Espacio localmente compacto

Tipo de espacio topológico en matemáticas.

En topología y ramas afines de las matemáticas , un espacio topológico se denomina localmente compacto si, en términos generales, cada pequeña porción del espacio parece una pequeña porción de un espacio compacto . Más precisamente, es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad compacta .

En el análisis matemático, los espacios localmente compactos que son Hausdorff son de particular interés; se abrevian como espacios LCH . ^[1]

Definicion formal

Sea X un espacio topológico . Lo más común es que X se llame localmente compacto si cada punto x de X tiene una vecindad compacta , es decir, existe un conjunto abierto U y un conjunto compacto K , tal que . ${\displaystyle x\in U\subseteq K}$

Hay otras definiciones comunes: todas son equivalentes si X es un espacio de Hausdorff (o preregular). Pero no son equivalentes en general:

1. cada punto de X tiene una vecindad compacta .

2. cada punto de X tiene una vecindad compacta cerrada .

2′. cada punto de X tiene una vecindad relativamente compacta .

2″. cada punto de X tiene una base local de barrios relativamente compactos.

3. cada punto de X tiene una base local de barrios compactos.

4. cada punto de X tiene una base local de barrios compactos cerrados.

5. X es Hausdorff y satisface cualquiera (o equivalentemente, todas) las condiciones anteriores.

Relaciones lógicas entre las condiciones: ^[2]

• Cada condición implica (1).
• Las condiciones (2), (2′), (2″) son equivalentes.
• Ninguna de las condiciones (2), (3) implica la otra.
• La condición (4) implica (2) y (3).
• La compacidad implica las condiciones (1) y (2), pero no (3) o (4).

La condición (1) es probablemente la definición más utilizada, ya que es la menos restrictiva y las demás son equivalentes a ella cuando X es Hausdorff . Esta equivalencia es consecuencia del hecho de que los subconjuntos compactos de espacios de Hausdorff son cerrados y los subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos. Los espacios que satisfacen (1) también se llamandébilmente compacto localmente ,^[3][4]ya que satisfacen la más débil de las condiciones aquí.

Como se definen en términos de conjuntos relativamente compactos, los espacios que satisfacen (2), (2'), (2") pueden denominarse más específicamente localmente relativamente compactos . ^{[5] [6]} Steen & Seebach ^[7] llaman (2 ), (2'), (2") fuertemente localmente compacto para contrastar con la propiedad (1), a la que llaman localmente compacto .

Los espacios que satisfacen la condición (4) son exactamente los mismos.Espacios regulares localmente compactos . ^[8][2] De hecho, dicho espacio es regular, ya que cada punto tiene una base local de barrios cerrados. Por el contrario, en un espacio regular localmente compacto, supongamos que un puntotiene una vecindad compacta. Por regularidad, dada una vecindad arbitrariade, hay una vecindad cerradadecontenida enyes compacta como un conjunto cerrado en un conjunto compacto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K\cap U}$ ${\displaystyle V}$

La condición (5) se utiliza, por ejemplo, en Bourbaki . ^[9] Cualquier espacio que sea localmente compacto (en el sentido de la condición (1)) y también Hausdorff satisface automáticamente todas las condiciones anteriores. Dado que en la mayoría de las aplicaciones los espacios localmente compactos también son Hausdorff, estos espacios localmente compactos de Hausdorff ( LCH ) serán los espacios de los que se ocupa principalmente este artículo.

Ejemplos y contraejemplos

Espacios compactos de Hausdorff

Todo espacio compacto de Hausdorff también es localmente compacto, y se pueden encontrar muchos ejemplos de espacios compactos en el artículo espacio compacto . Aquí mencionamos sólo:

• el intervalo unitario [0,1];
• el conjunto de Cantor ;
• El cubo de Hilbert .

