En matemáticas , un elemento cero es una de varias generalizaciones del número cero a otras estructuras algebraicas . Estos significados alternativos pueden reducirse o no a lo mismo, según el contexto.
Una identidad aditiva es el elemento de identidad en un grupo aditivo . Corresponde al elemento 0 tal que para todo x en el grupo, 0 + x = x + 0 = x . Algunos ejemplos de identidad aditiva incluyen:
Un elemento absorbente en un semigrupo o semianillo multiplicativo generaliza la propiedad 0 ⋅ x = 0 . Ejemplos incluyen:
Muchos elementos absorbentes también son identidades aditivas, incluido el conjunto vacío y la función cero. Otro ejemplo importante es el elemento distinguido 0 en un campo o anillo , que es a la vez la identidad aditiva y el elemento absorbente multiplicativo, y cuyo ideal principal es el ideal más pequeño.
Un objeto cero en una categoría es a la vez un objeto inicial y terminal (y, por tanto, una identidad tanto en coproductos como en productos ). Por ejemplo, la estructura trivial (que contiene sólo la identidad) es un objeto cero en categorías donde los morfismos deben asignar identidades a identidades. Los ejemplos específicos incluyen:
Un morfismo cero en una categoría es un elemento absorbente generalizado bajo composición de funciones : cualquier morfismo compuesto con un morfismo cero da un morfismo cero. Específicamente, si 0 XY : X → Y es el morfismo cero entre los morfismos de X a Y , y f : A → X y g : Y → B son morfismos arbitrarios, entonces g ∘ 0 XY = 0 XB y 0 XY ∘ f = 0 AY .
Si una categoría tiene un objeto cero 0 , entonces hay morfismos canónicos X → 0 y 0 → Y , y al componerlos se obtiene un morfismo cero 0 XY : X → Y. En la categoría de grupos , por ejemplo, los morfismos cero son morfismos que siempre devuelven identidades de grupo, generalizando así la función z ( x ) = 0.
Un elemento mínimo en un conjunto o red parcialmente ordenado a veces puede denominarse elemento cero y escribirse como 0 o ⊥.
En matemáticas , el módulo cero es el módulo que consta únicamente de la identidad aditiva para la función de suma del módulo . En los números enteros , esta identidad es cero , lo que da el nombre de módulo cero . Es fácil demostrar que el módulo cero es en realidad un módulo; está cerrado bajo suma y multiplicación trivialmente.
En matemáticas , el ideal cero en un anillo es el ideal que consiste únicamente en la identidad aditiva (o elemento cero ). El hecho de que se trate de un ideal se deriva directamente de la definición.
En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero es una matriz en la que todas sus entradas son cero . Alternativamente se indica con el símbolo . [2] Algunos ejemplos de matrices cero son
El conjunto de matrices m × n con entradas en un anillo K forma un módulo . La matriz cero en es la matriz con todas las entradas iguales a , donde es la identidad aditiva en K .
La matriz cero es la identidad aditiva en . Es decir, para todos :
Hay exactamente una matriz cero de cualquier tamaño m × n (con entradas de un anillo determinado), por lo que cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En general, el elemento cero de un anillo es único y normalmente se indica como 0 sin ningún subíndice que indique el anillo principal. Por tanto, los ejemplos anteriores representan matrices cero sobre cualquier anillo.
La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero.
En matemáticas , el tensor cero es un tensor , de cualquier orden, cuyos componentes son todos cero . El tensor cero de orden 1 a veces se conoce como vector cero.
Tomar un tensor producto de cualquier tensor con cualquier tensor cero da como resultado otro tensor cero. Sumar el tensor cero es equivalente a la operación de identidad.
Tenemos una matriz cero en la que para todos . ... Lo escribiremos .
