Espacio Sierpiński

En matemáticas , el espacio de Sierpiński es un espacio topológico finito con dos puntos, de los cuales solo uno es cerrado . ^[1] Es el ejemplo más pequeño de un espacio topológico que no es trivial ni discreto . Recibe su nombre en honor a Wacław Sierpiński .

El espacio de Sierpiński tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica , ^{[2] [3]} porque es el espacio de clasificación para conjuntos abiertos en la topología de Scott .

Definición y propiedades fundamentales

Explícitamente, el espacio de Sierpiński es un espacio topológico S cuyo conjunto de puntos subyacente es y cuyos conjuntos abiertos son Los conjuntos cerrados son Por lo que el conjunto singleton es cerrado y el conjunto es abierto ( es el conjunto vacío ). ${\displaystyle \{0,1\}}$ $${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$$ $${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}$$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \varnothing =\{\,\}}$

El operador de cierre en S está determinado por $${\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}$$

Un espacio topológico finito también está determinado de forma única por su preorden de especialización . Para el espacio de Sierpiński, este preorden es en realidad un orden parcial y está dado por $${\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}$$

Propiedades topológicas

El espacio de Sierpiński es un caso especial tanto de la topología finita de punto particular (con punto particular 1) como de la topología finita de punto excluido (con punto excluido 0). Por lo tanto, tiene muchas propiedades en común con una o ambas de estas familias. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Separación

• Los puntos 0 y 1 son topológicamente distinguibles en S ya que es un conjunto abierto que contiene sólo uno de estos puntos. Por lo tanto, S es un espacio de Kolmogorov (T ) . ${\displaystyle \{1\}}$
• Sin embargo, S no es T 1 ya que el punto 1 no está cerrado. De ello se deduce que S no es Hausdorff ni T _n para ningún ${\displaystyle n\geq 1.}$
• S no es regular (o completamente regular ) ya que el punto 1 y el conjunto cerrado disjunto no pueden separarse por vecindades . (Además, la regularidad en presencia de T ₀ implicaría Hausdorff). ${\displaystyle \{0\}}$
• S es vacuamente normal y completamente normal ya que no hay conjuntos separados no vacíos .
• S no es perfectamente normal, ya que los conjuntos cerrados disjuntos no pueden separarse con precisión mediante una función. De hecho, no puede ser el conjunto cero de ninguna función continua , ya que cada una de esas funciones es constante . ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle S\to \mathbb {R} }$

Conectividad

• El espacio de Sierpiński S es a la vez hiperconectado (ya que todo conjunto abierto no vacío contiene 1) y ultraconectado (ya que todo conjunto cerrado no vacío contiene 0).
• De ello se deduce que S está conectado y es conexo por trayectorias .
• Un camino de 0 a 1 en S viene dado por la función: y para La función es continua ya que que está abierto en I . ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(t)=1}$ ${\displaystyle t>0.}$ ${\displaystyle f:I\to S}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]}$
• Como todos los espacios topológicos finitos, S está conexo por trayectorias locales .
• El espacio de Sierpiński es contráctil , por lo que el grupo fundamental de S es trivial (como lo son todos los grupos de homotopía superiores ).

Compacidad

• Como todos los espacios topológicos finitos, el espacio de Sierpiński es compacto y segundo-contable .
• El subconjunto compacto de S no es cerrado, lo que demuestra que los subconjuntos compactos de espacios T ₀ no necesitan ser cerrados. ${\displaystyle \{1\}}$
• Toda cubierta abierta de S debe contener a S mismo, ya que S es el único entorno abierto de 0. Por lo tanto, toda cubierta abierta de S tiene una subcubierta abierta que consiste en un único conjunto: ${\displaystyle \{S\}.}$
• De ello se deduce que S es completamente normal . ^[4]

Convergencia

• Toda secuencia en S converge al punto 0. Esto se debe a que el único vecindario de 0 es S mismo.
• Una secuencia en S converge a 1 si y solo si la secuencia contiene solo un número finito de términos iguales a 0 (es decir, la secuencia eventualmente es solo de 1).
• El punto 1 es un punto de agrupamiento de una secuencia en S si y solo si la secuencia contiene infinitos 1.
• Ejemplos :
  • 1 no es un punto de agrupamiento de ${\displaystyle (0,0,0,0,\ldots ).}$
  • 1 es un punto de agrupamiento (pero no un límite) de ${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,\ldots ).}$
  • La secuencia converge tanto a 0 como a 1. ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$

Metrizabilidad

• El espacio de Sierpiński S no es metrizable ni siquiera pseudometrizable ya que todo espacio pseudométrico es completamente regular pero el espacio de Sierpiński ni siquiera es regular .
• S se genera por el hemimétrico (o pseudo - cuasimétrico ) y ${\displaystyle d(0,1)=0}$ ${\displaystyle d(1,0)=1.}$

Otras propiedades

• Sólo hay tres mapas continuos de S a sí mismo: el mapa identidad y los mapas constantes a 0 y 1.
• De ello se deduce que el grupo de homeomorfismo de S es trivial .

