacios simétricos de Riemann, tanto compactos como no compactos, a través de una construcción de cuadrado mágico de Freudenthal . Los espacios simétricos de Riemann compactos irreducibles son, hasta cubiertas finitas, un grupo de Lie simple compacto, un Grassmanniano, un Grassmanniano de Lagrange o un Grassmanniano de Lagrange doble de subespacios de para las álgebras de división normadas A y B . Una construcción similar produce los espacios simétricos de Riemann no compactos irreducibles.
Una clase importante de espacios simétricos que generalizan los espacios simétricos de Riemann son los espacios simétricos pseudo-riemannianos , en los que la métrica de Riemann se reemplaza por una métrica pseudo-riemanniana (no degenerada en lugar de definida positiva en cada espacio tangente). En particular, los espacios simétricos de Lorentz , es decir, los espacios simétricos pseudo-riemannianos de n dimensiones de signatura ( n − 1,1), son importantes en la relatividad general , siendo los ejemplos más notables el espacio de Minkowski , el espacio de De Sitter y el anti-espacio de De Sitter (con curvatura cero, positiva y negativa respectivamente). El espacio de De Sitter de dimensión n puede identificarse con el hiperboloide de 1 hoja en un espacio de Minkowski de dimensión n + 1.
Los espacios simétricos y localmente simétricos en general pueden considerarse como espacios simétricos afines. Si M = G / H es un espacio simétrico, entonces Nomizu demostró que existe una conexión afín libre de torsión G -invariante (es decir, una conexión afín cuyo tensor de torsión se anula) en M cuya curvatura es paralela . A la inversa, una variedad con tal conexión es localmente simétrica (es decir, su recubrimiento universal es un espacio simétrico). Tales variedades también pueden describirse como aquellas variedades afines cuyas simetrías geodésicas son todas difeomorfismos afines definidos globalmente, generalizando el caso riemanniano y pseudo-riemanniano.
La clasificación de los espacios simétricos de Riemann no se extiende fácilmente al caso general por la sencilla razón de que no existe una división general de un espacio simétrico en un producto de irreducibles. Aquí un espacio simétrico G / H con álgebra de Lie
se dice que es irreducible si es una representación irreducible de . Como no es semisimple (ni siquiera reductivo) en general, puede tener representaciones indescomponibles que no sean irreducibles.
Sin embargo, los espacios simétricos irreducibles pueden clasificarse. Como muestra Katsumi Nomizu , existe una dicotomía: un espacio simétrico irreducible G / H es o bien plano (es decir, un espacio afín) o bien es semisimple. Esto es el análogo de la dicotomía riemanniana entre los espacios euclidianos y los de tipo compacto o no compacto, y motivó a M. Berger a clasificar los espacios simétricos semisimples (es decir, aquellos con semisimples) y determinar cuáles de estos son irreducibles. La última cuestión es más sutil que en el caso riemanniano: incluso si es simple, G / H podría no ser irreducible.
Como en el caso riemanniano, existen espacios simétricos semisimples con G = H × H . Cualquier espacio simétrico semisimple es un producto de espacios simétricos de esta forma con espacios simétricos tales que es simple. Queda por describir el último caso. Para ello, es necesario clasificar las involuciones σ de un álgebra de Lie simple (real) . Si no es simple, entonces es un álgebra de Lie simple compleja, y los espacios simétricos correspondientes tienen la forma G / H , donde H es una forma real de G : estos son los análogos de los espacios simétricos riemannianos G / K con G un grupo de Lie simple complejo y K un subgrupo compacto maximal.
Por lo tanto, podemos suponer que es simple. La subálgebra real puede verse como el conjunto de puntos fijos de una involución antilineal compleja τ de , mientras que σ se extiende a una involución antilineal compleja de conmuta con τ y, por lo tanto, también a una involución lineal compleja σ ∘ τ .
Por lo tanto, la clasificación se reduce a la clasificación de pares conmutativos de involuciones antilineales de un álgebra de Lie compleja. El compuesto σ ∘ τ determina un espacio simétrico complejo, mientras que τ determina una forma real. A partir de esto es fácil construir tablas de espacios simétricos para cualquier , y además, hay una dualidad obvia dada por el intercambio de σ y τ . Esto extiende la dualidad compacta/no compacta del caso de Riemann, donde σ o τ es una involución de Cartan , es decir, su conjunto de puntos fijos es una subálgebra compacta maximal.
La siguiente tabla indexa los espacios simétricos reales por espacios simétricos complejos y formas reales, para cada grupo de Lie simple complejo clásico y excepcional.
Para grupos de Lie simples excepcionales, el caso de Riemann se incluye explícitamente a continuación, permitiendo que σ sea la involución identidad (indicada por un guión). En las tablas anteriores, esto está cubierto implícitamente por el caso kl = 0 .
