En matemáticas , una partición de un intervalo [ a , b ] en la recta real es una secuencia finita x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n de números reales tal que
En otros términos, una partición de un intervalo compacto I es una secuencia estrictamente creciente de números (pertenecientes al propio intervalo I ) que comienza desde el punto inicial de I y llega al punto final de I.
Cada intervalo de la forma [ xi , xi + 1 ] se denomina subintervalo de la partición x .
Otra partición Q del intervalo dado [a, b] se define como un refinamiento de la partición P , si Q contiene todos los puntos de P y posiblemente también algunos otros puntos; Se dice que la partición Q es “más fina” que P. Dadas dos particiones, P y Q , siempre se puede formar su refinamiento común , denotado P ∨ Q , que consta de todos los puntos de P y Q , en orden creciente. [1]
La norma (o malla ) de la partición.
es la longitud del más largo de estos subintervalos [2] [3]
Las particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann , la integral de Riemann-Stieltjes y la integral regulada . Específicamente, cuando se consideran particiones más finas de un intervalo dado, su malla se aproxima a cero y la suma de Riemann basada en una partición determinada se aproxima a la integral de Riemann . [4]
Una partición etiquetada [5] o partición Perron es una partición de un intervalo dado junto con una secuencia finita de números t 0 ,…, t n − 1 sujeta a las condiciones de que para cada i ,
En otras palabras, una partición etiquetada es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo: su malla se define de la misma manera que para una partición ordinaria. Es posible definir un orden parcial en el conjunto de todas las particiones etiquetadas diciendo que una partición etiquetada es más grande que otra si la más grande es un refinamiento de la más pequeña. [ cita necesaria ]
Supongamos que x 0 , …, x n junto con t 0 , …, t n − 1 es una partición etiquetada de [ a , b ] , y que y 0 , …, y m junto con s 0 , …, s m − 1 es otra partición etiquetada de [ a , b ] . Decimos que y 0 , …, y m junto con s 0 , …, s m − 1 es un refinamiento de una partición etiquetada x 0 , …, x n junto con t 0 , …, t n − 1 si para cada número entero i con 0 ≤ i ≤ n , existe un número entero r ( i ) tal que x i = y r ( i ) y tal que t i = s j para algún j con r ( i ) ≤ j ≤ r ( i + 1 ) - 1 . Dicho de manera más simple, un refinamiento de una partición etiquetada toma la partición inicial y agrega más etiquetas, pero no elimina ninguna.