En teoría de conjuntos , un ordinal límite es un número ordinal que no es ni cero ni un ordinal sucesor . Alternativamente, un ordinal λ es un ordinal límite si hay un ordinal menor que λ, y siempre que β sea un ordinal menor que λ, entonces existe un ordinal γ tal que β < γ < λ. Todo número ordinal es cero, o un ordinal sucesor, o un ordinal límite.
Por ejemplo, el ordinal límite más pequeño es ω , el ordinal más pequeño mayor que todo número natural . Este es un ordinal límite porque para cualquier ordinal más pequeño (es decir, para cualquier número natural) n podemos encontrar otro número natural mayor que él (por ejemplo, n +1), pero aún menor que ω. El siguiente ordinal límite más pequeño es ω+ω. Esto se discutirá más adelante en el artículo.
Usando la definición de ordinales de von Neumann , cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños. La unión de un conjunto no vacío de ordinales que no tiene elemento mayor es siempre un ordinal límite. Usando la asignación cardinal de von Neumann , cada número cardinal infinito es también un ordinal límite.
Otras formas de definir ordinales límite son:
Existe cierta controversia sobre si 0 debe clasificarse o no como un ordinal límite, ya que no tiene un predecesor inmediato; algunos libros de texto incluyen 0 en la clase de ordinales límite [1] mientras que otros lo excluyen. [2]
Debido a que la clase de números ordinales está bien ordenada , existe un límite ordinal infinito más pequeño; denotado por ω (omega). El ordinal ω es también el ordinal infinito más pequeño (sin tener en cuenta el límite ), ya que es el límite superior mínimo de los números naturales . Por tanto, ω representa el tipo de orden de los números naturales. El siguiente ordinal límite por encima del primero es ω + ω = ω·2, que se generaliza a ω· n para cualquier número natural n . Tomando la unión (la operación suprema en cualquier conjunto de ordinales) de todos los ω·n, obtenemos ω·ω = ω 2 , que se generaliza a ω n para cualquier número natural n . Este proceso se puede repetir de la siguiente manera para producir:
En general, todas estas definiciones recursivas mediante multiplicación, exponenciación, exponenciación repetida, etc. producen ordinales límite. Todos los ordinales discutidos hasta ahora siguen siendo ordinales contables . Sin embargo, no existe un esquema recursivamente enumerable para nombrar sistemáticamente todos los ordinales menores que el ordinal de Church-Kleene , que es un ordinal contable.
Más allá de lo contable, el primer ordinal incontable suele denotarse como ω 1 . También es un ordinal límite.
Continuando, se puede obtener lo siguiente (todos los cuales ahora están aumentando en cardinalidad):
En general, siempre obtenemos un ordinal límite cuando tomamos la unión de un conjunto de ordinales no vacíos que no tiene elemento máximo .
Los ordinales de la forma ω²α, para α > 0, son límites de límites, etc.
Las clases de ordinales sucesores y ordinales límite (de varias cofinalidades ), así como el cero, agotan toda la clase de ordinales, por lo que estos casos se suelen utilizar en pruebas por inducción transfinita o definiciones por recursividad transfinita . Los ordinales límite representan una especie de "punto de inflexión" en tales procedimientos, en los que se deben utilizar operaciones limitantes, como tomar la unión sobre todos los ordinales precedentes. En principio, se podría hacer cualquier cosa con los ordinales límite, pero tomar la unión es continua en la topología del orden y esto suele ser deseable.
Si utilizamos la asignación cardinal de von Neumann , todo número cardinal infinito es también un ordinal límite (y ésta es una observación apropiada, ya que cardinal deriva del latín cardo que significa bisagra o punto de inflexión ): la prueba de este hecho se hace simplemente mostrando que cada ordinal sucesor infinito es equinumero hasta un ordinal límite mediante el argumento del Hotel Infinity .
Los números cardinales tienen su propia noción de sucesión y límite (todo se actualiza a un nivel superior).
Aditivamente indescomponible
Un ordinal límite α se denomina aditivamente indescomponible si no puede expresarse como la suma de β < α ordinales menores que α. Estos números son cualquier ordinal de la forma para β un ordinal. Se escribe el más pequeño , se escribe el segundo , etc. [3]
Multiplicativamente indescomponible
Un ordinal límite α se llama multiplicativamente indescomponible si no puede expresarse como el producto de β < α ordinales menores que α. Estos números son cualquier ordinal de la forma para β un ordinal. Se escribe el más pequeño , se escribe el segundo , etc. [3]
Exponencialmente indescomponible y más allá
El término "exponencialmente indescomponible" no se refiere a ordinales no expresables como el producto exponencial (?) de β < α ordinales menores que α, sino más bien a los números épsilon , "tetracionalmente indescomponible" se refiere a los números zeta, "pentacionalmente indescomponible" se refiere a los números eta, etc. [3]