En la década de 1950, Atle Selberg extendió la definición de Cartan de espacio simétrico a la de espacio de Riemann débilmente simétrico , o en la terminología actual, espacio débilmente simétrico . Estos se definen como variedades de Riemann M con un grupo de Lie transitivo conexo de isometrías G y una isometría σ que normaliza G tal que, dado x , y en M, existe una isometría s en G tal que sx = σy y sy = σx . (La suposición de Selberg de que σ 2 debería ser un elemento de G fue posteriormente demostrada como innecesaria por Ernest Vinberg .) Selberg demostró que los espacios débilmente simétricos dan lugar a pares de Gelfand , de modo que, en particular, la representación unitaria de G en L 2 ( M ) está libre de multiplicidad.
La definición de Selberg también puede formularse de manera equivalente en términos de una generalización de la simetría geodésica. Se requiere que para cada punto x en M y vector tangente X en x , exista una isometría s de M , que dependa de x y X , tal que
Cuando s es independiente de X , M es un espacio simétrico.
En Wolf (2007) se ofrece una descripción de los espacios débilmente simétricos y su clasificación por Akhiezer y Vinberg, basada en la clasificación de automorfismos periódicos de álgebras de Lie semisimples complejas .
Se pueden observar algunas propiedades y formas de espacios simétricos.
El tensor métrico en la variedad de Riemann M se puede elevar a un producto escalar en G combinándolo con la forma de Killing . Esto se hace definiendo
Aquí, la métrica de Riemann está definida en , y es la forma de Killing . El signo menos aparece porque la forma de Killing es definida negativamente en esto la convierte en definida positivamente.
El espacio tangente se puede factorizar además en espacios propios clasificados por la forma de Killing. [1] Esto se logra definiendo un mapa adjunto que toma como
donde es la métrica de Riemann en y es la forma de Killing. Esta función a veces se denomina transpuesta generalizada , ya que corresponde a la transpuesta para los grupos ortogonales y al conjugado hermítico para los grupos unitarios. Es una función lineal y es autoadjunta, por lo que se concluye que existe una base ortonormal de con
Estos son ortogonales con respecto a la métrica, en el sentido de que
Dado que la forma Killing es simétrica, esto se factoriza en espacios propios .
con
para . Para el caso de semisimple, de modo que la forma de Killing no sea degenerada, la métrica también se factoriza:
En ciertas aplicaciones prácticas, esta factorización puede interpretarse como el espectro de operadores, por ejemplo, el espectro del átomo de hidrógeno, con los valores propios de la forma de Killing correspondientes a diferentes valores del momento angular de un orbital ( es decir , la forma de Killing es un operador de Casimir que puede clasificar las diferentes representaciones bajo las cuales se transforman diferentes orbitales).
La clasificación de los espacios simétricos se realiza en función de si la forma Killing es definida o no.
Si el componente identidad del grupo de holonomía de una variedad de Riemann en un punto actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente, entonces la variedad es un espacio simétrico localmente de Riemann o está en una de 7 familias .
Un espacio simétrico de Riemann que además está dotado de una estructura compleja paralela compatible con la métrica de Riemann se denomina espacio simétrico hermítico . Algunos ejemplos son los espacios vectoriales complejos y los espacios proyectivos complejos, ambos con su métrica de Riemann habitual, y las bolas unitarias complejas con métricas adecuadas para que se vuelvan completas y simétricas de Riemann.
Un espacio simétrico irreducible G / K es hermítico si y solo si K contiene un círculo central. Un cuarto de vuelta de este círculo actúa como multiplicación por i en el espacio tangente en la clase lateral identidad. Por lo tanto, los espacios simétricos hermíticos se pueden leer fácilmente a partir de la clasificación. Tanto en el caso compacto como en el no compacto, resulta que hay cuatro series infinitas, a saber, AIII, BDI con p = 2 , DIII y CI, y dos espacios excepcionales, a saber, EIII y EVII. Los espacios simétricos hermíticos no compactos se pueden realizar como dominios simétricos acotados en espacios vectoriales complejos.
Un espacio simétrico de Riemann que está además equipado con un subfibrado paralelo de End(T M ) isomorfo a los cuaterniones imaginarios en cada punto, y compatible con la métrica de Riemann, se denomina espacio simétrico de cuaterniones-Kähler .
Un espacio simétrico irreducible G / K es cuaternión-Kähler si y solo si la representación de isotropía de K contiene un sumando Sp(1) que actúa como los cuaterniones unitarios en un espacio vectorial cuaterniónico . Por lo tanto, los espacios simétricos cuaternión-Kähler se deducen fácilmente de la clasificación. Tanto en el caso compacto como en el no compacto resulta que hay exactamente uno para cada grupo de Lie simple complejo, a saber, AI con p = 2 o q = 2 (estos son isomorfos), BDI con p = 4 o q = 4, CII con p = 1 o q = 1, EII, EVI, EIX, FI y G.
En el teorema de periodicidad de Bott , los espacios de bucles del grupo ortogonal estable pueden interpretarse como espacios simétricos reductivos.
![{\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subconjunto {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subconjunto {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subconjunto {\mathfrak {h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0a4b7805ed1d11244a435410d60f144cbd8d6b)
![{\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d09acef41784a0470bf9d42e2075aa3ffb6f10)
