En matemáticas , el intervalo unitario es el intervalo cerrado [0,1] , es decir, el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales a 0 y menores o iguales a 1. A menudo se denota I (letra I mayúscula ). Además de su papel en el análisis real , el intervalo unitario se utiliza para estudiar la teoría de la homotopía en el campo de la topología .
En la literatura, el término "intervalo unitario" se aplica a veces a las otras formas que puede adoptar un intervalo de 0 a 1: (0,1] , [0,1) y (0,1) . Sin embargo, la notación I se reserva más comúnmente para el intervalo cerrado [0,1] .
El intervalo unitario es un espacio métrico completo , homeomorfo a la recta numérica real extendida . Como espacio topológico , es compacto , contráctil , conexo por trayectorias y localmente conexo por trayectorias . El cubo de Hilbert se obtiene tomando un producto topológico de un número contable de copias del intervalo unitario.
En análisis matemático , el intervalo unitario es una variedad analítica unidimensional cuyo límite consiste en los dos puntos 0 y 1. Su orientación estándar va de 0 a 1.
El intervalo unitario es un conjunto totalmente ordenado y una red completa (cada subconjunto del intervalo unitario tiene un supremo y un ínfimo ).
El tamaño o cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene.
El intervalo unitario es un subconjunto de los números reales . Sin embargo, tiene el mismo tamaño que el conjunto completo: la cardinalidad del continuo . Dado que los números reales se pueden utilizar para representar puntos a lo largo de una línea infinitamente larga , esto implica que un segmento de línea de longitud 1, que es una parte de esa línea, tiene el mismo número de puntos que la línea completa. Además, tiene el mismo número de puntos que un cuadrado de área 1, que un cubo de volumen 1 e incluso que un espacio euclidiano n -dimensional ilimitado (véase Curva de llenado del espacio ).
El número de elementos (ya sean números reales o puntos) en todos los conjuntos mencionados anteriormente es incontable , ya que es estrictamente mayor que el número de números naturales .
El intervalo unitario es una curva . El intervalo abierto (0,1) es un subconjunto de los números reales positivos y hereda una orientación de ellos. La orientación se invierte cuando el intervalo se ingresa desde 1, como en la integral utilizada para definir el logaritmo natural para x en el intervalo, lo que produce valores negativos para el logaritmo de tal x . De hecho, esta integral se evalúa como un área con signo que produce un área negativa sobre el intervalo unitario debido a la orientación invertida allí.
El intervalo [-1,1] , de longitud dos, delimitado por las unidades positivas y negativas, se presenta con frecuencia, como en el rango de las funciones trigonométricas seno y coseno y la función hiperbólica tanh. Este intervalo puede usarse para el dominio de las funciones inversas . Por ejemplo, cuando 𝜃 está restringido a [−π/2, π/2] entonces está en este intervalo y el arcoseno está definido allí.
A veces, el término "intervalo unitario" se utiliza para referirse a objetos que desempeñan un papel en varias ramas de las matemáticas análogo al papel que [0,1] desempeña en la teoría de la homotopía. Por ejemplo, en la teoría de quivers , el (análogo del) intervalo unitario es el grafo cuyo conjunto de vértices es y que contiene una única arista e cuyo origen es 0 y cuyo destino es 1. Se puede entonces definir una noción de homotopía entre homomorfismos de quiver análoga a la noción de homotopía entre morfismos continuos .
En lógica , el intervalo unitario [0,1] se puede interpretar como una generalización del dominio booleano {0,1}, en cuyo caso, en lugar de tomar solo los valores 0 o 1, se puede asumir cualquier valor entre 0 y 1 inclusive. Algebraicamente, la negación (NOT) se reemplaza por 1 − x ; la conjunción (AND) se reemplaza por la multiplicación ( xy ); y la disyunción (OR) se define, según las leyes de De Morgan , como 1 − (1 − x )(1 − y ) .
La interpretación de estos valores como valores de verdad lógicos da como resultado una lógica multivaluada , que constituye la base de la lógica difusa y la lógica probabilística . En estas interpretaciones, un valor se interpreta como el "grado" de verdad: en qué medida una proposición es verdadera o la probabilidad de que la proposición sea verdadera.