Espacios de Hausdorff localmente compactos que no son compactos

• Los espacios euclidianos R ⁿ (y en particular la recta real R ) son localmente compactos como consecuencia del teorema de Heine-Borel .
• Las variedades topológicas comparten las propiedades locales de los espacios euclidianos y, por lo tanto, también son todas localmente compactas. Esto incluye incluso colectores no paracompactos como el de línea larga .
• Todos los espacios discretos son localmente compactos y de Hausdorff (son solo las variedades de dimensión cero ). Éstos son compactos sólo si son finitos.
• Todos los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compacto son localmente compactos en la topología del subespacio . Esto proporciona varios ejemplos de subconjuntos localmente compactos de espacios euclidianos, como el disco unitario (ya sea en la versión abierta o cerrada).
• El espacio Q _p de p -números ádicos es localmente compacto, porque es homeomorfo al conjunto de Cantor menos un punto. Así, los espacios localmente compactos son tan útiles en el análisis p -ádico como en el análisis clásico .

Espacios de Hausdorff que no son localmente compactos

Como se menciona en la siguiente sección, si un espacio de Hausdorff es localmente compacto, entonces también es un espacio de Tychonoff . Por esta razón, en el artículo dedicado a los espacios de Tychonoff se pueden encontrar ejemplos de espacios de Hausdorff que no logran ser localmente compactos por no ser espacios de Tychonoff . Pero también hay ejemplos de espacios de Tychonoff que no logran ser localmente compactos, como por ejemplo:

• el espacio Q de números racionales (dotado de la topología de R ), ya que cualquier vecindad contiene una secuencia de Cauchy correspondiente a un número irracional, que no tiene subsecuencia convergente en Q ;
• el subespacio de , ya que el origen no tiene vecindad compacta; ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$
• la topología de límite inferior o topología de límite superior en el conjunto R de números reales (útil en el estudio de límites unilaterales );
• cualquier espacio vectorial topológico T 0 , de ahí Hausdorff, que sea de dimensión infinita , como un espacio de Hilbert de dimensión infinita .

Los dos primeros ejemplos muestran que un subconjunto de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto, lo que contrasta con los subconjuntos abiertos y cerrados de la sección anterior. El último ejemplo contrasta con los espacios euclidianos de la sección anterior; para ser más específicos, un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita (en cuyo caso es un espacio euclidiano). Este ejemplo también contrasta con el cubo de Hilbert como ejemplo de espacio compacto; no hay contradicción porque el cubo no puede ser vecino de ningún punto en el espacio de Hilbert.

Ejemplos que no son de Hausdorff

• La compactación en un punto de los números racionales Q es compacta y, por tanto, localmente compacta en los sentidos (1) y (2), pero no es localmente compacta en los sentidos (3) o (4).
• La topología puntual particular en cualquier conjunto infinito es localmente compacta en los sentidos (1) y (3) pero no en los sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindad es el espacio completo, que no es compacto.
• La unión disjunta de los dos ejemplos anteriores es localmente compacta en el sentido (1) pero no en los sentidos (2), (3) o (4).
• La topología de orden correcto en la línea real es localmente compacta en los sentidos (1) y (3) pero no en los sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindad es todo el espacio no compacto.
• El espacio de Sierpiński es localmente compacto en los sentidos (1), (2) y (3), y compacto también, pero no es Hausdorff ni regular (ni siquiera preregular), por lo que no es localmente compacto en los sentidos (4) o ( 5). La unión disjunta de un número considerable de copias del espacio de Sierpiński es un espacio no compacto que todavía es localmente compacto en los sentidos (1), (2) y (3), pero no (4) o (5).
• De manera más general, la topología de puntos excluidos es localmente compacta en los sentidos (1), (2) y (3), y compacta, pero no localmente compacta en los sentidos (4) o (5).
• La topología cofinita en un conjunto infinito es localmente compacta en los sentidos (1), (2) y (3), y también compacta, pero no es Hausdorff ni regular, por lo que no es localmente compacta en los sentidos (4) o ( 5).
• La topología indiscreta en un conjunto con al menos dos elementos es localmente compacta en los sentidos (1), (2), (3) y (4), y también compacta, pero no es Hausdorff, por lo que no es localmente compacta en sentido (5).

