Intervalo (matemáticas)

Todos los números entre dos números dados

La suma x + a en la recta numérica. Todos los números mayores que x y menores que x + a caen dentro de ese intervalo abierto.

En matemáticas , un intervalo ( real ) es el conjunto de todos los números reales que se encuentran entre dos puntos finales fijos sin "espacios". Cada punto final es un número real o un infinito positivo o negativo , lo que indica que el intervalo se extiende sin límite . Un intervalo no puede contener ningún punto final, ningún punto final o ambos puntos finales.

Por ejemplo, el conjunto de números reales que consta de 0 , 1 y todos los números intermedios es un intervalo, denotado [0, 1] y llamado intervalo unitario ; el conjunto de todos los números reales positivos es un intervalo, denotado (0, ∞) ; el conjunto de todos los números reales es un intervalo, denotado (−∞, ∞) ; y cualquier número real a es un intervalo, denotado [ a , a ] .

Los intervalos son omnipresentes en el análisis matemático . Por ejemplo, aparecen implícitamente en la definición de continuidad épsilon-delta ; el teorema del valor intermedio afirma que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo; las integrales de funciones reales se definen en un intervalo; etc.

La aritmética de intervalos consiste en calcular con intervalos en lugar de números reales para proporcionar una garantía del resultado de un cálculo numérico, incluso en presencia de incertidumbres en los datos de entrada y errores de redondeo .

Los intervalos también se definen sobre un conjunto arbitrario totalmente ordenado , como los números enteros o los números racionales . La notación de intervalos enteros se considera en la sección especial siguiente.

Definiciones y terminología

Un intervalo es un subconjunto de números reales que contiene todos los números reales que se encuentran entre dos números cualesquiera del subconjunto.

Los puntos finales de un intervalo son su supremo y su mínimo , si existen como números reales. ^[1] Si el mínimo no existe, se dice a menudo que el punto final correspondiente es De manera similar, si el supremum no existe, se dice que el punto final correspondiente es ${\displaystyle -\infty .}$ ${\displaystyle +\infty .}$

Los intervalos están completamente determinados por sus puntos finales y si cada punto final pertenece al intervalo. Esto es una consecuencia de la propiedad del límite superior mínimo de los números reales. Esta caracterización se utiliza para especificar intervalos mediantenotación de intervalo , que se describe a continuación.

UnEl intervalo abierto no incluye ningún punto final y se indica entre paréntesis. ^[2]Por ejemplo,es el intervalo de todos los números reales mayores que0y menores que1. (Este intervalo también se puede indicar como]0, 1[, ver más abajo). El intervalo abierto(0, +∞)consta de números reales mayores que0, es decir, números reales positivos. Los intervalos abiertos son, pues, una de las formas ${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}}$

donde y son números reales tales que Cuando en el primer caso, el intervalo resultante es el conjunto vacío que es un intervalo degenerado (ver más abajo). Los intervalos abiertos son aquellos intervalos que son conjuntos abiertos para la topología habitual de los números reales. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b.}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle (a,a)=\varnothing ,}$

Aintervalo cerrado es un intervalo que incluye todos sus puntos finales y se indica entre corchetes. ^[2]Por ejemplo,[0, 1]significa mayor o igual a0y menor o igual a1. Los intervalos cerrados tienen una de las siguientes formas en las queaybson números reales tales que ${\displaystyle a\leq b\colon }$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$

Los intervalos cerrados son aquellos intervalos que son conjuntos cerrados para la topología habitual de los números reales. El conjunto vacío y son los únicos intervalos que son a la vez abiertos y cerrados. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

