Teorema de Hopf-Rinow

Da declaraciones equivalentes sobre la integridad geodésica de las variedades de Riemann

El teorema de Hopf-Rinow es un conjunto de afirmaciones sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann . Lleva el nombre de Heinz Hopf y su alumno Willi Rinow , quienes lo publicaron en 1931. ^[1] Stefan Cohn-Vossen amplió parte del teorema de Hopf-Rinow al contexto de ciertos tipos de espacios métricos .

Declaración

Sea una variedad de Riemann conexa y suave. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[2] ${\displaystyle (M,g)}$

1. Los subconjuntos cerrados y acotados de son compactos ; ${\displaystyle M}$
2. ${\displaystyle M}$es un espacio métrico completo ;
3. ${\displaystyle M}$es geodésicamente completo; es decir, para cada aplicación exponencial exp _p está definida en todo el espacio tangente ${\displaystyle p\in M,}$ ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}M.}$

Además, cualquiera de lo anterior implica que, dados dos puntos cualesquiera, existe una longitud geodésica que minimiza la longitud que conecta estos dos puntos (las geodésicas son en general puntos críticos para la longitud funcional y pueden ser mínimas o no). ${\displaystyle p,q\in M,}$

En el teorema de Hopf-Rinow, la primera caracterización de la completitud trata puramente de la topología de la variedad y la acotación de varios conjuntos; el segundo trata de la existencia de minimizadores para un determinado problema en el cálculo de variaciones (a saber, la minimización de la longitud funcional); el tercero trata de la naturaleza de las soluciones de un determinado sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Variaciones y generalizaciones.

• El teorema de Hopf-Rinow se generaliza a espacios métricos de longitud de la siguiente manera: ^[3]
  • Si un espacio métrico de longitud es completo y localmente compacto, entonces dos puntos cualesquiera pueden conectarse mediante una geodésica minimizadora , y cualquier conjunto cerrado acotado es compacto .

De hecho, estas propiedades caracterizan la integridad de espacios métricos de longitud localmente compactos. ^[4]

• El teorema no es válido para variedades de dimensión infinita. La esfera unitaria en un espacio de Hilbert separable puede dotarse de la estructura de una variedad de Hilbert de tal manera que los puntos antípodas no puedan unirse mediante una geodésica que minimice la longitud. ^[5] Posteriormente se observó que ni siquiera es automáticamente cierto que dos puntos estén unidos por cualquier geodésica, ya sea minimizadora o no. ^[6]
• El teorema tampoco se generaliza a variedades de Lorentz : el toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo (diffeomorfo al toro bidimensional) que es compacto pero no completo. ^[7]

Notas

1. Hopf, H.; Rinow, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen diferencialgeometrischen Fläche". Comentarios Mathematici Helvetici . 3 (1): 209–225. doi :10.1007/BF01601813.
2. do Carmo 1992, Capítulo 7; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 2.C.5; Jost 2017, Sección 1.7; Kobayashi y Nomizu 1963, sección IV.4; Lang 1999, Sección VIII.6; O'Neill 1983, Teorema 5.21 y Proposición 5.22; Petersen 2016, Sección 5.7.1.
3. Bridson y Haefliger 1999, Proposición I.3.7; Gromov 1999, Sección 1.B.
4. Burago, Burago e Ivanov 2001, sección 2.5.3.
5. Lang 1999, págs. 226-227.
6. Atkin, CJ (1975), "El teorema de Hopf-Rinow es falso en infinitas dimensiones", The Bulletin of the London Mathematical Society , 7 (3): 261–266, doi :10.1112/blms/7.3.261, MR  0400283
7. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 2.D.4; O'Neill 1983, pág. 193.

Referencias

• Burago, Dmitri ; Burago, Yuri ; Ivanov, Sergei (2001). Un curso de geometría métrica . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 33. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . doi :10.1090/gsm/033. ISBN 0-8218-2129-6. SEÑOR  1835418. Zbl  0981.51016. (Erratum: [1])
• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 319. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. SEÑOR  1744486. Zbl  0988.53001.
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometría riemanniana . Matemáticas: teoría y aplicaciones. Traducido de la segunda edición portuguesa por Francis Flaherty. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8. SEÑOR  1138207. Zbl  0752.53001.
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría riemanniana . Universitext (Tercera ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8. SEÑOR  2088027. Zbl  1068.53001.
• Grómov, Misha (1999). Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Progreso en Matemáticas. vol. 152. Traducido por Bates, Sean Michael. Con apéndices de M. Katz , P. Pansu y S. Semmes . (Basado en la edición original francesa de 1981). Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi :10.1007/978-0-8176-4583-0. ISBN 0-8176-3898-9. SEÑOR  1699320. Zbl  0953.53002.
• Jost, Jürgen (2017). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Universitext (Séptima edición de 1995 ed. original). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. SEÑOR  3726907. Zbl  1380.53001.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la geometría diferencial. Tomo I. Nueva York – Londres: John Wiley & Sons, Inc. MR  0152974. Zbl  0119.37502.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 191. Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0541-8. ISBN 0-387-98593-X. SEÑOR  1666820. Zbl  0932.53001.
• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemática Pura y Aplicada. vol. 103. Nueva York: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. SEÑOR  0719023. Zbl  0531.53051.
• Petersen, Peter (2016). Geometría riemanniana . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 171 (Tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. SEÑOR  3469435. Zbl  1417.53001.

enlaces externos

• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Teorema de Hopf-Rinow", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Derwent, Juan. "Teorema de Hopf-Rinow". MundoMatemático .