Denso en sí mismo

Subconjunto topológico sin ningún punto aislado

En topología general , se dice que un subconjunto de un espacio topológico es denso en sí mismo ^{[1] [2]} o abarrotado ^{[3] [4]} si no tiene ningún punto aislado . De manera equivalente, es denso en sí mismo si cada punto de es un punto límite de . Por lo tanto , es denso en sí mismo si y solo si , donde es el conjunto derivado de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq A'}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$

Un conjunto cerrado denso en sí mismo se denomina conjunto perfecto . (En otras palabras, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado sin un punto aislado).

La noción de conjunto denso es distinta a la de conjunto denso en sí mismo . Esto a veces puede resultar confuso, ya que “ X es denso en X ” (siempre cierto) no es lo mismo que “ X es denso en sí mismo” (no hay un punto aislado).

Ejemplos

Un ejemplo sencillo de un conjunto que es denso en sí mismo pero no cerrado (y, por tanto, no es un conjunto perfecto) es el conjunto de los números irracionales (considerados como un subconjunto de los números reales ). Este conjunto es denso en sí mismo porque cada entorno de un número irracional contiene al menos otro número irracional . Por otra parte, el conjunto de los irracionales no es cerrado porque todo número racional se encuentra en su clausura . De forma similar, el conjunto de los números racionales también es denso en sí mismo pero no cerrado en el espacio de los números reales. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\neq x}$

Los ejemplos anteriores, los irracionales y los racionales, también son conjuntos densos en su espacio topológico, es decir . Como ejemplo que es denso en sí mismo pero no denso en su espacio topológico, considere . Este conjunto no es denso en pero es denso en sí mismo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades

Un subconjunto singleton de un espacio nunca puede ser denso en sí mismo, porque su punto único está aislado en él. ${\displaystyle X}$

Los subconjuntos densos en sí mismos de cualquier espacio están cerrados bajo uniones . ^[5] En un espacio denso en sí mismo, incluyen todos los conjuntos abiertos . ^{[6] En un} espacio denso en sí mismo T 1 incluyen todos los conjuntos densos . ^[7] Sin embargo, los espacios que no son T ₁ pueden tener subconjuntos densos que no son densos en sí mismos: por ejemplo, en el espacio denso en sí mismo con la topología indiscreta , el conjunto es denso, pero no es denso en sí mismo. ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle A=\{a\}}$

El cierre de cualquier conjunto denso en sí mismo es un conjunto perfecto . ^[8]

En general, la intersección de dos conjuntos densos en sí mismos no es densa en sí misma, pero la intersección de un conjunto denso en sí mismo y un conjunto abierto sí lo es.

Véase también

• Conjunto denso en ninguna parte
• Glosario de topología
• Orden denso

Notas

1. Steen y Seebach, pág. 6
2. Engelking, pág. 25
3. Levy, Ronnie; Porter, Jack (1996). "Sobre dos cuestiones de Arhangel'skii y Collins con respecto a los espacios submáximos" (PDF) . Topology Proceedings . 21 : 143–154.
4. Dontchev, Julian; Ganster, Maximilian; Rose, David (1977). "Espacios α-dispersos II".
5. Engelking, 1.7.10, pág. 59
6. Kuratowski, pág. 78
7. Kuratowski, pág. 78
8. Kuratowski, pág. 77

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966). Topología Vol. I . Prensa académica. ISBN 012429202X.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .

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