AEl intervalo semiabierto tiene dos puntos finales e incluye solo uno de ellos. Se diceabierto a la izquierdaoabierto a la derechadependiendo de si el punto final excluido está a la izquierda o a la derecha. Estos intervalos se denotan mezclando notaciones para intervalos abiertos y cerrados. ^[3]Por ejemplo,(0, 1]significa mayor que0y menor o igual a1, mientras que[0, 1)significa mayor o igual a0y menor que1. Los intervalos semiabiertos tienen la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Todo intervalo cerrado es un conjunto cerrado de la recta real , pero un intervalo que es un conjunto cerrado no tiene por qué ser un intervalo cerrado. Por ejemplo, los intervalos y también son conjuntos cerrados en la recta real. Intervalos y no son un conjunto abierto ni un conjunto cerrado. Si se permite que un punto final en el lado cerrado sea un infinito (como (0,+∞] , el resultado no será un intervalo, ya que ni siquiera es un subconjunto de los números reales. En cambio, el resultado se puede ver como un intervalo en la recta real extendida , lo que ocurre en la teoría de la medida , por ejemplo. ${\displaystyle (-\infty ,b]}$ ${\displaystyle [a,+\infty )}$ ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle [a,b)}$

En resumen, un conjunto de números reales es un intervalo, si y sólo si es un intervalo abierto, un intervalo cerrado o un intervalo medio abierto. ^{[4] [5]}

Aintervalo degenerado es cualquierconjunto que consta de un único número real(es decir, un intervalo de la forma[ a , a ]). ^[6]Algunos autores incluyen el conjunto vacío en esta definición. Se dice que un intervalo real que no es vacío ni degenerado espropioy tiene infinitos elementos.

Se dice que un intervalo está acotado por la izquierda o por la derecha , si hay algún número real que es, respectivamente, menor o mayor que todos sus elementos. Se dice que un intervalo está acotado si está acotado tanto por la izquierda como por la derecha; y en caso contrario se dice que es ilimitado . Los intervalos que están acotados en un solo extremo se dicen que están medio acotados . El conjunto vacío está acotado y el conjunto de todos los reales es el único intervalo ilimitado en ambos extremos. Los intervalos acotados también se conocen comúnmente como intervalos finitos .

Los intervalos acotados son conjuntos acotados , en el sentido de que su diámetro (que es igual a la diferencia absoluta entre los puntos finales) es finito. El diámetro puede denominarse longitud , ancho , medida , rango o tamaño del intervalo. El tamaño de los intervalos ilimitados generalmente se define como +∞ , y el tamaño del intervalo vacío puede definirse como 0 (o dejarse sin definir).

El centro ( punto medio ) de un intervalo acotado con puntos finales a y b es ( a  +  b )/2 , y su radio es la mitad de su longitud | a  −  b |/2 . Estos conceptos no están definidos para intervalos vacíos o ilimitados.

Se dice que un intervalo se deja abierto si y sólo si no contiene ningún mínimo (un elemento que es más pequeño que todos los demás elementos); abrir a la derecha si no contiene ningún máximo ; y abrir si no contiene ninguno de los dos. El intervalo [0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} , por ejemplo, está cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. El conjunto vacío y el conjunto de todos los reales son intervalos abiertos y cerrados, mientras que el conjunto de reales no negativos es un intervalo cerrado que está abierto por la derecha pero no por la izquierda. Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos de la recta real en su topología estándar , y forman una base de los conjuntos abiertos.

Se dice que un intervalo está cerrado a la izquierda si tiene un elemento mínimo o no está acotado a la izquierda, cerrado a la derecha si tiene un máximo o no está acotado a la derecha; simplemente está cerrado si está cerrado tanto por la izquierda como por la derecha. Entonces, los intervalos cerrados coinciden con los conjuntos cerrados en esa topología.

El interior de un intervalo I es el mayor intervalo abierto que está contenido en I ; también es el conjunto de puntos en I que no son puntos finales de I. El cierre de I es el intervalo cerrado más pequeño que contiene I ; que también es el conjunto que aumenté con sus puntos finales finitos.

Para cualquier conjunto X de números reales, el intervalo de intervalo o intervalo de X es el intervalo único que contiene X y no contiene adecuadamente ningún otro intervalo que también contenga X.

