Conjunto separador

En matemáticas , un conjunto de funciones con dominio se llama conjunto separador para y se dice que separa los puntos de (o simplemente separa puntos ) si para dos elementos distintos y de existe una función tal que ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Los conjuntos separadores se pueden utilizar para formular una versión del teorema de Stone-Weierstrass para funciones con valores reales en un espacio compacto de Hausdorff con topología de convergencia uniforme . Afirma que cualquier subálgebra de este espacio de funciones es densa si y sólo si separa puntos. Ésta es la versión del teorema demostrado originalmente por Marshall H. Stone . ^[1] ${\displaystyle X,}$

Ejemplos

• El conjunto singleton que consta de la función identidad en separa los puntos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Si es un espacio topológico normal T1 , entonces el lema de Urysohn establece que el conjunto de funciones continuas con valores reales (o complejos ) separa puntos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo sobre o, entonces el teorema de separación de Hahn-Banach implica que funcionales lineales continuos en puntos separados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• sistema dual

Referencias

1. Carothers, NL (2000), Análisis real, Cambridge University Press, págs. 201-204, ISBN 9781139643160.