Espacio paracompacto

Espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que es localmente finito.

En matemáticas , un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que es localmente finito . Estos espacios fueron introducidos por Dieudonné (1944). Todo espacio compacto es paracompacto. ^[1] Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal , y un espacio de Hausdorff es paracompacto si ^[2] y sólo si admite particiones de unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. A veces, los espacios paracompactos se definen para que siempre sean Hausdorff.

Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Si bien los subconjuntos compactos de espacios de Hausdorff siempre son cerrados, esto no es cierto para los subconjuntos paracompactos. Un espacio tal que cada subespacio del mismo es un espacio paracompacto se llama hereditariamente paracompacto . Esto equivale a exigir que todo subespacio abierto sea paracompacto.

La noción de espacio paracompacto también se estudia en topología sin sentido , donde se comporta mejor. Por ejemplo, el producto de cualquier número de configuraciones regionales paracompactas es una configuración regional paracompacta, pero el producto de dos espacios paracompactos puede no ser paracompacto. ^{[3] [4]} Compare esto con el teorema de Tychonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Sin embargo, el producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto siempre es paracompacto.

Todo espacio métrico es paracompacto. Un espacio topológico es metrizable si y sólo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente metrizable .

Definición

Una portada de un conjunto es una colección de subconjuntos de cuya unión contiene . En símbolos, si es una familia indexada de subconjuntos de , entonces es una portada de if ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Una cubierta de un espacio topológico es abierta si todos sus miembros son conjuntos abiertos . Un refinamiento de una portada de un espacio es una nueva portada del mismo espacio de modo que cada conjunto de la nueva portada sea un subconjunto de algún conjunto de la portada anterior. En símbolos, la portada es un refinamiento de la portada si y sólo si, para cada en , existe algo en tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V_{\beta }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$

Una cobertura abierta de un espacio es localmente finita si cada punto del espacio tiene una vecindad que intersecta sólo un número finito de conjuntos en la cobertura. En símbolos, es localmente finito si y sólo si, para cualquier in , existe alguna vecindad tal que el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

es finito. Ahora se dice que un espacio topológico es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito. ${\displaystyle X}$

Esta definición se extiende textualmente a las configuraciones regionales, con la excepción de localmente finita: una cubierta abierta de es localmente finita si el conjunto de aberturas que intersectan solo un número finito de aberturas también forman una cubierta de . Tenga en cuenta que una cobertura abierta en un espacio topológico es localmente finita si es una cobertura localmente finita de la ubicación subyacente. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

• Todo espacio compacto es paracompacto.
• Todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto. ^[5] En particular, cada segundo espacio contable de Hausdorff localmente compacto es paracompacto.
• La línea Sorgenfrey es paracompacta, aunque no es ni compacta, ni localmente compacta, ni contable en segundo lugar, ni metrizable.
• Todo complejo CW es paracompacto. ^[6]
• ( Teorema de AH Stone ) Todo espacio métrico es paracompacto. ^{[7] Las primeras pruebas eran algo complicadas, pero} M. E. Rudin encontró una elemental . ^[8] Las pruebas existentes de esto requieren el axioma de elección para el caso no separable . Se ha demostrado que la teoría ZF no es suficiente para demostrarlo, incluso después de añadir el axioma más débil de elección dependiente . ^[9]

Algunos ejemplos de espacios que no son paracompactos incluyen:

• El contraejemplo más famoso es la línea larga , que es una variedad topológica no paracompacta . (La larga fila es localmente compacta, pero no es contable en segundo lugar).
• Otro contraejemplo es el producto de incontables copias de un espacio discreto infinito . Cualquier conjunto infinito que lleve la topología puntual particular no es paracompacto; de hecho, ni siquiera es metacompacto .
• El colector Prüfer P es una superficie no paracompacta. (Es fácil encontrar una cubierta abierta incontable de P sin ningún tipo de refinamiento.)
• El teorema de la gaita muestra que existen 2 ^{ℵ ₁} clases de equivalencia topológica de superficies no paracompactas.
• El plano de Sorgenfrey no es paracompacto a pesar de ser producto de dos espacios paracompactos.