Funciones continuas en el espacio de Sierpiński

Sea X un conjunto arbitrario. El conjunto de todas las funciones desde X hasta el conjunto se denota típicamente Estas funciones son precisamente las funciones características de X . Cada una de estas funciones es de la forma donde U es un subconjunto de X . En otras palabras, el conjunto de funciones está en correspondencia biyectiva con el conjunto potencia de X . Cada subconjunto U de X tiene su función característica y cada función desde X hasta es de esta forma. ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 2^{X}.}$ $${\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle P(X),}$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Ahora supongamos que X es un espacio topológico y sea la topología de Sierpiński. Entonces una función es continua si y solo si es abierta en X . Pero, por definición So es continua si y solo si U es abierta en X . Sea el conjunto de todas las funciones continuas de X a S y sea la topología de X (es decir, la familia de todos los conjuntos abiertos). Entonces tenemos una biyección de a que envía el conjunto abierto a Es decir, si nos identificamos con el subconjunto de funciones continuas es precisamente la topología de ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{U}:X\to S}$ ${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)}$ $${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}$$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \chi _{U}.}$ $${\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}$$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle C(X,S)\subseteq 2^{X}}$ ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle T(X)\subseteq P(X).}$

Un ejemplo particularmente notable de esto es la topología de Scott para conjuntos parcialmente ordenados , en la que el espacio de Sierpiński se convierte en el espacio de clasificación para conjuntos abiertos cuando la función característica preserva las uniones dirigidas. ^[5]

Descripción categórica

La construcción anterior se puede describir muy bien usando el lenguaje de la teoría de categorías . Hay un funtor contravariante de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico su conjunto de conjuntos abiertos y a cada función continua la función de preimagen . La afirmación se convierte entonces en: el funtor está representado por donde es el espacio de Sierpiński. Es decir, es naturalmente isomorfo al funtor de Hom con el isomorfismo natural determinado por el elemento universal . Esto se generaliza mediante la noción de prehaz . ^[6] ${\displaystyle T:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (S,\{1\})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,S)}$ ${\displaystyle \{1\}\in T(S).}$

La topología inicial

Cualquier espacio topológico X tiene la topología inicial inducida por la familia de funciones continuas del espacio de Sierpiński. De hecho, para hacer más burda la topología en X, hay que eliminar los conjuntos abiertos. Pero eliminar el conjunto abierto U daría como resultado una topología discontinua. Por lo tanto, X tiene la topología más burda para la cual cada función en es continua. ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle C(X,S)}$

La familia de funciones separa puntos en X si y solo si X es un espacio T . Dos puntos y estarán separados por la función si y solo si el conjunto abierto U contiene precisamente uno de los dos puntos. Esto es exactamente lo que significa que y sean topológicamente distinguibles . ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Por lo tanto, si X es T ₀ , podemos incrustar X como un subespacio de un producto de espacios de Sierpiński, donde hay una copia de S para cada conjunto abierto U en X . La función de incrustación está dada por Dado que los subespacios y productos de espacios T ₀ son T ₀ , se deduce que un espacio topológico es T ₀ si y solo si es homeomorfo a un subespacio de una potencia de S . $${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$$ $${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$$

En geometría algebraica

En geometría algebraica el espacio de Sierpiński surge como el espectro de un anillo de valoración discreto como por ejemplo (la localización de los números enteros en el ideal primo generado por el número primo ). El punto genérico de procedencia del ideal cero , corresponde al punto abierto 1, mientras que el punto especial de procedencia del ideal único maximal , corresponde al punto cerrado 0. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R),}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R),}$

Véase también

• Espacio topológico finito  : espacio topológico con un número finito de puntosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Cobertura de Freyd , una construcción categórica relacionada con el espacio de Sierpiński
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Pseudocírculo  : espacio topológico no Hausdorff de cuatro puntos

Notas

1. Espacio de Sierpinski en el laboratorio n
2. Artículo en línea que explica la motivación por la cual la noción de “topología” puede ser aplicada en la investigación de conceptos de la ciencia de la computación. Alex Simpson: Estructuras matemáticas para la semántica (original). Capítulo III: Espacios topológicos desde una perspectiva computacional (original). La sección “Referencias” proporciona muchos materiales en línea sobre teoría de dominios .
3. Escardó, Martín (2004). Topología sintética de tipos de datos y espacios clásicos . Electronic Notes in Theoretical Computer Science. Vol. 87. Elsevier . pág. 2004. CiteSeerX  10.1.1.129.2886 .
4. Steen y Seebach enumeran incorrectamente el espacio de Sierpiński como no completamente normal (o completamente T ₄ en su terminología).
5. Topología de Scott en el laboratorio n
6. Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos , (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102 

Referencias

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446
• Michael Tiefenback (1977) "Genealogía topológica", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi :10.2307/2689505