Punto de acumulación

Punto de agrupamiento en un espacio topológico

En matemáticas, un punto límite , punto de acumulación o punto de agrupamiento de un conjunto en un espacio topológico es un punto que puede "aproximarse" mediante puntos de en el sentido de que cada entorno de contiene un punto de distinto de sí mismo. Un punto límite de un conjunto no tiene por qué ser en sí mismo un elemento de También existe un concepto estrechamente relacionado para las sucesiones . Un punto de agrupamiento o punto de acumulación de una sucesión en un espacio topológico es un punto tal que, para cada entorno de hay infinitos números naturales tales que Esta definición de un punto de agrupamiento o acumulación de una sucesión se generaliza a redes y filtros . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$

La noción de nombre similar de un punto límite de una secuencia ^[1] (respectivamente, un punto límite de un filtro , ^[2] un punto límite de una red ) por definición se refiere a un punto al que converge la secuencia (respectivamente, el filtro converge a , la red converge a ). Es importante destacar que, aunque "punto límite de un conjunto" es sinónimo de "punto de acumulación/agrupación de un conjunto", esto no es cierto para las secuencias (ni para las redes o filtros). Es decir, el término "punto límite de una secuencia" no es sinónimo de "punto de acumulación/agrupación de una secuencia".

Los puntos límite de un conjunto no deben confundirse con los puntos adherentes (también llamados puntos de cierre ) para los cuales cada entorno de contiene algún punto de . A diferencia de los puntos límite, un punto adherente de puede tener un entorno que no contenga otros puntos aparte de él mismo. Un punto límite puede caracterizarse como un punto adherente que no es un punto aislado . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Los puntos límite de un conjunto tampoco deben confundirse con los puntos límite . Por ejemplo, es un punto límite (pero no un punto límite) del conjunto en con topología estándar . Sin embargo, es un punto límite (aunque no un punto límite) del intervalo en con topología estándar (para un ejemplo menos trivial de un punto límite, consulte el primer epígrafe). ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Este concepto generaliza de forma provechosa la noción de límite y es la base de conceptos como el de conjunto cerrado y clausura topológica . En efecto, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de clausura topológica puede considerarse como una operación que enriquece un conjunto uniéndolo con sus puntos límite.

Con respecto a la topología euclidiana habitual , la sucesión de números racionales no tiene límite (es decir, no converge), pero tiene dos puntos de acumulación (que se consideran puntos límite aquí), a saber, -1 y +1. Por lo tanto, pensando en conjuntos, estos puntos son puntos límite del conjunto. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle S=\{x_{n}\}.}$

Definición

Puntos de acumulación de un conjunto

Una secuencia que enumera todos los números racionales positivos . Cada número real positivo es un punto del grupo.

Sea un subconjunto de un espacio topológico Un punto en es un punto límite o un punto de cúmulo o ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$punto de acumulación del conjunto si cadavecindaddecontiene al menos un punto dediferente desí mismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

No hay diferencia si restringimos la condición a los vecindarios abiertos únicamente. A menudo es conveniente utilizar la forma de "vecindario abierto" de la definición para mostrar que un punto es un punto límite y utilizar la forma de "vecindario general" de la definición para derivar hechos a partir de un punto límite conocido.

Si es un espacio (como un espacio métrico ), entonces es un punto límite de si y solo si cada vecindad de contiene infinitos puntos de ^[6] De hecho, los espacios se caracterizan por esta propiedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Si es un espacio de Fréchet-Urysohn (como lo son todos los espacios métricos y los espacios de primer orden contable ), entonces es un punto límite de si y sólo si hay una secuencia de puntos en cuyo límite es De hecho, los espacios de Fréchet-Urysohn se caracterizan por esta propiedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$

El conjunto de puntos límite de se llama conjunto derivado de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Tipos especiales de puntos de acumulación de un conjunto

Si cada vecindario de contiene infinitos puntos de entonces hay un tipo específico de punto límite llamado ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$Punto de acumulación ω de ${\displaystyle S.}$

Si cada vecindario de contiene un número incontable de puntos de entonces existe un tipo específico de punto límite llamado punto de condensación de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Si cada vecindad de es tal que la cardinalidad de es igual a la cardinalidad de entonces es un tipo específico de punto límite llamado ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$punto de acumulación completo de ${\displaystyle S.}$

Puntos de acumulación de secuencias y redes

En un espacio topológico se dice que un punto es un ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupamiento opunto de acumulación de una secuencia si, para cadaentornodehay infinitostales que Es equivalente a decir que para cada entornodey cadahay algunotal que Sies unespacio métricoo unespacio de primer conteo(o, más generalmente, unespacio de Fréchet–Urysohn), entonceses un punto de acumulación desi y solo sies un límite de alguna subsecuencia de El conjunto de todos los puntos de acumulación de una secuencia a veces se denominaconjunto límite. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Obsérvese que ya existe la noción de límite de una secuencia para indicar un punto al que converge la secuencia (es decir, cada entorno de contiene todos los elementos de la secuencia, excepto un número finito). Por eso no utilizamos el término punto límite de una secuencia como sinónimo de punto de acumulación de la secuencia. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