Propiedades

La paracompacidad es débilmente hereditaria, es decir, todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Esto también se puede extender a los subespacios F-sigma . ^[10]

• Un espacio regular es paracompacto si cada cubierta abierta admite un refinamiento localmente finito. (Aquí, no es necesario que el refinamiento sea abierto). En particular, todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto.
• ( Teorema de metrización de Smirnov ) Un espacio topológico es metrizable si y sólo si es paracompacto, de Hausdorff y localmente metrizable.
• El teorema de selección de Michael establece que las multifunción semicontinuas inferiores de X a subconjuntos convexos cerrados no vacíos de espacios de Banach admiten selección continua si X es paracompacto.

Aunque un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto, se cumple lo siguiente:

• El producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto es paracompacto.
• El producto de un espacio metacompacto y un espacio compacto es metacompacto.

Ambos resultados pueden demostrarse mediante el lema tubular que se utiliza para demostrar que un producto de un número finito de espacios compactos es compacto.

Espacios paracompactos de Hausdorff

A veces se requiere que los espacios paracompactos también sean Hausdorff para ampliar sus propiedades.

• ( Teorema de Jean Dieudonné ) Todo espacio paracompacto de Hausdorff es normal .
• Todo espacio paracompacto de Hausdorff es un espacio que se contrae , es decir, cada cubierta abierta de un espacio paracompacto de Hausdorff tiene una contracción: otra cubierta abierta indexada por el mismo conjunto de modo que el cierre de cada conjunto en la nueva cubierta se encuentra dentro del conjunto correspondiente en el cubierta antigua.
• En espacios paracompactos de Hausdorff, la cohomología de gavilla y la cohomología de Čech son iguales. ^[11]

Particiones de unidad

La característica más importante de los espacios paracompactos de Hausdorff es que admiten particiones de unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. Esto significa lo siguiente: si X es un espacio de Hausdorff paracompacto con una cubierta abierta dada, entonces existe una colección de funciones continuas en X con valores en el intervalo unitario [0, 1] tales que:

• para cada función f :  X  →  R de la colección, existe un conjunto abierto U de la cubierta tal que el soporte de f está contenido en U ;
• para cada punto x en X , hay una vecindad V de x tal que todas, excepto un número finito de funciones en la colección, son idénticamente 0 en V y la suma de las funciones distintas de cero es idénticamente 1 en V.

De hecho, un espacio T ₁ es Hausdorff y paracompacto si y sólo si admite particiones de unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta (ver más abajo). Esta propiedad se utiliza a veces para definir espacios paracompactos (al menos en el caso de Hausdorff).

Las particiones de unidad son útiles porque a menudo permiten extender las construcciones locales a todo el espacio. Por ejemplo, la integral de formas diferenciales en variedades paracompactas se define primero localmente (donde la variedad parece un espacio euclidiano y la integral es bien conocida), y luego esta definición se extiende a todo el espacio mediante una partición de unidad.

Prueba de que los espacios paracompactos de Hausdorff admiten particiones de unidad

(Haga clic en "mostrar" a la derecha para ver la prueba u "ocultar" para ocultarla).

Un espacio de Hausdorff es paracompacto si y sólo si cada cubierta abierta admite una partición subordinada de unidad. La dirección if es sencilla. Ahora, para la única dirección, hacemos esto en algunas etapas. ${\displaystyle X\,}$

Lema 1: Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces existen conjuntos abiertos para cada uno , de modo que cada y es un refinamiento localmente finito. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$

Lema 2: Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces hay funciones continuas tales que y tal que es una función continua que siempre es finita y distinta de cero. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

Teorema: En un espacio de Hausdorff paracompacto , si es una cubierta abierta, entonces existe una partición de unidad subordinada a ella. ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$

Prueba (Lema 1):

Sea la colección de conjuntos abiertos que sólo se encuentran con un número finito de conjuntos en , y cuyo cierre está contenido en un conjunto en . Se puede comprobar como ejercicio que esto proporciona un refinamiento abierto, ya que los espacios paracompactos de Hausdorff son regulares y localmente finitos. Ahora reemplácelo por un refinamiento abierto localmente finito. Se puede comprobar fácilmente que cada conjunto de este refinamiento tiene la misma propiedad que caracterizaba la funda original. ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$

