Conjunto derivado (matemáticas)

En matemáticas, más específicamente en topología de conjuntos de puntos , el conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico es el conjunto de todos los puntos límite de. Generalmente se denota por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S'.}$

El concepto fue introducido por primera vez por Georg Cantor en 1872 y desarrolló la teoría de conjuntos en gran parte para estudiar conjuntos derivados sobre la recta real .

Definición

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico denotado por es el conjunto de todos los puntos que son puntos límite de es decir, puntos tales que cada vecindad de contiene un punto distinto de sí mismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S',}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Si está dotado de su topología euclidiana habitual , entonces el conjunto derivado del intervalo medio abierto es el intervalo cerrado ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1].}$

Considere la topología (conjuntos abiertos) que consta del conjunto vacío y cualquier subconjunto que contenga 1. El conjunto derivado de es ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\{1\}}$ ${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$

Propiedades

Si y son subconjuntos del espacio topológico entonces el conjunto derivado tiene las siguientes propiedades: ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}}),}$

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'}$implica ${\displaystyle a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B}$implica ${\displaystyle A'\subseteq B'}$

Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado precisamente cuando ^[1] es decir, cuando contiene todos sus puntos límite. Para cualquier subconjunto, el conjunto es cerrado y es el cierre de (es decir, el conjunto ). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S\cup S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio no necesita ser cerrado en general. Por ejemplo, si con la topología trivial , el conjunto tiene un conjunto derivado que no está cerrado. Pero el conjunto derivado de un conjunto cerrado siempre está cerrado. ^{[prueba 1]} Además, si es un espacio T 1 , el conjunto derivado de cada subconjunto de está cerrado en ^{[4] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle S=\{a\}}$ ${\displaystyle S'=\{b\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Dos subconjuntos y están separados precisamente cuando son disjuntos y cada uno es disjunto del conjunto derivado del otro ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle S'\cap T=\varnothing =T'\cap S.}$

Una biyección entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si y sólo si el conjunto derivado de la imagen (en el segundo espacio) de cualquier subconjunto del primer espacio es la imagen del conjunto derivado de ese subconjunto. ^[7]

Un espacio es un espacio T 1 si todo subconjunto formado por un solo punto es cerrado. ^[8] En un espacio T ₁ , el conjunto derivado de un conjunto que consta de un solo elemento está vacío (el ejemplo 2 anterior no es un espacio T ₁ ). De ello se deduce que en espacios T ₁ , el conjunto derivado de cualquier conjunto finito está vacío y, además,

$${\displaystyle (S-\{p\})'=S'=(S\cup \{p\})',}$$

^[9]₁^[10] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$ ${\displaystyle S.}$

Un conjunto con (es decir, que no contiene puntos aislados ) se llama denso en sí mismo . Un conjunto con se llama conjunto perfecto . ^[11] De manera equivalente, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado denso en sí mismo o, dicho de otra manera, un conjunto cerrado sin puntos aislados. Los conjuntos perfectos son particularmente importantes en las aplicaciones del teorema de la categoría de Baire . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$

El teorema de Cantor-Bendixson establece que cualquier espacio polaco puede escribirse como la unión de un conjunto contable y un conjunto perfecto. Debido a que cualquier subconjunto G δ de un espacio polaco es nuevamente un espacio polaco, el teorema también muestra que cualquier subconjunto G _δ de un espacio polaco es la unión de un conjunto contable y un conjunto perfecto con respecto a la topología inducida .

Topología en términos de conjuntos derivados.

Debido a que los homeomorfismos pueden describirse enteramente en términos de conjuntos derivados, los conjuntos derivados se han utilizado como noción primitiva en topología . Un conjunto de puntos puede equiparse con un operador que asigna subconjuntos de a subconjuntos de tal que para cualquier conjunto y cualquier punto : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$implica ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$implica ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Llamar a un conjunto cerrado si definirá una topología en el espacio en el que se encuentra el operador de conjunto derivado, es decir, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Rango Cantor-Bendixson

Para números ordinales, la -ésima derivada de Cantor- Bendixson de un espacio topológico se define aplicando repetidamente la operación de conjunto derivado usando recursividad transfinita de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$para ordinales límite ${\displaystyle \lambda .}$

La secuencia transfinita de derivadas de Cantor-Bendixson de es decreciente y eventualmente debe ser constante. El ordinal más pequeño que se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$Rango de Cantor-Bendixson de ${\displaystyle X.}$

Esta investigación sobre el proceso de derivación fue una de las motivaciones para que Georg Cantor introdujera los números ordinales .

Ver también

• Punto adherente  : punto que pertenece al cierre de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Punto de condensación  : un análogo más fuerte del punto límitePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Punto aislado  : punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Punto límite  : punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Baker 1991, pág. 41
2. Pervin 1964, p.38
3. Panadero 1991, pag. 42
4. Engelking 1989, pág. 47
5. "Topología general: demostrar que el conjunto derivado $E'$ está cerrado".
6. Pervin 1964, pag. 51
7. Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología, Dover, pág. 4, ISBN 0-486-65676-4
8. Pervin 1964, pag. 70
9. Kuratowski 1966, p.77
10. Kuratowski 1966, p.76
11. Pervin 1964, pag. 62

Pruebas

1. Prueba: Suponiendo que es un subconjunto cerrado del cual se muestra que se toma el conjunto derivado en ambos lados para obtenerlo , está cerrado en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S''\subseteq S';}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle X.}$

Referencias

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966), Topología , vol. 1, Prensa académica, ISBN 0-12-429201-1
• Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press

Otras lecturas

• Kechris, Alexander S. (1995). Teoría de conjuntos descriptiva clásica ( Textos de Posgrado en Matemáticas 156 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Sierpiński, Wacław F .; traducido por Krieger, C. Cecilia (1952). Topología general . Prensa de la Universidad de Toronto .

enlaces externos

• Artículo de PlanetMath sobre la derivada de Cantor-Bendixson