Clasificando el espacio

Cociente de un espacio débilmente contráctil por una acción libre

En matemáticas , específicamente en teoría de la homotopía , un espacio de clasificación BG de un grupo topológico G es el cociente de un espacio débilmente contráctil EG (es decir , un espacio topológico cuyos grupos de homotopía son triviales) por una acción libre propia de G. Tiene la propiedad de que cualquier paquete principal G sobre una variedad paracompacta es isomorfo a un retroceso del paquete principal . ^[1] Como se explica más adelante, esto significa que la clasificación de espacios representa un funtor con valores establecidos en la categoría de homotopía de espacios topológicos. El término espacio de clasificación también se puede utilizar para espacios que representan un functor con valores establecidos en la categoría de espacios topológicos , como el espacio de Sierpiński . Esta noción se generaliza mediante la noción de clasificar topos . Sin embargo, el resto de este artículo analiza la noción más comúnmente utilizada de clasificar el espacio hasta la homotopía. ${\displaystyle EG\to BG}$

Para un grupo discreto G , BG es, en términos generales, un espacio topológico X conectado por caminos tal que el grupo fundamental de X es isomorfo a G y los grupos de mayor homotopía de X son triviales , es decir, BG es un espacio de Eilenberg-MacLane , o una K ( GRAMO , 1).

Motivación

Un ejemplo de espacio de clasificación para el grupo cíclico infinito G es el círculo como X. Cuando G es un grupo discreto , otra forma de especificar la condición en X es que la cubierta universal Y de X sea contráctil . En ese caso el mapa de proyección

${\displaystyle \pi \colon Y\longrightarrow X\ }$

se convierte en un haz de fibras con grupo estructural G , de hecho un haz principal para G . El interés en el concepto de clasificación del espacio realmente surge del hecho de que en este caso Y tiene una propiedad universal con respecto a los principales G -haces, en la categoría de homotopía . En realidad, esto es más básico que la condición de que los grupos de homotopía superiores desaparezcan: la idea fundamental es, dado G , encontrar un espacio contráctil Y sobre el cual G actúe libremente . (La idea de equivalencia débil de la teoría de la homotopía relaciona las dos versiones.) En el caso del ejemplo del círculo, lo que se dice es que observamos que un grupo cíclico infinito C actúa libremente sobre la línea real R , que es contráctil. Tomando X como el círculo espacial cociente , podemos considerar la proyección π de R = Y a X como una hélice en términos geométricos, sometida a proyección desde tres dimensiones al plano. Lo que se afirma es que π tiene una propiedad universal entre los principales C -paquetes; que cualquier paquete C principal de una manera definida 'proviene de' π.

Formalismo

Una afirmación más formal tiene en cuenta que G puede ser un grupo topológico (no simplemente un grupo discreto ) y que las acciones grupales de G se consideran continuas; en ausencia de acciones continuas, el concepto de clasificación del espacio puede abordarse, en términos de homotopía, mediante la construcción espacial de Eilenberg-MacLane . En la teoría de la homotopía, se da la definición de un espacio topológico BG , el espacio de clasificación para los paquetes G principales , junto con el espacio EG , que es el espacio total del paquete universal sobre BG . Es decir, lo que se proporciona es en realidad un mapeo continuo.

${\displaystyle \pi \colon EG\longrightarrow BG.}$

Supongamos que la categoría de homotopía de los complejos CW es la categoría subyacente, de ahora en adelante. La propiedad de clasificación requerida de BG de hecho se refiere a π. Debemos poder decir que dado cualquier paquete G principal

${\displaystyle \gamma \colon Y\longrightarrow Z\ }$

sobre un espacio Z , hay un mapa de clasificación φ de Z a BG , tal que es el retroceso de π a lo largo de φ. En términos menos abstractos, la construcción de por 'torsión' debería ser reducible vía φ a la torsión ya expresada por la construcción de π. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Para que este sea un concepto útil, evidentemente debe haber alguna razón para creer que tales espacios BG existen. Los primeros trabajos sobre clasificación de espacios introdujeron construcciones (por ejemplo, la construcción de barras ), que daban descripciones concretas de BG como un complejo simplicial para un grupo discreto arbitrario. Tales construcciones hacen evidente la conexión con la cohomología de grupo .

Específicamente, sea EG el complejo simplicial débil cuyos n- simplices son las ( n +1)-tuplas ordenadas de elementos de G. Tal n- símplex se une a los (n−1) simples de la misma manera que un simplex estándar se une a sus caras, lo que significa que este vértice se elimina. El complejo EG es contráctil. El grupo G actúa sobre EG por multiplicación por la izquierda, ${\displaystyle [g_{0},\ldots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle [g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}_{i}}$

${\displaystyle g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}],}$

y sólo la identidad e toma cualquier simplex para sí misma. Así, la acción de G sobre EG es una acción de cobertura del espacio y el mapa cociente es la cobertura universal del espacio de la órbita , y BG es a . ^[2] ${\displaystyle EG\to EG/G}$ ${\displaystyle BG=EG/G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

En términos abstractos (que no son los utilizados originalmente alrededor de 1950 cuando se introdujo la idea por primera vez), se trata de si un determinado functor es representable : el funtor contravariante de la categoría de homotopía a la categoría de conjuntos , definido por

h ( Z ) = conjunto de clases de isomorfismo de paquetes G principales en Z.