Ahora definimos . La propiedad de garantiza que cada está contenido en algunos . Por lo tanto es un refinamiento abierto de . Como tenemos , esta cobertura es inmediatamente localmente finita. ${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

Ahora queremos mostrar que cada . Por cada uno , lo demostraremos . Como elegimos ser localmente finito, existe una vecindad de tal que solo un número finito de conjuntos tienen una intersección no vacía con , y los anotamos en la definición de . Por lo tanto podemos descomponer en dos partes: las que se intersectan , y el resto que no, lo que quiere decir que están contenidas en el conjunto cerrado . Ahora tenemos . Desde y , tenemos para cada . Y como es complemento de un barrio de , tampoco está en . Por lo tanto tenemos . ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$ ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

Prueba (Lema 2):

Aplicando el Lema 1, sean mapas continuos con y (según el lema de Urysohn para conjuntos cerrados disjuntos en espacios normales, que es un espacio paracompacto de Hausdorff). Tenga en cuenta que por soporte de una función nos referimos aquí a los puntos que no se asignan a cero (y no al cierre de este conjunto). Para demostrar que eso siempre es finito y distinto de cero, tome y deje que una vecindad que se encuentre solo con un número finito de conjuntos ; por tanto , pertenece sólo a un número finito de conjuntos en ; así para todos menos para un número finito ; además para algunos , así ; también es finito y . Para establecer continuidad, tome como antes y deje que , que es finito; entonces , que es una función continua; por lo tanto, la preimagen debajo de una vecindad de será una vecindad de . ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle x\in W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle \geq 1\,}$ ${\displaystyle x,N\,}$ ${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$ ${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle x\,}$

Prueba (teorema):

Tome una subcubierta localmente finita de la cubierta de refinamiento: . Aplicando el Lema 2, obtenemos funciones continuas con (por lo tanto, la versión cerrada habitual del soporte está contenida en some , para cada ; para lo cual su suma constituye una función continua que siempre es finita distinta de cero (por lo tanto, es continua positiva, de valor finito) ). Entonces, reemplazando cada uno por , tenemos ahora (permaneciendo todas las cosas iguales) que su suma está en todas partes . Finalmente, para , siendo una vecindad de conjuntos que se encuentran solo en un número finito , tenemos para todos menos un número finito ya que cada uno . Tener una partición de unidad subordinada a la cubierta abierta original. ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle 1/f\,}$ ${\displaystyle f_{W}\,}$ ${\displaystyle f_{W}/f\,}$ ${\displaystyle 1\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$

Relación con la compacidad

Existe una similitud entre las definiciones de compacidad y paracompacidad: para paracompacidad, "subcubierta" se reemplaza por "refinamiento abierto" y "finito" por "localmente finito". Ambos cambios son significativos: si tomamos la definición de paracompacto y cambiamos "refinamiento abierto" a "subcobertura", o "localmente finito" a "finito", terminamos con espacios compactos en ambos casos.

La paracompacidad tiene poco que ver con la noción de compacidad, sino más bien con dividir entidades espaciales topológicas en partes manejables.

Comparación de propiedades con compacidad.

La paracompacidad es similar a la compacidad en los siguientes aspectos:

• Todo subconjunto cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto.
• Todo espacio paracompacto de Hausdorff es normal . ^[10]

Es diferente en estos aspectos:

• No es necesario cerrar un subconjunto paracompacto de un espacio de Hausdorff. De hecho, para espacios métricos, todos los subconjuntos son paracompactos.
• Un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto. El cuadrado de la línea real R en la topología del límite inferior es un ejemplo clásico de esto.

Variaciones

Existen varias variaciones de la noción de paracompacidad. Para definirlos, primero debemos ampliar la lista de términos anterior:

Un espacio topológico es:

• metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento punto-finito abierto.
• ortocompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto tal que la intersección de todos los conjuntos abiertos sobre cualquier punto en este refinamiento es abierta.
• completamente normal si cada cubierta abierta tiene un refinamiento de estrella abierta , y completamente T ₄ si es completamente normal y T 1 (ver axiomas de separación ).