El concepto de red generaliza la idea de una sucesión . Una red es una función donde es un conjunto dirigido y es un espacio topológico. Se dice que un punto es un ${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupamiento opunto de acumulación de una red si, para cadavecindaddey cadahay algunotal que,equivalentemente, sitiene unasubredque converge aLos puntos de agrupamiento en redes abarcan la idea tanto de puntos de condensación como de puntos de ω-acumulación.de agrupamientoylímitetambién se definen parafiltros. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{0}\in P,}$ ${\displaystyle p\geq p_{0}}$ ${\displaystyle f(p)\in V,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Relación entre el punto de acumulación de una secuencia y el punto de acumulación de un conjunto

Cada secuencia es por definición solo un mapa , de modo que su imagen puede definirse de la forma habitual. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• Si existe un elemento que aparece infinitas veces en la secuencia, es un punto de acumulación de la secuencia. Pero no necesariamente es un punto de acumulación del conjunto correspondiente . Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con valor tenemos y es un punto aislado de y no un punto de acumulación de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Si ningún elemento aparece infinitas veces en la secuencia, por ejemplo si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un punto de acumulación del conjunto asociado. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

Por el contrario, dado un conjunto infinito contable en podemos enumerar todos los elementos de de muchas maneras, incluso con repeticiones, y así asociarle muchas secuencias que satisfagan ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Cualquier punto de acumulación de es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier vecindad del punto contendrá infinitos elementos de y, por lo tanto, también infinitos términos en cualquier secuencia asociada). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• Un punto que no es un punto de acumulación de no puede ser un punto de acumulación de ninguna de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque tiene un vecindario que contiene sólo un número finito (posiblemente ninguno) de puntos de y ese vecindario sólo puede contener un número finito de términos de dichas secuencias). ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Propiedades

Todo límite de una sucesión no constante es un punto de acumulación de la sucesión. Y por definición, todo punto límite es un punto adherente .

La clausura de un conjunto es una unión disjunta de sus puntos límite y puntos aislados ; es decir, ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle I(S)}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Un punto es un punto límite si y sólo si está en la clausura de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Prueba

Usamos el hecho de que un punto está en la clausura de un conjunto si y solo si cada entorno del punto cumple con el conjunto. Ahora, es un punto límite de si y solo si cada entorno de contiene un punto de distinto de si y solo si cada entorno de contiene un punto de si y solo si está en la clausura de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Si usamos para denotar el conjunto de puntos límite de entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre de : El cierre de es igual a la unión de y Este hecho a veces se toma como la definición del cierre . ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S).}$

Prueba

("Subconjunto izquierdo") Supongamos que está en el cierre de Si está en hemos terminado. Si no está en entonces cada entorno de contiene un punto de y este punto no puede ser En otras palabras, es un punto límite de y está en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S).}$

("Subconjunto derecho") Si es en entonces cada vecindario de claramente cumple , por lo que está en la clausura de Si es en entonces cada vecindario de contiene un punto de (distinto de ), por lo que está nuevamente en la clausura de Esto completa la prueba. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrados: un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite. ${\displaystyle S}$

Prueba

Prueba 1: es cerrado si y solo si es igual a su clausura si y solo si si y solo si está contenido en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S\cup L(S)}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S.}$

Prueba 2: Sea un conjunto cerrado y un punto límite de Si no está en entonces el complemento de comprende un entorno abierto de Dado que es un punto límite de cualquier entorno abierto de debe tener una intersección no trivial con Sin embargo, un conjunto no puede tener una intersección no trivial con su complemento. A la inversa, supongamos que contiene todos sus puntos límite. Demostraremos que el complemento de es un conjunto abierto. Sea un punto en el complemento de Por supuesto, no es un punto límite y, por lo tanto, existe un entorno abierto de que no se interseca y, por lo tanto, se encuentra completamente en el complemento de Dado que este argumento es válido para arbitrarios en el complemento de el complemento de puede expresarse como una unión de los entornos abiertos de los puntos en el complemento de Por lo tanto, el complemento de es abierto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$

Ningún punto aislado es un punto límite de ningún conjunto.

Prueba

Si es un punto aislado, entonces es un vecindario de que no contiene otros puntos que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Un espacio es discreto si y sólo si ningún subconjunto de tiene un punto límite. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Prueba

Si es discreto, entonces cada punto es aislado y no puede ser un punto límite de ningún conjunto. Por el contrario, si no es discreto, entonces hay un singleton que no es abierto. Por lo tanto, cada entorno abierto de contiene un punto y, por lo tanto, es un punto límite de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle y\neq x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Si un espacio tiene la topología trivial y es un subconjunto de con más de un elemento, entonces todos los elementos de son puntos límite de Si es un singleton, entonces cada punto de es un punto límite de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$

Prueba

Mientras no esté vacío, su clausura será Solo está vacío cuando está vacío o es el único elemento de ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Véase también

• Punto adherente  : Punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Punto de condensación  : un análogo más fuerte del punto límitePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro convergente  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto derivado (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos límite de un conjunto
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Punto aislado  – Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Límite de una función  : punto al que convergen las funciones en el análisis
• Límite de una sucesión  – Valor al que tiende una sucesión infinita
• Límite subsiguiente  : El límite de alguna subsecuencia

Citas

1. Dugundji 1966, págs. 209-210.
2. Bourbaki 1989, págs. 68-83.
3. "Diferencia entre punto límite y punto límite". 2021-01-13.
4. "¿Qué es un punto límite?". 13 de enero de 2021.
5. "Ejemplos de puntos de acumulación". 13 de enero de 2021. Archivado desde el original el 21 de abril de 2021. Consultado el 14 de enero de 2021 .
6. Munkres 2000, págs. 97-102.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• "Punto límite de un conjunto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]