Espacio discreto

Tipo de espacio topológico

En topología , un espacio discreto es un ejemplo particularmente simple de un espacio topológico o estructura similar, uno en el que los puntos forman una secuencia discontinua , lo que significa que están aislados entre sí en cierto sentido. La topología discreta es la topología más fina que se puede dar en un conjunto. Cada subconjunto está abierto en la topología discreta, de modo que, en particular, cada subconjunto singleton es un conjunto abierto en la topología discreta.

Definiciones

Dado un conjunto : ${\displaystyle X}$

• elLa topología discreta sedefine permitiendo que cadasubconjuntodeseaabierto(y por lo tanto tambiéncerrado), yes un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$espacio topológico discreto si está equipado con su topología discreta;
• elLa uniformidad discreta sedefine dejando que cadasuperconjuntode la diagonalseaunséquito, yes un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$espacio uniforme discreto si está equipado con su uniformidad discreta.
• elLa métrica discreta estádefinida por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}}$$
  para cualquier En este caso se llama ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$Espacio métrico discreto oespacio de puntos aislados .
• aEl subespacio discreto de algún espacio topológico dadose refiere a unsubespacio topológicode(un subconjunto dejunto con latopología del subespacioqueinduce en él) cuya topología es igual a la topología discreta. Por ejemplo, sitiene sutopología euclidiana, entonces(dotado de la topología subespacial) es un subespacio discreto deperono lo es. ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$
• un conjunto es discreto en un espacio métrico si para cada existe algo (dependiendo de ) tal que para todos ; tal conjunto consta de puntos aislados . Un conjunto es uniformemente discreto en el espacio métrico si existe tal que para dos distintos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,y)>\delta }$ ${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}$

Se dice que un espacio métrico es uniformemente discreto si existe una ${\displaystyle (E,d)}$radio de empaquetado tal que, para cualquieratieneo^[1] La topología subyacente a un espacio métrico puede ser discreta, sin que la métrica sea uniformemente discreta: por ejemplo, la métrica habitual en el conjunto ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle d(x,y)>r.}$ ${\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Prueba de que un espacio discreto no es necesariamente uniformemente discreto

Consideremos este conjunto usando la métrica habitual de los números reales. Entonces, es un espacio discreto, ya que para cada punto podemos rodearlo con el intervalo abierto donde La intersección es, por tanto, trivialmente el singleton. Dado que la intersección de un conjunto abierto de los números reales y es abierta para la topología inducida, se deduce que es abierto por lo que los singleton están abiertos y son un espacio discreto. ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}=2^{-n}\in X,}$ ${\displaystyle (x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.}$ ${\displaystyle \left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$

Sin embargo, no puede ser uniformemente discreto. Para ver por qué, supongamos que existe una desigualdad tal que siempre es suficiente demostrar que hay al menos dos puntos y que están más cerca entre sí que Dado que la distancia entre puntos adyacentes y es necesitamos encontrar una que satisfaga esta desigualdad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle d(x,y)>r}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{-(n+1)},}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}$$

Dado que siempre hay un número real mayor que cualquier número real dado, se deduce que siempre habrá al menos dos puntos que estén más cerca entre sí que cualquier número positivo, por lo que no es uniformemente discreto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

La uniformidad subyacente en un espacio métrico discreto es la uniformidad discreta, y la topología subyacente en un espacio uniforme discreto es la topología discreta. Por tanto, las diferentes nociones de espacio discreto son compatibles entre sí. Por otro lado, la topología subyacente de un espacio métrico o uniforme no discreto puede ser discreta; un ejemplo es el espacio métrico (con métrica heredada de la línea real y dada por ). Esta no es la métrica discreta; Además, este espacio no es completo y, por tanto, no es discreto como espacio uniforme. Sin embargo, es discreto como espacio topológico. Decimos que es topológicamente discreto pero no uniformemente discreto ni métricamente discreto . ${\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}$ ${\displaystyle X}$

Además:

• La dimensión topológica de un espacio discreto es igual a 0.
• Un espacio topológico es discreto si y sólo si sus singletons son abiertos, lo cual es el caso si y sólo si no contiene ningún punto de acumulación .
• Los singletons forman una base para la topología discreta.
• Un espacio uniforme es discreto si y sólo si la diagonal es un séquito . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$
• Todo espacio topológico discreto satisface cada uno de los axiomas de separación ; en particular, todo espacio discreto es de Hausdorff , es decir, separado.
• Un espacio discreto es compacto si y sólo si es finito .
• Todo espacio discreto uniforme o métrico es completo .
• Combinando los dos hechos anteriores, todo espacio métrico o uniforme discreto es totalmente acotado si y sólo si es finito.
• Todo espacio métrico discreto está acotado .
• Todo espacio discreto es contable en primer lugar ; además es segundo contable si y sólo si es contable .
• Cada espacio discreto está totalmente desconectado .
• Todo espacio discreto no vacío es de segunda categoría .
• Dos espacios discretos cualesquiera con la misma cardinalidad son homeomorfos .
• Todo espacio discreto es metrizable (por la métrica discreta).
• Un espacio finito es metrizable sólo si es discreto.
• Si es un espacio topológico y es un conjunto que lleva la topología discreta, entonces está cubierto uniformemente por (el mapa de proyección es la cobertura deseada) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• La topología subespacial de los números enteros como subespacio de la línea real es la topología discreta.
• Un espacio discreto es separable si y sólo si es contable.
• Cualquier subespacio topológico de (con su habitual topología euclidiana ) que sea discreto es necesariamente contable . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cualquier función desde un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua , y cualquier función desde un espacio uniforme discreto a otro espacio uniforme es uniformemente continua . Es decir, el espacio discreto es libre en el conjunto en la categoría de espacios topológicos y mapas continuos o en la categoría de espacios uniformes y mapas uniformemente continuos. Estos hechos son ejemplos de un fenómeno mucho más amplio, en el que las estructuras discretas suelen estar libres en los decorados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Con los espacios métricos la cosa es más complicada, porque existen varias categorías de espacios métricos, dependiendo de lo que se elija para los morfismos . Ciertamente, el espacio métrico discreto es libre cuando los morfismos son todos mapas uniformemente continuos o todos mapas continuos, pero esto no dice nada interesante sobre la estructura métrica , sólo la estructura uniforme o topológica. Las categorías más relevantes para la estructura métrica se pueden encontrar limitando los morfismos a mapas continuos de Lipschitz o a mapas cortos ; sin embargo, estas categorías no tienen objetos libres (en más de un elemento). Sin embargo, el espacio métrico discreto es libre en la categoría de espacios métricos acotados y mapas continuos de Lipschitz, y es libre en la categoría de espacios métricos acotados por 1 y mapas cortos. Es decir, cualquier función desde un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado es continua de Lipschitz, y cualquier función desde un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado por 1 es corta.

En la otra dirección, una función de un espacio topológico a un espacio discreto es continua si y sólo si es localmente constante en el sentido de que cada punto tiene una vecindad en la que es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Cada ultrafiltro en un conjunto no vacío se puede asociar con una topología con la propiedad de que cada subconjunto propio no vacío es un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado , pero nunca ambos. Dicho de otra manera, cada subconjunto es abierto o cerrado pero (a diferencia de la topología discreta) los únicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados (es decir, clopen ) son y . En comparación, cada subconjunto de es abierto y cerrado en la topología discreta. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos y usos

Una estructura discreta se utiliza a menudo como "estructura predeterminada" en un conjunto que no tiene ninguna otra topología, uniformidad o métrica natural; Las estructuras discretas a menudo se pueden utilizar como ejemplos "extremos" para probar suposiciones particulares. Por ejemplo, cualquier grupo puede considerarse como un grupo topológico dándole la topología discreta, lo que implica que los teoremas sobre grupos topológicos se aplican a todos los grupos. De hecho, los analistas pueden referirse a los grupos ordinarios no topológicos estudiados por los algebristas como " grupos discretos ". En algunos casos, esto puede aplicarse de forma útil, por ejemplo en combinación con la dualidad de Pontryagin . Una variedad de dimensión 0 (o una variedad diferenciable o analítica) no es más que un espacio topológico discreto y contable (un espacio discreto incontable no es contable en segundos). Por lo tanto, podemos ver cualquier grupo contable discreto como un grupo de Lie de dimensión 0 .

Un producto de copias infinitas contables del espacio discreto de los números naturales es homeomorfo al espacio de los números irracionales , con el homeomorfismo dado por la expansión fraccionaria continua . Un producto de copias infinitas contables del espacio discreto es homeomorfo al conjunto de Cantor ; y de hecho uniformemente homeomórfico al conjunto de Cantor si usamos la uniformidad del producto en el producto. Este homeomorfismo se obtiene mediante el uso de notación ternaria de números. (Ver espacio de Cantor .) Cada fibra de una función localmente inyectiva es necesariamente un subespacio discreto de su dominio . ${\displaystyle \{0,1\}}$

En los fundamentos de las matemáticas , el estudio de las propiedades de compacidad de los productos de es fundamental para el enfoque topológico del lema del ultrafiltro (equivalentemente, el teorema del ideal primo de Boole ), que es una forma débil del axioma de elección . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Espacios indiscretos

En cierto modo, lo opuesto a la topología discreta es la topología trivial (también llamada topología indiscreta ), que tiene la menor cantidad de conjuntos abiertos posibles (solo el conjunto vacío y el espacio mismo). Donde la topología discreta es inicial o libre, la topología indiscreta es final o colibre : toda función desde un espacio topológico hasta un espacio indiscreto es continua, etc.

Ver también

• Juego de cilindros
• Lista de topologías
• Geometría del taxi

Referencias

1. Agradables, Peter AB (2000). "Cuasicristales de diseñador: conjuntos de corte y proyecto con propiedades preasignadas". En Baake, Michael (ed.). Direcciones en cuasicristales matemáticos . Serie de monografías de CRM. vol. 13. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 95-141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl  0982.52018.
2. Wilansky 2008, pag. 35.

• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraejemplos en topología (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. Señor  0507446. Zbl  0386.54001.
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.