Un intervalo I es un subintervalo del intervalo J si I es un subconjunto de J. Un intervalo I es un subintervalo propio de J si I es un subconjunto propio de J.

Sin embargo, existe una terminología contradictoria para los términos segmento e intervalo , que se han empleado en la literatura de dos maneras esencialmente opuestas, lo que genera ambigüedad cuando se utilizan estos términos. La Enciclopedia de Matemáticas ^[7] define intervalo (sin un calificador) para excluir ambos puntos finales (es decir, intervalo abierto) y segmento para incluir ambos puntos finales (es decir, intervalo cerrado), mientras que los Principios de análisis matemático de Rudin ^[8] llaman conjuntos de forme intervalos [ a , b ] y conjuntos de segmentos de la forma ( a , b ) en todas partes. Estos términos tienden a aparecer en obras más antiguas; Los textos modernos favorecen cada vez más el término intervalo (calificado por abierto , cerrado o semiabierto ), independientemente de si se incluyen puntos finales.

Notaciones para intervalos

El intervalo de números entre a y b , incluidos a y b , a menudo se denota [ a ,  b ] . Los dos números se llaman puntos finales del intervalo. En países donde los números se escriben con coma decimal , se puede utilizar un punto y coma como separador para evitar ambigüedades.

Incluir o excluir puntos finales

Para indicar que uno de los puntos finales se excluirá del conjunto, el corchete correspondiente se puede reemplazar con un paréntesis o invertir. Ambas notaciones se describen en la norma internacional ISO 31-11 . Por lo tanto, en notación de constructor de conjuntos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Cada intervalo ( a ,  a ) , [ a ,  a ) y ( a ,  a ] representa el conjunto vacío , mientras que [ a ,  a ] denota el conjunto singleton  { a } . Cuando a > b , generalmente se toman las cuatro notaciones para representar el conjunto vacío.

Ambas notaciones pueden superponerse con otros usos de paréntesis y corchetes en matemáticas. Por ejemplo, la notación ( a , b ) se usa a menudo para denotar un par ordenado en teoría de conjuntos, las coordenadas de un punto o vector en geometría analítica y álgebra lineal , o (a veces) un número complejo en álgebra . Por eso Bourbaki introdujo la notación ] a , b [ para indicar el intervalo abierto. ^[9] La notación [ a , b ] también se utiliza ocasionalmente para pares ordenados, especialmente en informática .

Algunos autores como Yves Tillé utilizan ] a , b [ para denotar el complemento del intervalo  ( a ,  b ) ; es decir, el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que a , o mayores o iguales que b .

Puntos finales infinitos

En algunos contextos, un intervalo puede definirse como un subconjunto de los números reales extendidos , el conjunto de todos los números reales aumentados con −∞ y +∞ .

En esta interpretación, las notaciones [−∞,  b ]  , (−∞,  b ]  , [ a , +∞]  y [ a , +∞) son todas significativas y distintas. En particular, (−∞, +∞) denota el conjunto de todos los números reales ordinarios, mientras que [−∞, +∞] denota los reales extendidos.

Incluso en el contexto de los reales ordinarios, se puede utilizar un punto final infinito para indicar que no hay límite en esa dirección. Por ejemplo, (0, +∞) es el conjunto de números reales positivos , también escrito como El contexto afecta algunas de las definiciones y terminología anteriores. Por ejemplo, el intervalo (−∞, +∞)  =  es cerrado en el ámbito de los reales ordinarios, pero no en el ámbito de los reales extendidos. ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Intervalos enteros

Cuando a y b son números enteros , la notación ⟦ a, b ⟧, o [ a .. b ] o { a .. b } o simplemente a .. b , a veces se usa para indicar el intervalo de todos los números enteros entre a y b incluido. La notación [ a..b ] se utiliza en algunos lenguajes de programación ; en Pascal , por ejemplo, se utiliza para definir formalmente un tipo de subrango, y se utiliza con mayor frecuencia para especificar los límites inferior y superior de los índices válidos de una matriz .