Clases generales de ejemplos.

• Todo espacio con topología de Alexandrov es localmente compacto en los sentidos (1) y (3). ^[10]

Propiedades

Todo espacio preregular localmente compacto es, de hecho, completamente regular . ^{[11] [12]} De ello se deduce que todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Tychonoff . ^[13] Dado que la regularidad recta es una condición más familiar que la preregularidad (que suele ser más débil) o la regularidad completa (que suele ser más fuerte), los espacios preregulares localmente compactos normalmente se denominan en la literatura matemática espacios regulares localmente compactos . De manera similar, los espacios de Tychonoff localmente compactos generalmente se denominan simplemente espacios de Hausdorff localmente compactos .

Todo espacio regular localmente compacto, en particular todo espacio de Hausdorff localmente compacto, es un espacio de Baire . ^{[14] [15]} Es decir, la conclusión del teorema de la categoría de Baire es válida: el interior de cada unión contable de subconjuntos densos en ninguna parte está vacío.

Un subespacio X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y sólo si X está localmente cerrado en Y (es decir, X puede escribirse como la diferencia teórica de conjuntos de dos subconjuntos cerrados de Y ). En particular, todo conjunto cerrado y todo conjunto abierto en un espacio de Hausdorff localmente compacto es localmente compacto. Además, como corolario, un subespacio denso X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y sólo si X está abierto en Y. Además, si un subespacio X de cualquier espacio de Hausdorff Y es localmente compacto, entonces X todavía debe estar localmente cerrado en Y , aunque lo contrario no se cumple en general.

Sin la hipótesis de Hausdorff, algunos de estos resultados se desmoronan con nociones más débiles de compacto local. Todo conjunto cerrado en un espacio débilmente compacto localmente (= condición (1) en las definiciones anteriores) es débilmente compacto localmente. Pero no todo conjunto abierto en un espacio débilmente compacto localmente es débilmente compacto localmente. Por ejemplo, la compactación en un punto de los números racionales es compacta y, por tanto, débilmente compacta localmente. Pero contiene un conjunto abierto que no es débilmente compacto localmente. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Los espacios cocientes de espacios de Hausdorff localmente compactos se generan de forma compacta . Por el contrario, todo espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un cociente de algún espacio de Hausdorff localmente compacto.

Para funciones definidas en un espacio localmente compacto, la convergencia uniforme local es lo mismo que la convergencia compacta .

El punto en el infinito

Esta sección explora las compactaciones de espacios localmente compactos. Cada espacio compacto es su propia compactación. Entonces, para evitar trivialidades, se supone a continuación que el espacio X no es compacto.

Dado que cada espacio X de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff, se puede incrustar en un espacio compacto de Hausdorff utilizando la compactación de Stone-Čech . Pero, de hecho, existe un método más sencillo disponible en el caso localmente compacto; la compactación de un punto incrustará X en un espacio compacto de Hausdorff con solo un punto extra. (La compactación de un punto se puede aplicar a otros espacios, pero será Hausdorff si y sólo si X es localmente compacto y Hausdorff). Por tanto, los espacios de Hausdorff localmente compactos pueden caracterizarse como subconjuntos abiertos de espacios compactos de Hausdorff. ${\displaystyle b(X)}$ ${\displaystyle a(X)}$ ${\displaystyle a(X)}$

Intuitivamente, el punto extra en puede considerarse como un punto en el infinito . Se debe considerar que el punto en el infinito se encuentra fuera de cada subconjunto compacto de X. Se pueden formular muchas nociones intuitivas sobre la tendencia hacia el infinito en espacios de Hausdorff localmente compactos utilizando esta idea. Por ejemplo, se dice que una función f continua de valor real o complejo con dominio X desaparece en el infinito si, dado cualquier número positivo e , existe un subconjunto compacto K de X tal que siempre que el punto x se encuentre fuera de K. Esta definición tiene sentido para cualquier espacio topológico X . Si X es localmente compacto y Hausdorff, tales funciones son precisamente aquellas extensibles a una función continua g en su compactificación en un punto donde ${\displaystyle a(X)}$ ${\displaystyle |f(x)|<e}$ ${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle g(\infty )=0.}$