Las condiciones abstractas conocidas para esto ( teorema de representabilidad de Brown ) garantizan que el resultado, como teorema de existencia , sea afirmativo y no demasiado difícil.

Ejemplos

1. El círculo es un espacio de clasificación para el grupo cíclico infinito. El espacio total es ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .}$
2. El n -toro es un espacio de clasificación para el grupo abeliano libre de rango n . El espacio total es ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.}$
3. La cuña de n círculos es un espacio de clasificación para el grupo libre de rango n .
4. Una superficie conectada cerrada (es decir, compacta y sin límites) S de género al menos 1 es un espacio de clasificación para su grupo fundamental. ${\displaystyle \pi _{1}(S).}$
5. Una variedad hiperbólica conectada cerrada (es decir, compacta y sin límites) M es un espacio de clasificación para su grupo fundamental . ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
6. Un complejo cúbico finito CAT(0) conectado localmente es un espacio de clasificación de su grupo fundamental .
7. El espacio proyectivo de dimensión infinita (el límite directo de los espacios proyectivos de dimensión finita) es un espacio de clasificación para el grupo cíclico. El espacio total es (el límite directo de las esferas). Alternativamente, se puede usar el espacio de Hilbert sin el origen; es contráctil ). ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }}$ ${\displaystyle S^{n}.}$
8. El espacio es el espacio de clasificación para el grupo cíclico . Aquí se entiende un subconjunto determinado del espacio de Hilbert de dimensión infinita sin el origen; se considera que el grupo cíclico actúa sobre él mediante multiplicación con raíces de la unidad. ${\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$
9. El espacio de configuración desordenado es el espacio de clasificación del grupo trenzado Artin , ^[3] y el espacio de configuración ordenado es el espacio de clasificación para el grupo trenzado Artin puro ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle P_{n}.}$
10. El espacio de configuración (desordenado) es un espacio de clasificación para el grupo simétrico ^[4] ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle S_{n}.}$
11. El espacio proyectivo complejo de dimensión infinita es el espacio de clasificación BS ¹ para el círculo S ¹ pensado como un grupo topológico compacto. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$
12. El Grassmanniano de n -planos es el espacio de clasificación del grupo ortogonal O( n ) . El espacio total es la variedad de Stiefel de marcos ortonormales de n dimensiones en ${\displaystyle Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}$

Aplicaciones

Esto todavía deja la cuestión de hacer cálculos efectivos con BG ; por ejemplo, la teoría de clases características es esencialmente lo mismo que calcular los grupos de cohomología de BG , al menos dentro de los términos restrictivos de la teoría de la homotopía, para grupos interesantes G como los grupos de Lie (teorema de H. Cartan). ^{[ se necesita aclaración ]} Como lo demuestra el teorema de periodicidad de Bott , los grupos de homotopía de BG también son de interés fundamental.

Un ejemplo de espacio de clasificación es aquel cuando G es cíclico de orden dos; entonces BG es un espacio proyectivo real de dimensión infinita, correspondiente a la observación de que EG puede tomarse como el espacio contráctil resultante de eliminar el origen en un espacio de Hilbert de dimensión infinita , con G actuando a través de v yendo a −v , y permitiendo la homotopía. equivalencia en la elección de BG . Este ejemplo muestra que clasificar espacios puede resultar complicado.

En relación con la geometría diferencial ( teoría de Chern-Weil ) y la teoría de los Grassmannianos , es posible un enfoque mucho más práctico de la teoría para casos como los grupos unitarios que son de mayor interés. La construcción del complejo de Thom MG demostró que los espacios BG también estaban implicados en la teoría del cobordismo , de modo que asumieron un lugar central en las consideraciones geométricas que surgen de la topología algebraica . Dado que la cohomología de grupo puede (en muchos casos) definirse mediante el uso de espacios de clasificación, también pueden considerarse fundamentales en gran parte del álgebra homológica .

Las generalizaciones incluyen aquellas para clasificar foliaciones y los topos clasificatorios para teorías lógicas del cálculo de predicados en la lógica intuicionista que reemplazan un "espacio de modelos".

Ver también

• Clasificación del espacio para O(n) , B O( n )
• Clasificación del espacio para U(n) , B U( n )
• Clasificación del espacio para SO (n)
• Clasificación de espacio para SU(n)
• Pila de clasificación
• Teorema de Borel
• Cohomología equivalente

Notas

1. Stasheff, James D. (1971), "Espacios H y clasificación de espacios: fundamentos y desarrollos recientes", Topología algebraica (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 247–272 Teorema 2, doi :10.1090/pspum/022/0321079, ISBN 978-0-8218-9308-1, señor  0321079
2. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 89.ISBN​ 0-521-79160-X. OCLC  45420394.
3. Arnold, Vladimir I. (1969). "El anillo de cohomología del grupo de trenzas de colores". Vladimir I. Arnold - Obras completas . Saltador. págs. 183–6. doi :10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0.
4. "clasificar el espacio en nLab". ncatlab.org . Consultado el 22 de agosto de 2017 .

Referencias

• Mayo, JP (1999). Un curso conciso en topología algebraica. Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-51183-2.
• Clasificación del espacio en el n Lab
• "Clasificación del espacio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]