Otra forma de interpretar intervalos enteros es como conjuntos definidos por enumeración , utilizando notación de puntos suspensivos .

Un intervalo entero que tiene un punto final inferior o superior finito siempre incluye ese punto final. Por lo tanto, la exclusión de puntos finales se puede indicar explícitamente escribiendo a .. b  − 1  , a  + 1 .. b  , o a  + 1 .. b  − 1 . Las notaciones con corchetes alternativos como [ a .. b ) o [ a .. b [ rara vez se utilizan para intervalos enteros. ^{[ cita necesaria ]}

Propiedades

Los intervalos son precisamente los subconjuntos conectados de . Se deduce que la imagen de un intervalo por cualquier función continua desde hasta es también un intervalo. Ésta es una formulación del teorema del valor intermedio . ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los intervalos también son los subconjuntos convexos de El recinto del intervalo de un subconjunto es también la cáscara convexa de ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$

El cierre de un intervalo es la unión del intervalo y el conjunto de sus puntos finales finitos y, por tanto, también es un intervalo. (Esto último también se deriva del hecho de que la clausura de todo subconjunto conexo de un espacio topológico es un subconjunto conexo). En otras palabras, tenemos ^[10]

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).}$

La intersección de cualquier colección de intervalos es siempre un intervalo. La unión de dos intervalos es un intervalo si y sólo si tienen una intersección no vacía o un punto final abierto de un intervalo es un punto final cerrado del otro, por ejemplo ${\displaystyle (a,b)\cup [b,c]=(a,c].}$

Si se ve como un espacio métrico , sus bolas abiertas son los intervalos acotados abiertos  ( c  +  r ,  c  −  r ) , y sus bolas cerradas son los intervalos acotados cerrados  [ c  +  r ,  c  −  r ] . En particular, las topologías métrica y de orden en la línea real coinciden, que es la topología estándar de la línea real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cualquier elemento  x de un intervalo  I define una partición de  I en tres intervalos disjuntos I ₁ ,  I ₂ ,  I ₃ : respectivamente, los elementos de  I que son menores que  x , el singleton  y los elementos que son mayores que  x . Las partes I ₁ y I ₃ no están vacías (y tienen interiores no vacíos), si y sólo si x está en el interior de  I. Esta es una versión de intervalo del principio de tricotomía . ${\displaystyle [x,x]=\{x\},}$

Intervalos diádicos

Un intervalo diádico es un intervalo real acotado cuyos puntos finales son y donde y son números enteros. Dependiendo del contexto, cualquiera de los puntos finales puede incluirse o no en el intervalo. ${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

Los intervalos diádicos tienen las siguientes propiedades:

• La longitud de un intervalo diádico es siempre una potencia entera de dos.
• Cada intervalo diádico está contenido exactamente en un intervalo diádico de dos veces la longitud.
• Cada intervalo diádico está abarcado por dos intervalos diádicos de la mitad de su longitud.
• Si dos intervalos diádicos abiertos se superponen, entonces uno de ellos es un subconjunto del otro.

En consecuencia, los intervalos diádicos tienen una estructura que refleja la de un árbol binario infinito .

Los intervalos diádicos son relevantes para varias áreas del análisis numérico, incluido el refinamiento de malla adaptativo , los métodos multicuadrícula y el análisis de ondas . Otra forma de representar dicha estructura es el análisis p-ádico (para p = 2 ). ^[11]

Generalizaciones

Pelotas

Un intervalo finito abierto es una bola abierta unidimensional con un centro en y un radio de El intervalo finito cerrado es la bola cerrada correspondiente, y los dos puntos finales del intervalo forman una esfera de 0 dimensiones . Espacio euclidiano generalizado a dimensiones , una bola es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio. En el caso bidimensional, una bola se llama disco . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle n}$

Si un semiespacio se toma como una especie de bola degenerada (sin un centro o radio bien definido), un semiespacio se puede tomar como análogo a un intervalo semiacotado, con su plano límite como la esfera (degenerada). correspondiente al punto final finito.