Representación de Gelfand

Para un espacio X de Hausdorff localmente compacto , el conjunto de todas las funciones continuas de valores complejos en X que desaparecen en el infinito es una C*-álgebra conmutativa . De hecho, cada álgebra C* conmutativa es isomorfa para algún espacio de Hausdorff X único ( hasta el homeomorfismo ) localmente compacto . Esto se muestra usando la representación de Gelfand . ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

Grupos localmente compactos

La noción de compacidad local es importante en el estudio de grupos topológicos principalmente porque cada grupo G localmente compacto de Hausdorff lleva medidas naturales llamadas medidas de Haar que permiten integrar funciones mensurables definidas en G. La medida de Lebesgue sobre la recta real es un caso especial de esto. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El dual de Pontryagin de un grupo abeliano topológico A es localmente compacto si y sólo si A es localmente compacto. Más precisamente, la dualidad de Pontryagin define una autodualidad de la categoría de grupos abelianos localmente compactos. El estudio de grupos abelianos localmente compactos es la base del análisis armónico , un campo que desde entonces se ha extendido a grupos localmente compactos no abelianos.

Ver también

• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Teorema de F. Riesz
• Campo localmente compacto
• Grupo cuántico localmente compacto  : enfoque algebraico C* relativamente nuevo hacia grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de Haar.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio σ-compacto  : unión de un número contable de espacios topológicos compactosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio central compacto

Citas

1. Folland 1999, pag. 131, art. 4.5.
2. Gompa, Raghu (primavera de 1992). "¿Qué es "localmente compacto"?" (PDF) . Diario Pi Mu Epsilon . 9 (6): 390–392. JSTOR  24340250. Archivado (PDF) desde el original el 10 de septiembre de 2015.
3. Lawson, J.; Madison, B. (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Foro Semigrupo . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829., pag. 3
4. Breuckmann, Tomás; Kudri, Soraya; Aygün, Halis (2004). "Acerca de los espacios débilmente compactos a nivel local". Metodología Blanda y Sistemas de Información Aleatorios . Saltador. págs. 638–644. doi :10.1007/978-3-540-44465-7_79. ISBN 978-3-540-22264-4.
5. Lowen-Colebunders, Eva (1983), "Sobre la convergencia de conjuntos cerrados y compactos", Pacific Journal of Mathematics , 108 (1): 133–140, doi : 10.2140/pjm.1983.108.133 , MR  0709705, S2CID  55084221 , Zbl  0522.54003
6. Bice, Tristán; Kubiś, Wiesław (2020). "Dualidad Wallman para subbases de semirrejilla". arXiv : 2002.05943 [matemáticas.GN].
7. Steen y Seebach, pag. 20
8. Kelley 1975, cap. 5, Teorema 17, pág. 146.
9. Bourbaki, Nicolás (1989). Topología general, Parte I (reimpresión de la edición de 1966). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.
10. Speer, Timothy (16 de agosto de 2007). "Un breve estudio de los espacios Alexandroff". arXiv : 0708.2136 [matemáticas.GN].Teorema 5
11. Schechter 1996, 17.14 (d), pág. 460.
12. "topología general: los espacios preregulares localmente compactos son completamente regulares". Intercambio de pilas de matemáticas .
13. Willard 1970, teorema 19.3, p.136.
14. Kelley 1975, Teorema 34, pág. 200.
15. Schechter 1996, Teorema 20.18, p. 538.

Referencias

• Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-31716-6.
• Kelly, John (1975). Topología general . Saltador . ISBN 978-0387901251.
• Munkres, James (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0131816299.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. SEÑOR  0507446.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley . ISBN 978-0486434797.