El adverbio " contablemente " se puede agregar a cualquiera de los adjetivos "paracompacto", "metacompacto" y "completamente normal" para que el requisito se aplique únicamente a las cubiertas abiertas contables .

Todo espacio paracompacto es metacompacto y todo espacio metacompacto es ortocompacto.

Definición de términos relevantes para las variaciones.

• Dado una portada y un punto, la estrella del punto en la portada es la unión de todos los conjuntos de la portada que contienen el punto. En símbolos, la estrella de x en U = { U _α  : α en A } es

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}$

La notación de la estrella no está estandarizada en la literatura y ésta es sólo una posibilidad.

• Un refinamiento en estrella de una cobertura de un espacio X es una cobertura del mismo espacio tal que, dado cualquier punto en el espacio, la estrella del punto en la nueva cobertura es un subconjunto de algún conjunto en la cobertura anterior. En símbolos, V es un refinamiento en estrella de U = { U _α  : α in A } si para cualquier x en X , existe una U _α en U tal que V ^* ( x ) está contenida en U _α .
• Una cobertura de un espacio X es punto finita (o punto finita ) si cada punto del espacio pertenece sólo a un número finito de conjuntos en la cobertura. En símbolos, U es punto finito si para cualquier x en X , el conjunto es finito. ${\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}$

Como lo implican los nombres, un espacio completamente normal es normal y un espacio completamente _T4 es _T4 . Todo espacio totalmente T ₄ es paracompacto. De hecho, para los espacios de Hausdorff, la paracompacidad y la normalidad total son equivalentes. Por tanto, un espacio totalmente T ₄ es lo mismo que un espacio de Hausdorff paracompacto.

Sin la propiedad de Hausdorff, los espacios paracompactos no son necesariamente completamente normales. Cualquier espacio compacto que no sea regular sirve de ejemplo.

Una nota histórica: los espacios completamente normales fueron definidos antes que los espacios paracompactos, en 1940, por John W. Tukey. ^[12] La prueba de que todos los espacios metrizables son completamente normales es fácil. Cuando AH Stone demostró que para los espacios de Hausdorff la normalidad total y la paracompacidad son equivalentes, implícitamente demostró que todos los espacios metrizables son paracompactos. Más tarde, Ernest Michael dio una prueba directa de este último hecho y ME Rudin dio otra prueba elemental.

Ver también

• un espacio paracompacto
• Espacio paranormal

Notas

1. Munkres 2000, págs.252.
2. Dugundji 1966, págs.170, teorema 4.2.
3. Johnstone, Peter T. (1983). "El punto de la topología inútil" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 8 (1): 41–53. doi :10.1090/S0273-0979-1983-15080-2.
4. Dugundji 1966, págs. 165 Teorema 2.4.
5. Michael, Ernesto (1953). "Una nota sobre los espacios paracompactos" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN  0002-9939. Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2017.
6. Hatcher, Allen , Vector Bundles y K-theory , versión preliminar disponible en la página de inicio del autor
7. Stone, AH Paracompacidad y espacios de productos. Toro. América. Matemáticas. Soc. 54 (1948), 977–982
8. Rudin, Mary Ellen (febrero de 1969). "Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
9. Bien, C.; Árbol, IJ; Watson, WS (abril de 1998). "Sobre el teorema de Stone y el axioma de elección". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 126 (4): 1211-1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
10. Dugundji 1966, págs.165, teorema 2.2.
11. Brylinski, Jean-Luc (2007), Espacios de bucle, clases características y cuantificación geométrica, Progreso en matemáticas, vol. 107, Springer, pág. 32, ISBN 9780817647308.
12. Tukey, John W. (1940). Convergencia y uniformidad en topología . Anales de estudios de matemáticas. vol. 2. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, págs. ix+90. SEÑOR  0002515.

Referencias

• Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN  0021-7824, SEÑOR  0013297
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , Contraejemplos en topología (2 ed) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . P.23. 
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
• Mateo, Akhil. "Topología/Paracompacidad".

enlaces externos

• "Espacio paracompacto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]