Espacio ultraconectado

Propiedad de los espacios topológicos.

En matemáticas , se dice que un espacio topológico está ultraconectado si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos que sean disjuntos . ^[1] De manera equivalente, un espacio está ultraconectado si y sólo si los cierres de dos puntos distintos siempre tienen una intersección no trivial. Por tanto, ningún espacio T 1 con más de un punto está ultraconectado. ^[2]

Propiedades

Todo espacio ultraconectado está conectado por caminos (pero no necesariamente por arco ). Si y son dos puntos de y es un punto en la intersección , la función definida por if , y if , es un camino continuo entre y . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{a\}\cap \operatorname {cl} \{b\}}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(t)=a}$ ${\displaystyle 0\leq t<1/2}$ ${\displaystyle f(1/2)=p}$ ${\displaystyle f(t)=b}$ ${\displaystyle 1/2<t\leq 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Todo espacio ultraconectado es normal , compacto de punto límite y pseudocompacto . ^[1]

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de espacios topológicos ultraconectados.

• Un conjunto con topología indiscreta .
• El espacio de Sierpiński .
• Un conjunto con la topología de puntos excluidos .
• La topología de orden correcto en la línea real. ^[3]

Ver también

• Espacio hiperconectado

Notas

1. PlanetMath
2. Steen y Seebach, sección. 4, págs. 29-30
3. Steen y Seebach, ejemplo n.° 50, p. 74

Referencias

• Este artículo incorpora material del espacio Ultraconnected en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (edición de Dover).