Intervalos multidimensionales

Un intervalo finito es (el interior de) un hiperrectángulo unidimensional . Generalizado al espacio de coordenadas real, un hiperrectángulo (o caja) alineado con el eje es el producto cartesiano de intervalos finitos. Porque este es un rectángulo ; pues se trata de un cuboide rectangular (también llamado " caja "). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

Al permitir una combinación de puntos finales abiertos, cerrados e infinitos, el producto cartesiano de cualquier intervalo a veces se denomina intervalo -dimensional . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Una faceta de dicho intervalo es el resultado de reemplazar cualquier factor de intervalo no degenerado por un intervalo degenerado que consta de un extremo finito de Las caras de se componen de sí mismo y de todas las caras de sus facetas. Las esquinas de son las caras que constan de un solo punto de ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle I_{k}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Politopos convexos

Cualquier intervalo finito se puede construir como la intersección de intervalos semilimitados (con una intersección vacía entendida como toda la línea real), y la intersección de cualquier número de intervalos semilimitados es un intervalo (posiblemente vacío). Generalizado al espacio afín -dimensional , una intersección de semiespacios (de orientación arbitraria) es (el interior de) un politopo convexo , o en el caso bidimensional un polígono convexo . ${\displaystyle n}$

Dominios

Un intervalo abierto es un conjunto abierto y conectado de números reales. Generalizado a espacios topológicos en general, un conjunto abierto conexo no vacío se llama dominio .

Intervalos complejos

Los intervalos de números complejos se pueden definir como regiones del plano complejo , ya sea rectangular o circular . ^[12]

Intervalos en posets y conjuntos reservados

Definiciones

El concepto de intervalos puede definirse en conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados o, más generalmente, en conjuntos arbitrarios preordenados . Para un conjunto preordenado y dos elementos, uno define de manera similar los intervalos ^{[13] : 11, Definición 11} ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X,}$

donde significa En realidad, los intervalos con uno o ningún punto final son los mismos que los intervalos con dos puntos finales en el conjunto preordenado más grande ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x.}$

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

definido agregando nuevos elementos más pequeños y más grandes (incluso si los hubiera), que son subconjuntos de En el caso de uno, puede tomarse como la línea real extendida . ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$

Conjuntos convexos y componentes convexos en la teoría del orden.

Un subconjunto del conjunto preordenado es (de orden) convexo si para todos y cada uno tenemos . A diferencia del caso de la recta real, un conjunto convexo de un conjunto preordenado no tiene por qué ser un intervalo. Por ejemplo, en el conjunto totalmente ordenado de los números racionales , el conjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$ ${\displaystyle z\in A.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$

es convexo, pero no un intervalo de ya que no hay raíz cuadrada de dos en ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Sea un conjunto preordenado y deje que los conjuntos convexos contenidos en formen un poset bajo inclusión. Un elemento máximo de este poset se llama componente convexo de ^{[14] : Definición 5.1  [15] : 727} Según el lema de Zorn , cualquier conjunto convexo de contenido en está contenido en algún componente convexo de pero dichos componentes no necesitan ser únicos. En un conjunto totalmente ordenado , dicho componente es siempre único. Es decir, las componentes convexas de un subconjunto de un conjunto totalmente ordenado forman una partición . ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ${\displaystyle Y\subseteq X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$

Propiedades

A continuación se presenta una generalización de las caracterizaciones de los intervalos reales. Para un subconjunto no vacío de un continuo lineal, las siguientes condiciones son equivalentes. ^{[16] : 153, Teorema 24.1} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (L,\leq ),}$

• El conjunto es un intervalo. ${\displaystyle I}$
• El conjunto es orden-convexo. ${\displaystyle I}$
• El conjunto es un subconjunto conexo cuando está dotado de la topología de orden . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L}$

