Punto adherente

Punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico

En matemáticas , un punto adherente (también punto de cierre o punto de cierre o punto de contacto ) ^[1] de un subconjunto de un espacio topológico es un punto en tal que cada vecindad de (o equivalentemente, cada vecindad abierta de ) contiene al menos un punto de Un punto es un punto adherente para si y solo si está en el cierre de por tanto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle x\in \operatorname {Cl} _{X}A}$si y sólo si para todos los subconjuntos abiertos si ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in U{\text{ then }}U\cap A\neq \varnothing .}$

Esta definición difiere de la de un punto límite de un conjunto , en que para un punto límite se requiere que cada entorno de contenga al menos un punto de diferente de . Por lo tanto, cada punto límite es un punto adherente, pero lo inverso no es cierto. Un punto adherente de es un punto límite de o un elemento de (o ambos). Un punto adherente que no es un punto límite es un punto aislado . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Intuitivamente, al tener un conjunto abierto definido como el área dentro de (pero sin incluir) algún límite, los puntos adherentes de son aquellos de incluyendo el límite. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Si es un subconjunto no vacío de cuyo límite superior está acotado, entonces el supremo es adherente a En el intervalo es un punto adherente que no está en el intervalo, con topología usual de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sup S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (a,b],}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Un subconjunto de un espacio métrico contiene todos sus puntos adherentes si y sólo si está ( secuencialmente ) cerrado en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M.}$

Puntos adherentes y subespacios

Supóngase y donde es un subespacio topológico de (es decir, está dotado de la topología de subespacio inducida en él por ). Entonces es un punto adherente de en si y solo si es un punto adherente de en ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y.}$

En consecuencia, es un punto adherente de en si y sólo si esto es cierto de en cada (o alternativamente, en algún) superespacio topológico de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Puntos adherentes y secuencias

Si es un subconjunto de un espacio topológico entonces el límite de una sucesión convergente en no necesariamente pertenece a sin embargo siempre es un punto adherente de Sea tal sucesión y sea su límite. Entonces por definición de límite, para todos los vecindarios de existe tal que para todos En particular, y también así es un punto adherente de En contraste con el ejemplo anterior, el límite de una sucesión convergente en no es necesariamente un punto límite de ; por ejemplo, considere como un subconjunto de Entonces la única sucesión en es la sucesión constante cuyo límite es pero no es un punto límite de es solo un punto adherente de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}\in U}$ ${\displaystyle n\geq N.}$ ${\displaystyle x_{N}\in U}$ ${\displaystyle x_{N}\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0,0,\ldots }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle S.}$

Véase también

• Conjunto cerrado  – Complemento de un subconjunto abierto
• Cierre (topología)  : todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico
• Límite de una sucesión  – Valor al que tiende una sucesión infinita
• Punto límite de un conjunto  – Punto de agrupación en un espacio topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Límite subsiguiente  : El límite de alguna subsecuencia

Notas

Citas

1. Steen, pág. 5; Lipschütz, pág. 69; Adamson, pág. 15.

Referencias

• Adamson, Iain T., A General Topology Workbook , Birkhäuser Boston; 1.ª edición (29 de noviembre de 1995). ISBN  978-0-8176-3844-3 .
• Apostol, Tom M. , Análisis matemático , Addison Wesley Longman; segunda edición (1974). ISBN 0-201-00288-4 
• Lipschutz, Seymour ; Schaum's Outline of General Topology , McGraw-Hill; 1.ª edición (1 de junio de 1968). ISBN 0-07-037988-2 . 
• LA Steen , JASeebach, Jr. , Contraejemplos en topología , (1970) Holt, Rinehart y Winston, Inc..
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