Para un subconjunto de una red, las siguientes condiciones son equivalentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L,}$

• El conjunto es una subred y un conjunto (de orden) convexo. ${\displaystyle S}$
• Hay un ideal y un filtro tal que ${\displaystyle I\subseteq L}$ ${\displaystyle F\subseteq L}$ ${\displaystyle S=I\cap F.}$

Aplicaciones

En topología general

Todo espacio de Tychonoff es incrustable en un espacio producto de intervalos unitarios cerrados. En realidad, todo espacio de Tychonoff que tiene una base cardinal es incrustable en el producto de copias de los intervalos. ^{[17] : pág. 83, Teorema 2.3.23} ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$

Los conceptos de conjuntos convexos y componentes convexos se utilizan en una prueba de que todo conjunto totalmente ordenado dotado de la topología de orden es completamente normal ^[15] o, además, monótonamente normal . ^[14]

Álgebra topológica

Los intervalos se pueden asociar con puntos del plano y, por tanto, las regiones de intervalos se pueden asociar con regiones del plano. Generalmente, un intervalo en matemáticas corresponde a un par ordenado ( x , y ) tomado del producto directo de números reales consigo mismo, donde muchas veces se supone que y > x . Para fines de estructura matemática , esta restricción se descarta, ^[18] y se permiten "intervalos invertidos" donde y − x < 0 . Entonces, la colección de todos los intervalos [ x , y ] se puede identificar con el anillo topológico formado por la suma directa de consigo mismo, donde la suma y la multiplicación se definen componente a componente. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El álgebra de suma directa tiene dos ideales , {[ x ,0]: x ∈ R} y {[0, y ]: y ∈ R}. El elemento identidad de esta álgebra es el intervalo condensado [1, 1] . Si el intervalo [ x , y ] no está en uno de los ideales, entonces tiene inverso multiplicativo [1/ x , 1/ y ] . Dotada de la topología habitual , el álgebra de intervalos forma un anillo topológico . El conjunto de unidades de este anillo consta de cuatro cuadrantes determinados por los ejes, o ideales en este caso. El componente de identidad de este grupo es el cuadrante I. ${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )}$

Todo intervalo puede considerarse un intervalo simétrico alrededor de su punto medio . En una reconfiguración publicada en 1956 por M Warmus, el eje de "intervalos equilibrados" [ x , − x ] se utiliza junto con el eje de intervalos [ x , x ] que se reducen a un punto. En lugar de la suma directa, el anillo de intervalos ha sido identificado ^[19] con los números hiperbólicos por M. Warmus y DH Lehmer mediante la identificación ${\displaystyle R\oplus R,}$

${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,}$

dónde ${\displaystyle j^{2}=1.}$

Este mapeo lineal del plano, que equivale a un isomorfismo de anillo , proporciona al plano una estructura multiplicativa que tiene algunas analogías con la aritmética compleja ordinaria, como la descomposición polar .

Ver también

• Arco (geometría)
• Desigualdad
• Gráfico de intervalos
• elemento finito de intervalo
• Intervalo (estadísticas)
• Segmento de línea
• Partición de un intervalo
• Intervalo unitario

Referencias

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Bibliografía

• T. Sunaga, "Teoría del álgebra de intervalos y su aplicación al análisis numérico" Archivado el 9 de marzo de 2012 en Wayback Machine , en: Memorias de la Asociación de Investigación de Geometría Aplicada (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokio, Japón, 1958, vol. 2, págs. 29–46 (547-564); reimpreso en Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, vol. 26, núms. 2-3, págs. 126-143.

enlaces externos

• Un intervalo lúcido de Brian Hayes: un artículo de un científico estadounidense proporciona una introducción.
• Sitio web de cálculos de intervalos Archivado el 2 de marzo de 2006 en Wayback Machine.
• Centros de investigación de cálculos de intervalos Archivado el 3 de febrero de 2007 en Wayback Machine.
• Notación de intervalos de George Beck, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Intervalo". MundoMatemático .